Geometria - Polski Serwis Naukowy

Tablice geometryczne z encyklopedii z 1728 roku

Geometria (gr. γεωμετρία; geo – ziemia, metria – miara) – dziedzina matematyki badająca dla wybranych przekształceń ich niezmienniki, od najprostszych, takich jak odległość, pole powierzchni, miara kąta, przez bardziej zaawansowane, jak krzywizna, punkt stały, czy wymiar. W zależności od rodzaju przekształceń mówi się o różnych rodzajach geometrii.

Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii, będącej działem matematyki, zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).

Grupa – jedna z prostszych struktur algebraicznych: niepusty zbiór, na którym określono pewne łączne i odwracalne działanie dwuargumentowe. Skrótowo możemy powiedzieć, że grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

Geometria euklidesowa zajmuje się przede wszystkim badaniem niezmienników (stałych) izometrii (zachowanie odległości) oraz podobieństw (zachowanie kątów), geometria afiniczna bada niezmienniki przekształceń afinicznych, zaś geometria rzutowa opisuje niezmienniki przekształceń rzutowych. Problemy te uogólnia się na inne przestrzenie i obiekty (np. przestrzeń Riemanna, czy przestrzenie metryczne), a metoda badania niezmienników jest podstawową metodą badania bardziej zaawansowanych obiektów matematycznych (np. przestrzenie topologiczne, abstrakcyjne grupy, pierścienie, itp.)

Rozmaitość riemannowska bądź przestrzeń Riemanna - nazwana od nazwiska Bernharda Riemanna rzeczywista rozmaitość różniczkowa (M, g), dla której zdefiniowany jest tensor metryczny g, oraz istnieje funkcja d(x,y) określająca najkrótszą możliwą odległość jako rzeczywistą nieujemną wartość, będąca kresem dolnym zbioru odległości po wszystkich krzywych przechodzących jednocześnie przez dwa zadane punkty x i y.

Geometria hiperboliczna (zwana także geometrią siodła, geometrią Łobaczewskiego lub geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego) – jedna z geometrii nieeuklidesowych.

Geometria, podobnie jak arytmetyka należy do najstarszych nauk. Podobnie jak inne działy matematyki geometria wyewoluowała od badania kształtów znanych z codziennego życia do studiów nad nieskończenie wymiarowymi abstrakcyjnymi przestrzeniami matematycznymi.

Historia

Geometria powstała w starożytności. W swych początkach była zbiorem przepisów wykonywania pomiarów przedmiotów materialnych. Pierwsze próby formułowania twierdzeń geometrii pojawiły się w VI wieku p.n.e. w starożytnej Grecji (Tales z Miletu). Kompilacją poznanych do III wieku p.n.e. faktów jest dzieło Euklidesa Elementy (ok. 300 p.n.e.). Obejmuje ono teorię proporcji, arytmetykę oraz geometrię. Jest pierwszym dedukcyjnym wykładem geometrii w historii matematyki. Wszystkie twierdzenia są wyprowadzone zgodnie z tradycyjnymi regułami logiki na podstawie przyjętych pojęć pierwotnych i aksjomatów, których było pięć. Jest to również pierwsza aksjomatyczna teoria w historii matematyki. Aksjomatyzacja arytmetyki pojawiła się wiele wieków później.

Felix Christian Klein (ur. 25 kwietnia 1849 w Düsseldorfie, zm. 22 czerwca 1925 w Getyndze) – niemiecki matematyk, profesor uniwersytetów Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg, Uniwersytu w Lipsku i Getyndze oraz politechniki w Monachium. Od 1913 członek Berlińskiej Akademii Nauk.

Geometria analityczna – dział geometrii zajmujący się badaniem figur geometrycznych metodami analitycznymi (obliczeniowymi) i algebraicznymi. Złożone rozważania geometryczne zostają w geometrii analitycznej sprowadzone do rozwiązywania układów równań, które opisują badane figury. Przedmiotem badań geometrii analitycznej jest zasadniczo przestrzeń euklidesowa i własności jej podzbiorów, choć wiele wyników można uogólnić na dowolne, skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe.

Momentem przełomowym w rozwoju geometrii było opublikowanie w XVII w. przez matematyka francuskiego Kartezjusza pracy La géométrie, (1637), co zapoczątkowało rozwój geometrii analitycznej. W pracy tej Kartezjusz wprowadził do geometrii metody algebraiczne. Niezależnie i nieco wcześniej uczynił to także Pierre de Fermat, który jednak nie opublikował swych wyników.

Przekształcenie rzutowe (również transformacja rzutowa) - w geometrii rzutowej jest to funkcja wzajemnie jednoznaczna przeprowadzająca przestrzeń rzutową na siebie i zachowująca współliniowość punktów.

Geometria afiniczna - jedna z możliwych geometrii. Podstawową figurą geometryczną w tej geometrii jest (podobnie jak w geometrii euklidesowej) prosta, podstawowym pojęciem jest równoległość dwóch prostych a podstawowym odwzorowaniem tzw. odwzorowanie afiniczne. Treścią tej teorii jest m.in. badanie własności figur geometrycznych niezmienniczych ze względu na grupę tych przekształceń. Tutaj bowiem obok podobieństw (przesunięć, obrotów i jednokładności) dochodzą jeszcze rozciąganie i zgniatanie wzdłuż jakiejś prostej. Te ostatnie deformacje mogą być efektem np. rzutowań równoległych. W ujęciu F. Kleina geometria afiniczna jest pewną grupą odwzorowań pośrednią między grupą podobieństw a grupą przekształceń rzutowych.

Pięć aksjomatów podanych przez Euklidesa przez dwa tysiąclecia stanowiło podstawę budowy geometrii. Dopiero w drugiej połowie XIX w. stwierdzono, że nie są one wystarczające. W roku 1882 matematyk niemiecki Moritz Pasch podał konieczne uzupełnienia. Pełny zestaw aksjomatów geometrii euklidesowej wraz z dowodem niesprzeczności tego systemu opublikował w 1899 matematyk niemiecki David Hilbert. Jednym z mniej oczywistych aksjomatów sformułowanych przez Euklidesa jest piąty (ostatni) aksjomat o równoległych, zwany często aksjomatem lub pewnikiem (również postulatem) Euklidesa. Jest on równoważny m.in. następującemu twierdzeniu: suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa mierze kąta półpełnego. Przez wiele wieków próbowano wyprowadzić ten aksjomat z pozostałych aksjomatów podanych przez Euklidesa. Próby te (które, jak dziś wiadomo, nie mogły przynieść sukcesu) przyczyniły się do rozwoju innych teorii, a także do powstania geometrii innych niż euklidesowa.

Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.

Arytmetyka (z greckiego αριθμός = liczba) - najstarsza część matematyki. W powszechnym użyciu słowo to odnosi się do zasad opisujących podstawowe działania na liczbach (elementarna arytmetyka).

Geometrie te noszą nazwę geometrii nieeuklidesowych, a wspólną ich cechą jest to, że nie jest w nich spełniony piąty aksjomat Euklidesa (przykładami mogą tu być geometria hiperboliczna i geometria eliptyczna). Jedna z takich geometrii, a mianowicie geometria Riemanna, została zastosowana przy konstruowaniu ogólnej teorii względności. Teoria oparta na aksjomatach geometrii euklidesowej bez aksjomatu Euklidesa nazywa się geometrią absolutną. W geometrii absolutnej można wprowadzić na przykład odległość punktów i długość odcinka. Do geometrii absolutnej należą te twierdzenia, które są prawdziwe zarówno w geometrii euklidesowej, jak i w geometrii, w której prawdziwe jest zaprzeczenie piątego aksjomatu.

Kartezjusz (fr. René Descartes, łac. Renatus Cartesius, ur. 31 marca 1596 r. w La Haye-en-Touraine w Turenii, zm. 11 lutego 1650 r. w Sztokholmie) – francuski matematyk, filozof i fizyk, jeden z najwybitniejszych uczonych XVII wieku, uważany za prekursora nowożytnej kultury umysłowej.

Izometria (gr. isos – równy, métron – miara; także przekształcenie izometryczne, izomorfizm izometryczny) – funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. W geometrii figury między którymi zachodzi izometria (są izometryczne) nazywa się przystającymi.

Powstanie rachunku różniczkowego i całkowego dało początek geometrii różniczkowej. Podwaliny geometrii różniczkowej stworzył szwajcarski matematyk i fizyk Leonhard Euler, a rozwinął ją w znacznym stopniu niemiecki matematyk i fizyk Carl Friedrich Gauss. Pod koniec XVIII wieku powstała geometria wykreślna obejmująca metody graficznego przedstawiania figur przestrzennych na płaszczyźnie. Jednocześnie skrystalizowała się geometria rzutowa, której pewne twierdzenia (na przykład twierdzenie Desarguesa) znane były już wcześniej. Do dalszego rozwoju geometrii duży wkład wniósł matematyk niemiecki Bernhard Riemann, który w 1854 roku dzięki użyciu metod geometrii różniczkowej ogłosił nową teorię. Zaproponował zastąpienie pojęcia płaszczyzny pojęciem powierzchni oraz pojęcia prostej pojęciem linii geodezyjnej, tj. takiej krzywej, leżącej na powierzchni, której łuk o końcach P, Q jest najkrótszym z leżących na powierzchni łuków o końcach P i Q dla P i Q dostatecznie bliskich. Teorię powierzchni Riemanna uogólnia się na wyższe wymiary, co znajduje zastosowanie w fizyce teoretycznej.

Geometria wykreślna to powstały pod koniec XVIII w. dział geometrii zajmujący się sposobami przedstawiania figur przestrzennych na płaszczyźnie. W odróżnieniu od geometrii teoretycznej jest nauką stosowaną, użyteczną w wielu dziedzinach techniki. Z niej wywodzi się m.in. rysunek techniczny maszynowy.

Aksjomat (postulat, pewnik; gr. αξιωμα aksíoma – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:

Od ogłoszenia przez matematyka niemieckiego Felixa Kleina programu erlangeńskiego zaczęła się rozwijać geometria afiniczna.

Za pewnego rodzaju uogólnienie geometrii można uważać topologię. Coraz większego znaczenia zaczęła nabierać geometria algebraiczna. Obecnie geometria nie jest jednolitym działem; składa się z wielu różnorodnych dziedzin, w których specjaliści stosują radykalnie odmienne metody. Relatywnie nowym działem geometrii są "geometrie skończone", w których liczba punktów na prostej jest skończona. Najważniejsze przykłady skończonych geometrii afinicznych i rzutowych otrzymuje się korzystając z istnienia ciał skończonych Galois. Inne tego typu geometrie skończone nazywamy egzotycznymi. W ramach klasycznej geometrii wyodrębniła się też geometria zbiorów wypukłych oraz - często uważana za ogólniejszą - geometria kombinatoryczna, zajmująca się na przykład ekonomicznym pokryciem płaszczyzny lub ogólniej n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej (kartezjańskiej) przez równoległe przesunięcia danego zbioru ograniczonego, wypukłego, domkniętego, o niepustym wnętrzu.

Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) - miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.

Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.

Linki zewnętrzne

Zobacz hasło geometria w Wikisłowniku

Zobacz w Wikicytatach kolekcję cytatów
o geometrii

W Wikimedia Commons znajdują się multimedia związane z tematem:
Geometria

Podręcznik "Geometria" Jana Zydlera