Grupa Lorentza - Polski Serwis Naukowy

Zachowanie odległości (izometria) w czasoprzestrzeni Minkowskiego narzuca warunki $g_{\mu \nu}\Lambda^{\mu}_{\rho}\Lambda^{\nu}_{\tau}=g_{\rho \tau}.$

W tradycyjnym zapisie macierzowym warunek ten ma postać $\Lambda^T g \Lambda =g$

gdzie macierz g=diag(1,-1,-1,-1) jest macierzą diagonalną o sygnaturze (+,-,-,-). Gdy ograniczymy się tylko do podprzestrzeni 3 - wymiarowej (g → -I) czasoprzestrzeni, warunek ten definiuje transformacje ortogonalne grupy O(3) (grupa obrotów w przestrzeni 3 - wymiarowej). Macierze Λ nazywamy macierzami Lorentza. Tworzą one grupę Lorentza z mnożeniem grupowym zdefiniowanym jako mnożenie macierzy. Grupa Lorentza jest podgrupą szerszej grupy grupę Poincarégo:

Transformacja Galileusza – jest to transformacja współrzędnych przestrzennych i czasu z jednego układu odniesienia do innego poruszającego się ruchem jednostajnym prostoliniowym względem pierwszego. W transformacji tej czas i odległości pomiędzy dwoma dowolnymi punktami pozostają stałe, czyli są niezależne od układu odniesienia. Transformacja Galileusza jest zgodna z klasycznymi wyobrażeniami o czasie i przestrzeni. Transformacja zakłada, że prędkość oraz położenie są względne. Wartości te widoczne dla dowolnego obserwatora w każdym inercjalnym układzie odniesienia mogą być różne, ale każda z nich jest prawdziwa. Względność oznacza, że prawda jest zależna od “punktu siedzenia”. We wszystkich układach zegary obserwatorów mierzą czas absolutny, a więc on nie jest względny. Co więcej wymiary liniowe obiektów też są identyczne w każdym układzie nieinercjalnym.

Macierz diagonalna – macierz, zwykle kwadratowa, której wszystkie współczynniki leżące poza główną przekątną (główną diagonalą) są zerowe. Inaczej mówiąc jest to macierz górno- i dolnotrójkątna jednocześnie.

$x^{\mu} \rightarrow {x'}^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}x^{\nu}.$

W zbiorze transformacji Lorentza istnieje transformacja jednostkowa (Λ=I), transformacja odwrotna i składanie transformacji Lorentza też jest transformacją Lorentza.

Właściwe transformacje Lorentza otrzymujemy, gdy ograniczymy się do transfomacji mieszających czas np. z jedną składową przestrzenną (w kierunku ruchu układu współrzędnych względem siebie, np. wzdłuż osi $x^1$ ). Wtedy macierz g=diag(1,-1) i warunek na transformacje Lorentza definiuje grupę obrotów hiperbolicznych O(1,1). Macierz ma prostą 2 - wymiarową postać

Algebra Liego – w matematyce, struktura algebraiczna z określonym działaniem dwuargumentowym zwanym nawiasem Liego. Algebry Liego mają swoje zastosowanie m.in. podczas studiowania grup Liego.

$\Lambda=\begin{pmatrix}a &b\\c&d\end{pmatrix}.$

Warunek definujący macierze Lorentza daje związki $a^2-c^2=1$ $ab=cd$ $d^2-b^2=1$

Z dokładnością do znaku, najprostsze rozwiązanie ma postać macierzy obrotu hiperbolicznego $\Lambda=\begin{pmatrix}\cosh(\varphi) &\sinh(\varphi)\\\sinh(\varphi)&\cosh(\varphi)\end{pmatrix},$

ponieważ funkcje te spełniają warunek $\cosh^2(\varphi)-\sinh^2(\varphi)=1$ . $\varphi$ jest ciągłym parametrem. Macierze te podobnie jak macierze ortogonalne grupy SO(2) tworzą grupę SO(1,1). Transformacje Larentza można teraz zapisać jako $\begin{pmatrix}x^0\\x^1\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}x'^0\\x'^1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\cosh(\varphi) &\sinh(\varphi)\\\sinh(\varphi)&\cosh(\varphi)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^0\\x^1\end{pmatrix}$

Parametr $\varphi$ może być zamieniony na bardziej fizyczny $\tanh(\varphi)=\frac{v}{c}$

opisujący względny ruch obu układów współrzędnych. Daje to (po przekształceniach) jawną postać transformacji Lorentza $t \rightarrow t'=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\left(t+\frac{v}{c^2}x^1\right),$ $x^1 \rightarrow x'^1=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}(x^1+v t).$

Transformacja ta prowadzi do odpowiednich praw składania prędkości (innych niż dla transformacji Galileusza). Definiując $u=\frac{dx^1}{dt}$ i $u'=\frac{dx'^1}{dt'}$ otrzymujemy $u'=\frac{u + v}{1 + \frac{v u}{c^2}}.$

Z tego prawa dodawania prędkości wynika, że gdy w jednym układzie ciało porusza się z prędkością u=c to w drugim układzie, poruszającym się z prędkością v względem pierwszego, ciało także poruszać się będzie z prędkością c.

Ogólnie grupa Lorentza parametryzowana jest przez 6 niezależnych parametrów. Trzy parametry związane są z grupa obrotów gdzie istnieją trzy niezależne generatory ( $T_i$ i=1,2,3). Trzy następne parametry związane są z właściwymi transformacjami Lorentza. Tak na przykład, pełna transformacja Lorentza wzdłuż pierwszej osi ma postać $\begin{pmatrix}x^0\\x^1\\x^2\\x^3\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}x'^0\\x'^1\\x'^2\\x'^3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\cosh(\varphi) &\sinh(\varphi)&0&0\\\sinh(\varphi)&\cosh(\varphi)&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^0\\x^1\\x^2\\x^3 \end{pmatrix}$

generowana jest $\Lambda=e^{iK_1 \varphi}$ przez generator $K_1 =\begin{pmatrix}0 &-i&0&0\\-i&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$

Takie generatory też są trzy ( $K_i$ i=1,2,3). Z tych sześciu generatorów (trzech T i trzech K) zbudować można antysymetryczną macierz generatorów $M_{\mu\nu}$ tak, że $M_{0,i}=K_i,$ $T^i=\sum_{i,j} \epsilon_{i,j,k}M_{i,j}.$

Generatory grupy Lorentza, będące algebrą Liego tej grupy, spełniają związki

$[M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}] = \eta_{\mu\rho} M_{\nu\sigma} - \eta_{\mu\sigma} M_{\nu\rho} - \eta_{\nu\rho} M_{\mu\sigma} + \eta_{\nu\sigma} M_{\mu\rho}$

gdzie $M_{\mu \nu}$ jest infinitezymalnym generatorem transformacji Lorentza.

Zapoznaj się również z: Grupa Poincarégo