Granica ciągu - Polski Serwis Naukowy

Granica ciągu – wartość, w której dowolnym otoczeniu znajdują się prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończenie wieloma) wyrazy danego ciągu; precyzyjniej: wartość, dowolnie blisko której leżą wszystkie wyrazy ciągu o dostatecznie dużych wskaźnikach.

Granica (właściwa) i zbieżność

Niech $(a_n)$ będzie ciągiem (skończonym bądź nieskończonym) liczb rzeczywistych lub zespolonych. Liczbę $g$ nazywa się granicą ciągu $(a_n)$ , jeżeli

Paradoksy Zenona z Elei – zbiór kilku paradoksów pochodzących od greckiego filozofa, Zenona z Elei. Są to paradoksy, które łączy ukazanie trudności w rozumieniu czasu i przestrzeni jako wielkości ciągłych, które można w związku z tym dzielić w nieskończoność. Oprócz znaczenia czysto filozoficznego, paradoksy te mają też znaczenie matematyczne i fizyczne.
Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii, będącej działem matematyki, zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).

$\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_N\; \forall_{n > N}\; |a_n - g| < \varepsilon,$

gdzie symbol $|\cdot|$ oznacza wartość bezwzględną liczby rzeczywistej, bądź moduł liczby zespolonej.

W interpretacji geometrycznej powyższa nierówność dla liczb zespolonych oznacza w istocie, że wybrane jw. wyrazy $a_n$ leżą w kole $K(g, \varepsilon);$ z kolei dla liczb rzeczywistych oznacza ona, że leżą one w przedziale $(g - \varepsilon,\ g + \varepsilon),$ który jest odpowiednikiem koła dla osi liczbowej.

Powyższy formalny warunek można więc wysłowić następująco:

Aksjomat Archimedesa to aksjomat geometrii głoszący, że każdy odcinek jest krótszy od pewnej wielokrotności długości każdego innego odcinka. Z niego wynika nieograniczoność prostej. Został on wbrew nazwie sformułowany po raz pierwszy przez Eudoksosa, a nazwany w ten sposób przez Otto Stoltza w 1883. Geometrie nie spełniające go zwane są niearchimedesowymi.
Definicja intuicyjna: Powierzchnia (ściślej: brzeg) kuli. Zbiór punktów oddalonych o pewną zadaną odległość (promień sfery) od wybranego punktu (środek sfery).

dla dowolnej dodatniej liczby $\varepsilon$ istnieje taki wskaźnik $N,$ że dla wszystkich wskaźników $n$ większych od $N$ wyrazy $a_n$ leżą w kole o środku $g$ i promieniu $\varepsilon.$

Granicę ciągu $(a_n)$ oznacza się $\lim_{n \to \infty}~a_n$ lub po prostu $\lim~a_n$ , a fakt, że $g$ jest granicą ciągu $(a_n)$ , niekiedy oznacza się $a_n \xrightarrow{n \to \infty} g$ lub $a_n \to g$ i czyta się: „ciąg $a_n$ dąży do granicy $g$ ”.

Ciągi mające granice nazywa się zbieżnymi, a pozostałe – rozbieżnymi. Do badania ciągów rozbieżnych stosuje się pojęcie granicy górnej i dolnej, czyli największej i najmniejszej spośród wszystkich granic jego podciągów zbieżnych. Ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jego granice górna i dolna są sobie równe. Przydatne jest też pojęcie punktu skupienia. Jest ono uogólnieniem pojęcia granicy, bowiem każda granica jest punktem skupienia, ale nie na odwrót.

Żargon matematyczny – żargon wykorzystywany przez matematyków, różniący się od literackiej polszczyzny przede wszystkim w zakresie semantyki. Niniejszy artykuł ma na celu objaśnienie znaczeń zwrotów potocznych używanych w matematyce w odmiennym znaczeniu.
Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.

Niekiedy, dla odróżnienia od granicy niewłaściwej opisanej w kolejnej sekcji, granicę ciągu zbieżnego do pewnej liczby rzeczywistej lub zespolonej (nazywanej wtedy „skończoną”, w przeciwieństwie do dwóch lub jednej „liczb nieskończonych”) nazywa się granicą właściwą.

Granice niewłaściwe

Dla niektórych rozbieżnych ciągów nieskończonych wprowadza się pojęcie granicy niewłaściwej. Są to te ciągi, których wyrazy rosną lub maleją nieograniczenie; można powiedzieć, że dążą one do punktu w nieskończoności. Jest to związane z pojęciem uzwarcenia (kompaktyfikacji) zbiorów liczb rzeczywistych lub zespolonych (zależnie od wyrazów danego ciągu). Często tego rodzaju rozszerzenie umożliwia ogólniejsze ujęcie definicji i własności związanych z granicami ciągów.

Eudoksos z Knidos (gr. Εὔδοξος ὁ Κνίδιος Eudoksos ho Knidios) – grecki astronom, matematyk, filozof i geograf żyjący w pierwszej połowie IV wieku p.n.e. (prawdopodobnie około 408-355 p.n.e.)
Granica dolna (także łac. limes inferior) oraz granica górna (również łac. limes superior) – odpowiednio kres dolny i górny granic wszystkich podciągów danego ciągu.

W przypadku granic niewłaściwych $-\infty, +\infty$ zbiór liczb rzeczywistych zostaje rozszerzony o dwa nowe elementy oznaczane $-\infty, +\infty$ . Topologicznie w efekcie takiej operacji uzyskuje się zbiór homeomorficzny z odcinkiem domkniętym. Rozszerzony w ten sposób zbiór $\mathbb R$ oznacza się zazwyczaj $\overline{\mathbb R}$

W przypadku granicy niewłaściwej $\infty$ zbiory liczb rzeczywistych bądź zespolonych są rozszerzone o nowy element oznaczany symbolem $\infty$ . Topologicznie rozszerzenie tego typu jest homeomorficzne odpowiednio z okręgiem lub ze sferą. Tak rozszerzony zbiór $\mathbb R$ oznacza się zazwyczaj $\mathbb R^*$ lub $\widehat{\mathbb R},$ a rozszerzony zbiór $\mathbb C$ oznacza się $\mathbb C^*$ lub $\widehat{\mathbb C}.$

Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.
Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.

Mówi się, że ciąg $(a_n)$ ma granicę niewłaściwą w $\infty$ lub jest rozbieżny do $\infty,$ jeżeli $\forall_{M\in\mathbb R}\; \exists_N\; \forall_{n > N}\; |a_n| > M.$

Można wysłowić to następująco: dla dowolnie dużego koła o środku w $0$ prawie wszystkie wyrazy ciągu $a_n$ leżą na zewnątrz tego koła.

Jeżeli $(a_n)$ jest ciągiem liczb rzeczywistych i wszystkie jego wyrazy o indeksach większych od odpowiednio dużego $N$ są większe od dowolnie z góry dobranej liczby, to mówi się, że ciąg ma granicę niewłaściwą w $+\infty,$ bądź że jest rozbieżny do $+\infty;$ jeżeli są mniejsze od dowolnie z góry dobranej liczby, to ma on granicę niewłaściwą w $-\infty$ lub że jest rozbieżny do $-\infty.$

Leucyp z Miletu (gr. Λεύκιππος Leukippos) – filozof grecki z V w. p.n.e., uznawany za twórcę atomizmu - teorii budowy materii, głoszącej, że jest ona zbudowana z małych, niepodzielnych cząstek (atomów), otoczonych próżnią i różniących się między sobą kształtem, położeniem i porządkiem. Atomy obdarzone są odwiecznym ruchem, popychając się i łącząc w znane nam rzeczy. Jedyny znany nam dosłowny fragment pism Leucypa (wszystkie inne zaginęły) każe nam uważać go za pierwszego deterministę: Nic nie dzieje się bez przyczyny, lecz wszystko z jakiejś racji i konieczności. Prawdopodobnie to jego dziełem był Wielki ład świata, włączony później do kanonu pism Demokryta.
Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

Równoważnie można powiedzieć, że ciąg $(a_n)$ ma

granicę niewłaściwą w $+\infty$ , jeżeli

$\forall_{M\in\mathbb R}\; \exists_N\; \forall_{n > N}\; a_n > M;$

granicę niewłaściwą w $-\infty$ , jeżeli

$\forall_{M\in\mathbb R}\; \exists_N\; \forall_{n > N}\; a_n < M.$

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)