Grupa - matematyka - Polski Serwis Naukowy

Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

Arytmetyka modularna, arytmetyka reszt – w matematyce system liczb całkowitych, w którym liczby „zawijają się” po osiągnięciu pewnej wartości określonej terminem modulo (skracane mod).
Teoria grup – jeden z działów matematyki, uznawany za część algebry, badający własności obiektów zwanych grupami. Wraz z zastosowaniami stanowi on obecnie ogromną, autonomiczną dziedzinę wiedzy.

Rys historyczny

Jako pierwsi grupy (nie posługując się jeszcze ustaloną nazwą) rozważali Lagrange i Ruffini, którzy badali grupy permutacji zbiorów skończonych. Gauss w swojej pracy Disquisitiones Arithmeticae (Rozważania arytmetyczne) zajmuje się addytywnymi i multiplikatywnymi grupami reszt modulo $n$ stosując rozumowania współczesnej teorii grup. Jako pierwszy nazwy groupe użył Galois podczas określania niektórych własności grup permutacji zbiorów skończonych odnosząc je jednak raczej do samego zbioru. Opracowane przez niego własności posłużyły następnie Cayleyowi w 1854 do zdefiniowania abstrakcyjnego pojęcia grupy.

Rząd – w teorii grup pojęcie oddające intuicję „rozmiaru” (w sensie „rzędu wielkości”) danej grupy i ułatwiające przy tym opis jej podgrup; w szczególności rzędem elementu nazywa się rząd („rozmiar”) najmniejszej (pod)grupy zawierającej ten element.
Izometria (gr. isos – równy, métron – miara; także przekształcenie izometryczne, izomorfizm izometryczny) – funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. W geometrii figury między którymi zachodzi izometria (są izometryczne) nazywa się przystającymi.

Różne definicje grupy

Definicja 1

Grupą nazywamy zbiór $G$ z działaniem dwuargumentowym spełniającym następujące warunki:

$\forall_{a, b, c \in G}\; (a b) c = a (b c)$ zapewniający łączność działania
$\exists_{e \in G}\; \forall_{a \in G}\; e a = a e = a$ , gdzie $e$ nazywamy elementem neutralnym działania,
$\forall_{a \in G}\; \exists_{b \in G}\; a b = b a = e$ , gdzie $b$ nazywamy elementem odwrotnym do elementu $a$ . Element odwrotny jest oznaczany przez $a^{-1}$ .

Jeżeli działanie w grupie $G$ spełnia warunek: : $\forall_{a,\; b \in G}\; a b = b a$ , to grupę $G$ nazywamy grupą przemienną bądź abelową.

Uwagi

Grupa można uważać za zbiór, w którym określone są trzy operacje n-arne: łączna operacja 2-arna, operacja 1-arna - element przeciwny i operacja 0-arna - element neutralny.

W definicji wystarczy założyć, że element neutralny i element odwrotny są oba prawostronne lub oba lewostronne.

W definicji wystarczy, poza istnieniem działania dwuelementowego łącznego, założyć istnienie dla każdego $a \in G$ takiego elementu $a^{-1} \in G$ , który spełnia warunek:

$\forall_{a, b \in G} a^{-1} (ab) = b = (ba) a^{-1}$ .

Warunek łączności sprawia, że wyrażenia postaci $a b c$ mają sens bez użycia nawiasów, gdyż niezależnie od położenia nawiasów wynik działania jest taki sam.

Grupa ma dokładnie jeden element neutralny, bo jeśli $e^'$ i $e$ są dwoma elementami neutralnymi grupy, to:

$e^' = e^' e = e$ .

Element odwrotny jest wyznaczony jednoznacznie. Jeśli $a^', a^{''}$ są dwoma elementami odwrotnymi do $a$ , to:

$a^{''} = a^{''} e = a^{''} (a a^') = (a^{''} a) a^' = e a^' = a^'$

Elementem odwrotnym do elementu odwrotnego danego elementu jest ten sam element, niech $a^{-1}$ oznacza element odwrotny do $a$ : $(a^{-1})^{-1} = a$ (operacja 1-arna przyporządkowująca każdemu elementowi grupy jego element odwrotny jest inwolucją).

Definicja 2

Grupą nazywamy zbiór $G$ z trzema działaniami dwuargumentowymi ab, a\b i a/b spełniającymi następujące warunki:

Reprezentacja grupy – w teorii grup każdy homomorfizm grupy w grupę przekształceń liniowych odwracalnych ustalonej przestrzeni liniowej nad zadanym ciałem.
Grupa wolna – grupa zawierająca podzbiór o tej własności, że każdy element grupy daje się jednoznacznie przedstawić jako iloczyn skończenie wielu elementów tego podzbioru oraz ich odwrotności (za wyłączeniem trywialnych wariantów takich jak st = su ut , gdzie s,t,u należą do takiego podzbioru).

$\forall_{a, b, c \in G}\; (a b) c = a (b c)$ ,
$\forall_{a, b \in G}\; a (b \backslash a) = b, (b / a) a = b$ ,
$\forall_{a, b \in G}\; a b \backslash a = b, b a / a = b$ .

Uwagi

$a \backslash b = a^{-1} b, a / b = b a^{-1}$ .

Do zdefiniowania grupy wystarczy operacja 2-arna a/b. Jeżeli $a / b = a\; b\; \omega$ , to:

$e = a\; a\; \omega$ , $a^{-1} = a\; a\; \omega\; a\; \omega$ , $a b = a\; b\; b\; \omega\; b\; \omega\; \omega$ .

Operacja $\omega$ umożliwia zdefiniowanie grupy za pomocą jednego aksjomatu:

$\forall_{a, b, c\; \in\; G}\; a\; a\; a\; \omega\; b\; \omega\; c\; \omega\; a\; a\; \omega\; c\; \omega\; \omega\; \omega = b$ .

Zapis

Istnieją dwa główne sposoby zapisu grup: multyplikatywny, w którym korzysta się z symboliki mnożenia, oraz addytywny, wykorzystujący oznaczenia używane w dodawaniu. W zapisie multyplikatywnym, tak jak w zwykłym mnożeniu, znak kropki zwykle opuszcza się. Również samo działanie w grupie otrzymuje wtedy nazwę odpowiednio mnożenia lub dodawania. W tabelce znajdują się standardowe oznaczenia i nazwy dla obu rodzajów zapisu.

Struktura matematyczna - zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system. Często można się spotkać z innymi nazwami struktury matematycznej, na przykład: model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu.
Grupa – jedna z prostszych struktur algebraicznych: niepusty zbiór, na którym określono pewne łączne i odwracalne działanie dwuargumentowe. Skrótowo możemy powiedzieć, że grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

Warto pamiętać, iż zapis addytywny jest stosowany zwyczajowo w przypadku grup przemiennych (ma to swoje uzasadnienie w definicji pierścienia, czy ciała). W dalszej części artykułu stosowany będzie zapis multyplikatywny.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)