Gaz Fermiego - Polski Serwis Naukowy

Gaz Fermiego, (gaz elektronowy Fermiego, gaz fermionów) jest to model opisujący idealny gaz kwantowy nieoddziałujących fermionów. Jest kwantowomechanicznym odpowiednikiem klasycznego gazu doskonałego dla cząstek podlegających statystyce Fermiego-Diraca. Zachowanie elektronów w metalach i półprzewodnikach, neutronów w gwiazdach neutronowych może być z pewnym przybliżeniem w niektórych sytuacjach opisywane przez idealny gaz Fermiego.

Statystyka Fermiego-Diraca – statystyka dotycząca fermionów, cząstek o spinie połówkowym, które obowiązuje zakaz Pauliego. Zgodnie z zakazem Pauliego w danym stanie nie może znajdować się więcej niż jeden fermion.

Półprzewodniki - najczęściej substancje krystaliczne, których konduktywność (przewodnictwo właściwe) może być zmieniana w szerokim zakresie (np. 10-8 do 106 S/m (simensa na metr)) poprzez domieszkowanie, ogrzewanie, oświetlenie badź inne czynniki. Przewodnictwo typowego półprzewodnika plasuje się między przewodnictwem metali i dielektryków.

Opis matematyczny

Cząsteczki gazu są w takiej sytuacji opisywane przez statystykę Fermiego-Diraca. Najprostszy hamiltonian dla takich nieoddziałujących fermionów w przestrzeni Foka można zapisać wykorzystując operatory kreacji i anihilacji: $\hat{H}=\sum_{n}\epsilon_{n}a^{\dagger}_{n}a_{n} = \sum_{n}(E _{n} + \mu)a^{\dagger}_{n}a_{n}$

gdzie En – energia n-tego stanu μ – potencjał chemiczny

Energia wewnętrzna gazu Fermiego

Do dalszych obliczeń przyjmiemy μ = 0.

Gaz fotonowy – w fizyce terminem tym określa się zbiór fotonów, który ma wiele tych samych właściwości co konwencjonalne gazy jak neon czy wodór – w tym ciśnienie, temperaturę i entropię.

Stała Plancka (oznaczana przez h) jest jedną z podstawowych stałych fizycznych. Ma wymiar działania, pojawia się w większości równań mechaniki kwantowej.

Średnia liczba fermionów w gazie Fermiego: $N = \int\limits _{0} ^{\infty} dE \rho(E) \frac{1}{\exp(\beta E ) + 1}$

gdzie $\rho(E) = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} \sqrt{E}$ – gęstość stanów m – masa fermionów h – stała Plancka V – objętość, w której znajdują się fermiony $\frac{1}{\exp(\beta E ) + 1}$ – rozkład Fermiego-Diraca $\beta = \frac{1}{k_{B}T}$ – czynnik Boltzmanna $N = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} \int\limits _{0} ^{\infty} dE \sqrt{E} \frac{1}{\exp(\beta E ) + 1}$

Stosując proste podstawienie otrzymujemy: $N = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} \beta ^{-\frac{3}{2}} \int\limits _{0} ^{\infty} dx \frac{ x ^{ \frac{1}{2} } }{\exp( x ) + 1}$

Wartością powyższej całki jest funkcja eta Dirichleta od 3/2 razy gamma Eulera od 3/2 $\Gamma \left(\frac{3}{2} \right)\eta \left(\frac{3}{2} \right)$ . Ostatecznie otrzymujemy:

Potencjał chemiczny – pochodna cząstkowa energii wewnętrznej po liczbie cząstek, przy stałej objętości i entropii układu. Oznaczany jest przez μ lub μi. Może być również definiowany jako pochodna cząstkowa innej funkcji stanu: entalpii, energii swobodnej czy entalpii swobodnej po liczbie cząstek, przy czym pochodna jest obliczona przy zachowanych innych parametrach: ciśnieniu czy też temperaturze. Pojęcie to wprowadził do nauki w 1875 r J.W. Gibbs. Odgrywa ono zasadniczą rolę w termodynamice chemicznej. Jest podstawą do definicji aktywności termodynamicznej, występuje w kryteriach równowagi procesów oraz stosowane jest do opisu układów złożonych i do wyprowadzenia stałych równowagi fazowej i chemicznej.

Gęstość stanów jest funkcją opisującą w mechanice kwantowej na ile sposobów cząstka może posiadać daną energię. Iloczyn ρ(E)dE opisuje liczbę stanów energetycznych w przedziale (E, E+dE).

$N = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} (k _{B}T) ^{\frac{3}{2}}\Gamma \left(\frac{3}{2} \right) \eta \left(\frac{3}{2} \right)$

Prowadząc analogiczne rozumowanie dla średniej wartości energii gazu Fermiego: $U = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} \int\limits _{0} ^{\infty} dE \frac{ E^{\frac{3}{2}} }{\exp(\beta E ) + 1}$

otrzymujemy: $U = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} (k _{B}T) ^{\frac{5}{2}} \Gamma \left(\frac{5}{2} \right) \eta \left(\frac{5}{2} \right)$

Podstawiając do powyższego równania wartość N, otrzymujemy: $U =\frac{5}{2} \frac{ \eta \left(\frac{5}{2} \right) }{ \eta \left(\frac{3}{2} \right) } N k_{B}T \propto N k_{B} T$

Czyli podobnie jak dla gazu klasycznego energia wewnętrzna jest wprost proporcjonalna do temperatury.

Ciśnienie gazu Fermiego

Ciśnienie możemy zdefiniować jako pochodną energii po objętości gazu, otrzymujemy stąd:

Rozkład Fermiego-Diraca – opisuje sposób obsadzenia poziomów energetycznych przez elektrony w układzie wieloelektronowym, np. w atomie. Rozkład Fermiego-Diraca jest wersją rozkładu Boltzmanna dla fermionów – w tym wypadku elektronów – które obowiązuje zakaz Pauliego.

Gwiazda neutronowa - to jeden z końcowych etapów ewolucji gwiazd. Jest to obiekt astronomiczny o stosunkowo niedużych rozmiarach, ale o bardzo dużej gęstości. Przy średnicy 10–15 km ma masę od 1,4 do 2,5 mas Słońca. Tak duża gęstość wynika z gęstości upakowania neutronów i obiekt taki mógłby być nawet interpretowany jako ogromne jądro atomowe (1057 barionów) utrzymywane w równowadze przez siły grawitacyjne.

$p=\frac{\partial U}{\partial V} = \frac{5}{2} \frac{ \eta \left(\frac{5}{2} \right) }{ \eta \left(\frac{3}{2} \right) } \frac{\partial N}{ \partial V} k_{B}T$

Ponieważ liczba cząstek jest liniową funkcją objętości otrzymujemy $\frac{\partial N}{ \partial V} = \frac{N}{V} = n$

gdzie

n – liczba cząstek w danej objętości, nazywana koncentracją cząstek. Stąd $p = \frac{5}{2} \frac{ \eta \left(\frac{5}{2} \right) }{ \eta \left(\frac{3}{2} \right) } n k_{B}T \propto n k_{B} T$

Zapoznaj się również z: gaz fotonowy