Graf dwudzielny - Polski Serwis Naukowy

Przykładowy graf dwudzielny

Pełny graf dwudzielny K3,4

Graf dwudzielny – graf, którego zbiór wierzchołków można podzielić na dwa rozłączne zbiory tak, że krawędzie nie łączą wierzchołków tego samego zbioru. Jeśli pomiędzy wszystkimi parami wierzchołków należących do różnych zbiorów istnieje krawędź, graf taki nazywamy pełnym grafem dwudzielnym lub kliką dwudzielną i oznaczamy Kn,m gdzie n i m oznaczają liczności zbiorów wierzchołków.

Cykl Hamiltona to taki cykl w grafie, w którym każdy wierzchołek grafu przechodzony jest tylko jeden raz (oprócz pierwszego wierzchołka) . Znalezienie cyklu Hamiltona o minimalnej sumie wag krawędzi jest równoważne rozwiązaniu problemu komiwojażera. Grafy zawierające cykl Hamiltona nazywamy hamiltonowskimi.

Klasa grafów to klasa zawierająca wszystkie grafy spełniające jakieś warunki. Np. Klasa grafów pełnych zawiera wszystkie grafy w których istnieje krawędź pomiędzy dowolnymi dwoma wierzchołkami.

Pojęcie można uogólnić na trzy (graf trójdzielny) i więcej zbiorów.

Definicja formalna

Grafem dwudzielnym nazywamy trójkę G(U, V, E) gdzie: U={u1, u2, ..., un}, V={v1, v2, ..., vm}

i $E \subseteq U \times V$ .

U i V są zbiorami wierzchołków, E to zbiór krawędzi.

Warunki wystarczające dla grafu hamiltonowskiego

Sformułowane zostało twierdzenie, które pozwala określić, czy graf dwudzielny jest grafem hamiltonowskim.

Treść twierdzenia

Niech G będzie grafem dwudzielnym i niech:

Ścieżka Hamiltona – ścieżka w grafie przebiegająca przez wszystkie jego wierzchołki dokładnie raz. Graf zawierający ścieżkę Hamiltona jest grafem hamiltonowskim. Odpowiedź na pytanie, czy graf zawiera ścieżkę Hamiltona jest w teorii obliczeń problemem NP-zupełnym, tj. nie istnieją efektywne algorytmy odpowiadające na to pytanie. Wszystkie ścieżki Hamiltona można znaleźć np. przy pomocy metody kompozycji łacińskiej. Niekiedy o grafie, który posiada ścieżkę hamiltonowską oraz nie ma cyklu hamiltonowskiego, mówi się, że jest grafem trasowalnym lub grafem półhamiltonowskim.

Graf hamiltonowski to graf rozważany w teorii grafów zawierający ścieżkę (drogę) przechodzącą przez każdy wierzchołek dokładnie jeden raz zwaną ścieżką Hamiltona. W szczególności grafem hamiltonowskim jest graf zawierający cykl Hamiltona, tj. zamkniętą ścieżkę Hamiltona. W niektórych źródłach graf zawierający tylko ścieżkę Hamiltona nazywany jest grafem półhamiltonowskim.

$V(G)=V_1\cup V_2$

będzie podziałem wierzchołków G.

Jeśli G ma cykl Hamiltona, to: $|V_1|\ =\ |V_2|$

Jeśli G ma ścieżkę Hamiltona, to wartości $|V_1|$ i $|V_2|$ różnią się co najwyżej o 1.

Dla pełnych grafów dwudzielnych zachodzi też implikacja w lewo, tj. jeśli: $|V_1|\ =\ |V_2|,$

to G ma cykl Hamiltona.

Jeśli $|V_1|$ i $|V_2|$ różnią się co najwyżej o 1 to G ma ścieżkę Hamiltona.

Dowód

Niech n oznacza ilość wierzchołków grafu G.

Cykl Hamiltona możemy wyznaczyć biorąc na przemian wierzchołki leżące w zbiorach $V_1$ i $V_2$ . Jeśli:

$v_1,v_2,\cdots ,v_n,v_1$

wyznacza drogę zamkniętą przechodzącą dokładnie raz przez każdy wierzchołek, to $v_1,v_3,v_5\cdots$

muszą należeć do jednego ze zbiorów podziału, bez straty ogólności załóżmy, że należą one do $V_1$ . Ponieważ istnieje krawędź $\! \{v_n,v_1\}$ , liczba n musi być parzysta, a więc wszystkie wierzchołki $v_2,v_4,\cdots ,v_n$ należą do $V_2$ , z czego wynika, że: $|V_1|\ =\ |V_2|$ .

W przypadku ścieżki Hamiltona można zastosować podobne wyszukiwanie, zakończyć je na wierzchołku $v_n$ . W przypadku, gdy n nie jest parzyste, jeden ze zbiorów ma jeden dodatkowy wierzchołek.

Załóżmy G jest pełnym grafem dwudzielnym, tj.: $G=K_{|V_1|,|v_2|}.$ .

Jeżeli: $|V_1|\ =\ |V_2|$

to dla każdego "przemiennego" indeksowania wierzchołków $v_1,v_2,\cdots ,v_n,v_1$ wyznacza cykl Hamiltona w G. Gdy jeden z podziałów, np. $V_1$ jest mniejszy wystarczy wyjść z niego przez $\! \{v_{|V_1|},v_{|V_2|}\}$ .

Zobacz też

klasa grafów

teoria grafów

twierdzenie Bondy'ego-Chvátala

twierdzenie Diraca (1952)

twierdzenie o ilości krawędzi

twierdzenie Ore (1961)