Funkcjonał - Polski Serwis Naukowy

Funkcjonał – odwzorowanie określone na pewnej przestrzeni (przestrzeni funkcji, przestrzeni liniowej, σ-ciele) o wartościach w ciele liczbowym. Pojęcie funkcjonału pierwotnie pojawiło się w rachunku wariacyjnym. W kontekście przestrzeni liniowych i modułów używa się także określenia forma.

Przestrzeń mierzalna i σ-ciało zbiorów – obiekty studiowane w matematyce, przede wszystkim w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa (w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami).

Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) - miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.

Przypadki szczególne i uogólnienia

Jeżeli dziedziną funkcjonału jest przestrzeń liniowa, a jest on addytywny i jednorodny, to mówimy, że jest liniowy, z kolei gdy rozpatrujemy funkcjonał określony na iloczynie kartezjańskim przestrzeni liniowych, który jest liniowy ze względu na każdą ze zmiennych, to mówimy o funkcjonale wieloliniowym. Szczególnym przypadkiem funkcjonału wieloliniowego jest funkcjonał dwuliniowy. Przykładem funkcjonału, który nie jest liniowy, jest miara.

Funkcjonał półtoraliniowy (forma półtoraliniowa) – w algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej funkcjonał określony na (zespolonej) przestrzeni liniowej, który ze względu na jeden z argumentów nie jest liniowy, lecz antyliniowy.

Funkcja jednorodna – funkcja o multiplikatywnym zachowaniu skalującym: jeżeli argument został pomnożony przez pewien współczynnik, to wynik zostanie pomnożony przez pewną potęgę tego współczynnika.

Przykład

Niech $C([a,b])\,$ oznacza przestrzeń funkcji ciągłych, określonych na przedziale $[a,b]\,$ . Odwzorowanie $I\colon C([a,b])\to \mathbb{R}$ , dane wzorem $I(f)=\int\limits_a^b~f(x)d x$

jest funkcjonałem liniowym. W tym wypadku wartość funkcjonału ma interpretację geometryczną jako pole powierzchni ograniczonej przez wykres funkcji będącej argumentem funkcjonału.

Forma a funkcjonał

W literaturze matematycznej istnieje spora niekonsekwencja w użyciu terminów forma i funkcjonał.

Teoria dystrybucji to dział matematyki leżący na pograniczu analizy funkcjonalnej i teorii funkcji rzeczywistych. Powstała w XX wieku, głównie za sprawą prac francuskiego matematyka Laurenta Schwartza. Zasadnicza idea tej teorii polega na pewnego rodzaju uogólnieniu pojęcia funkcji rzeczywistej. Choć dystrybucje nie mają wszystkich pożytecznych własności charakterystycznych funkcjom (np. nie mają na ogół "wartości w punkcie"), to jednak nadają się do opisu wielu skomplikowanych układów fizycznych. Z drugiej strony, dystrybucje cechują się dobrymi własnościami algebraicznymi, m.in. mają pochodne dowolnego rzędu. Z uwagi na ten fakt oraz na własności dystrybucji związane z transformatą Fouriera oraz operacją splotu, metody dystrybucyjne mają ważne znaczenie w teorii równań różniczkowych liniowych.

Funkcjonał liniowy (forma liniowa, kowektor) – funkcjonał określony na przestrzeni liniowej, czyli przekształcenie liniowe z przestrzeni liniowej nad pewnym ciałem o wartościach w tym ciele.

Gleichgewicht wyraźnie rozróżnia termin funkcjonał od zwrotu forma. Ten ostatni zwrot oznacza w jego książce formułę, wyrażenie formalne. I tak, na przykład, pisze on:

[...] napiszemy wzór (10.1) w postaci $f(x)=\alpha_1\xi_1+\alpha_2\xi_2+\ldots+\alpha_n\xi_n$ zwanej formą liniową [...]

a potem (10.4) $\varphi(x,y)=\sum_{i,j=1}^n\alpha_{ij}\xi_i\eta_j$ [...] Prawa strona wyrażenia (10.4) nazywa się formą dwuliniową

Należy też zwrócić uwagę, że same przekształcenia w ciało (np. $f,\varphi$ powyżej) są konsekwentnie określane jako funkcjonały.

Przestrzeń funkcyjna – zbiór funkcji ze zbioru X w zbiór Y. Jest on nazywany przestrzenią, gdyż w wielu zastosowaniach jest on przestrzenią topologiczną, czy liniową, a nawet oboma jednocześnie.

Funkcja addytywna zbioru – funkcja określona na pewnym ciele zbiorów o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych, której wartość dla sumy dwóch zbiorów rozłącznych jest sumą wartości dla każdego z tych zbiorów. Blisko związanymi pojęciami są σ-addytywność oraz podaddytywność. Funkcję addytywną zbioru nazywamy też miarą skończenie addytywną.

Lang używa określenia funkcjonał na odwzorowania liniowe z przestrzeni wektorowej $V$ (nad ciałem $K$ ) w ciało $K$ . Słowo forma jest używane tu dla odwzorowań wieloliniowych oraz kwadratowych (tzn. mówi się w tej książce o formach wieloliniowych, formach kwadratowych itd).

Natomiast Komorowski używa jedynie określenia forma, pisząc

Elementy przestrzeni $V^*$ nazywamy formami liniowymi na $V$ ; często, kiedy nie prowadzi to do nieporozumień, formy liniowe nazywa się krótko formami.

W kolejnym rozdziale Komorowski wprowadza następującą definicję:

Bolesław Gleichgewicht (ur. 30 kwietnia 1919 w Warszawie) – doktor nauk matematycznych, zainteresowany różnymi aspektami algebry oraz dydaktyki matematyki.

Ciało – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb wymiernych, czy liczb rzeczywistych. W trakcie badań nad tymi obiektami rozwinął się aparat matematyczny (tzw. teoria Galois) umożliwiający rozwiązanie takich problemów jak rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez tzw. pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków), czy wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki). Działem matematyki zajmującym się opisem tych struktur jest teoria ciał.

Elementy p.w. $L(V_1,\ldots,V_n; K)$ nazywamy formami n-liniowymi.

Musielak pisze

[...] operator liniowy $T:X\longrightarrow {\mathbf K}$ nazywamy funkcjonałem liniowym lub formą liniową.

Jednak w pozostałych częściach tekstu używa on głównie zwrotu funkcjonał liniowy.

Przypisy

Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983. Wydanie III. Strony 175-177. ISBN 83-01-03903-5
Lang, Serge: Algebra. Tłumaczenie: Ryszard Bittner. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973.
Komorowski, Jacek: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978. Strona 68.
Musielak, Julian: Wstęp do analizy funkcjonalnej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1976. Strona 120

Zobacz też

funkcjonał liniowy

funkcjonał dwuliniowy

funkcjonał półtoraliniowy

przestrzeń liniowa

przestrzeń funkcyjna

dystrybucja