Gradient - matematyka - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zapoznaj się również z: inne znaczenia.

Gradient – w analizie matematycznej, a dokładniej rachunku wektorowym, pole wektorowe wskazujące kierunki najszybszych wzrostów wartości danego pola skalarnego w poszczególnych punktach, przy czym moduł (długość) każdej wartości wektorowej jest równy szybkości wzrostu. Wektor przeciwny do gradientu nazywa się często antygradientem.

Izomorfizm muzyczny – w matematyce izomorfizm między wiązką styczną TM a wiązką kostyczną T M rozmaitości riemannowskiej M określony za pomocą jej metryki. Znany jest również jako podnoszenie i opuszczanie wskaźników.
Mer (gr. meros = "część") – najprostszy, jaki da się wyróżnić, stale powtarzający się fragment cząsteczek polimerów, które składają się z bardzo długiego łańcucha merów, zakończonych na obu końcach grupami końcowymi.

Uogólnieniem gradientu na funkcje przestrzeni euklidesowej w inną jest macierz Jacobiego. Dalej idącym uogólnieniem na funkcje między przestrzeniami Banacha jest pochodna Frécheta.

Wprowadzenie

Na powyższych obrazkach pole skalarne jest czarno-białe, przy czym czerń reprezentuje wyższe wartości, a odpowiadającemu mu gradientowi odpowiadają niebieskie strzałki.

Przykładem może być pokój, w którym temperatura opisana jest polem skalarnym $T.$ Tak więc w każdym punkcie $(x, y, z)$ temperatura wynosi $T(x, y, z)$ (zakładamy, że nie zmienia się ona w czasie). Wówczas w każdym punkcie pokoju gradient $T$ w tym punkcie pokazuje kierunek (wraz ze zwrotem), w którym temperatura rośnie najszybciej. Moduł gradientu wskazuje jak szybko rośnie temperatura w tym kierunku.

Elektroliza — w chemii i fizyce - ogólna nazwa na wszelkie zmiany struktury chemicznej substancji, zachodzące pod wpływem przyłożonego do niej zewnętrznego Elektrolizie towarzyszyć może (choć nie musi) szereg dodatkowych zjawisk, takich jak dysocjacja elektrolityczna, transport jonów do elektrod, wtórne przemiany jonów na elektrodach i inne. W sensie technologicznym przez elektrolizę rozumie się wszystkie te procesy łącznie.
Metoda najszybszego spadku jest pojęciem z zakresu optymalizacji matematycznej. Jest to algorytm numeryczny mający na celu znalezienie minimum zadanej funkcji celu.

Innym przykładem może być powierzchnia, dla której $H(x, y)$ oznacza wysokość nad poziomem morza w punkcie $(x, y).$ Gradientem $H$ w punkcie jest wektor wskazujący kierunek największego pochylenia w tym punkcie. Miara tego pochylenia jest dana jako moduł wektora gradientu.

Dzięki iloczynowi skalarnemu gradient można wykorzystać do mierzenia nie tylko tego jak pole skalarne zmienia się w kierunku największej zmiany, lecz także w innych kierunkach. Niech w przykładzie ze wzgórzem największe pochylenie zbocza wynosi 40%. Jeśli droga biegnie prosto pod górę, to największe pochylenie drogi również będzie wynosić 40%. Jeśli jednak droga biegnie wokół wzgórza pod pewnym kątem (względem wektora gradientu), to będzie miała mniejsze nachylenie. Przykładowo jeśli kąt między drogą a kierunkiem w górę, rzutowany na płaszczyznę poziomą, wynosi 60°, to największe nachylenie wzdłuż drogi będzie wynosić 20%, co jest równe 40% razy cosinus 60°.

Definicja intuicyjna: Wersor to wektor o długości jeden, wskazujący kierunek i zwrot pewnego wektora początkowego, któremu ten wersor przypisujemy. Mnożenie wersora przez długość początkowego wektora odtwarza początkowy wektor.
Pochodna cząstkowa – w matematyce dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.

Ta obserwacja może być wyrażona matematycznie w następujący sposób. Jeśli funkcja wysokości terenu $H$ jest różniczkowalna, to gradient funkcji $H$ pomnożony skalarnie przez wektor jednostkowy daje pochylenie terenu w kierunku tego wektora. Dokładniej, jeśli $H$ jest różniczkowalna, to iloczyn skalarny gradientu $H$ przez dany wektor jednostkowy jest równy pochodnej kierunkowej $H$ w kierunku tego wektora jednostkowego.

Kopolimery - rodzaj polimerów, których łańcuchy zawierają dwa lub więcej rodzajów merów. W odróżnieniu od kopolimerów, polimery zawierające tylko jeden rodzaj merów nazywa się często homopolimerami. Głównym powodem otrzymywania kopolimerów są ich szczególne własności fizyczne, których nie mogą posiadać homopolimery i ich proste mieszaniny zawierające te same mery.
Reakcja chemiczna – każdy proces, w wyniku którego pierwotna substancja zwana substratem przemienia się w inną substancję zwaną produktem. Aby cząsteczka substratu zamieniła się w cząsteczkę produktu konieczne jest rozerwanie przynajmniej jednego z obecnych w niej wiązań chemicznych pomiędzy atomami, bądź też utworzenie się przynajmniej jednego nowego wiązania. Reakcje chemiczne przebiegają z reguły z wydzieleniem lub pochłonięciem energii cieplnej, promienistej (alfa lub beta) lub elektrycznej.

Podobnie obrazuje się zmianę innych wielkości fizycznych takich jak: stężenie, współczynnik pH, gęstości ładunku elektrycznego, jasność, kolor itp. w określonej przestrzeni.

Definicja

Gradient funkcji f(x,y) = −(cos²x + cos²y)² przedstawiony jako pole wektorowe na dolnej płaszczyźnie.

Gradient (lub gradientowe pole wektorowe) funkcji skalarnej $f(x_1, \dots, x_n)$ oznaczany $\nabla f,$ gdzie $\nabla$ (nabla) to wektorowy operator różniczkowy nazywany nabla. Innym oznaczeniem gradientu $f$ jest $\operatorname{grad}\; f.$

Gradient $f$ definiuje się jako pole wektorowe o składowych będących pochodnymi cząstkowymi $f,$ tzn.

MathWorld - encyklopedia matematyczna online, sponsorowana przez Wolfram Research, twórcę i producenta programu Mathematica; współsponsorem jest National Science Foundation (National Science Digital Library).
Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej przy pomocy wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora, od nazwiska angielskiego matematyka, Sir Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte o tę własność może przyjąć postać szeregu, zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest nieco uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych.

$\nabla f = \left[\frac{\partial f}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right].$

Gradient jest wektorem kolumnowym, jednak bywa zapisywany jako wektor wierszowy. Jeżeli funkcja zależy także od parametru takiego jak czas, to zwykle gradient oznacza wtedy wektor jej pochodnych przestrzennych.

Gradient funkcji wektorowej $\mathrm f = (f_1, f_2, f_3)$ to $\nabla \mathrm f = \frac{\partial f_j}{\partial x_i} \mathbf e_i \mathbf e_j$

lub też transpozycja macierzy Jacobiego $\frac{\partial (f_1, f_2, f_3)}{\partial (x_1, x_2, x_3)}.$

Jest to tensor drugiego rzędu.

Mnożenie macierzy – w matematyce operacja mnożenia macierzy przez skalar lub inną macierz. Artykuł zawiera opis różnorodnych sposobów przeprowadzania ich mnożenia.
Przestrzeń współrzędnych – w algebrze liniowej prototypowy model przestrzeni liniowej skończonego wymiaru nad ustalonym ciałem; definiuje się ją jako przestrzeń produktową danego ciała nad skończonym zbiorem indeksów, w szczególności każde ciało można postrzegać jako jednowymiarową przestrzeń współrzędnych z działaniem mnożenia z ciała jako mnożenia przez skalar.

Ogólniej gradient może być zdefiniowany za pomocą pochodnej zewnętrznej: $\nabla \mathrm f = (\operatorname d\mathrm f)^\sharp.$

Symbole $\scriptstyle\flat$ oraz $\scriptstyle\sharp$ oznaczają tutaj izomorfizmy muzyczne.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)