Grupa cykliczna - Polski Serwis Naukowy

Grupa cykliczna – grupa, której wszystkie elementy można wyrazić przy pomocy potęg pewnego jej elementu . Równoważnie, jest to grupa generowana przez jeden z jej elementów (elementów które generują tę grupę może być wiele).

Definicje

Grupę $G$ nazywamy cykliczną, gdy istnieje element $g\in G$ taki, że dla każdego $a\in G$ istnieje liczba całkowita $k$ taka, że

$a=g^k$ .

Element $g$ z powyższej definicji nazywa się generatorem grupy $G$ , a o grupie $G$ mówi się, że jest generowana przez $g$ , co zapisuje się

$G=\langle g \rangle$ .

Jeśli generator $g$ grupy $G$ jest skończonego rzędu n, to grupę $G$ nazywa się skończoną grupą cykliczną (rzędu n). Ma ona n elementów,

$G = \{e, g, g^2, \dots, g^{n-1}\}$ .

Jeśli generator grupy ma rząd nieskończony, to grupę nazwiemy nieskończoną grupą cykliczną. Jest ona grupą przeliczalnie nieskończoną i lista

$\langle\dots, g^{-2}, g^{-1}, g^0, g^1, g^2, \dots\rangle$

podaje wszystkie elementy grupy bez powtórzeń.

Grupa (czwórkowa) Kleina – najmniejsza niecykliczna grupa abelowa. Jej nazwa pochodzi od nazwiska Felixa Kleina, niemieckiego matematyka, który jako pierwszy opisał jej własności w wydanej w roku 1884 książce Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade („Wykłady o iksoaedrze i rozwiązywaniu równań piątego stopnia”).

Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.

Niech dany będzie dowolny element $h$ danej grupy $G$ . Podgrupę $\langle h \rangle = H \leqslant G$ nazywa się podgrupą cykliczną generowaną przez ten element, ma ona rząd równy rzędowi elementu $h$ .

Własności

Liczba elementów grupy cyklicznej zależy od rzędu generatora.

Niech $G=\langle g\rangle$ będzie grupą cykliczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a) $G$ jest skończoną grupą cykliczną, (b) dla pewnych różnych liczb całkowitych $k, l \in \mathbb Z$ mamy, że $g^k = g^l$ , (c) dla pewnej liczby całkowitej $k\in \mathbb Z$ mamy, że $g^k = e$ , (d) dla pewnej liczby naturalnej n, grupa $G$ jest izomorficzna z grupą addytywną liczb całkowitych modulo n.

Niech $G=\langle g\rangle$ będzie grupą cykliczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a) $G$ jest nieskończoną grupą cykliczną, (b) dla każdych liczb całkowitych $k<l$ mamy, że $g^k\neq g^l$ , (c) grupa $G$ jest izomorficzna z addytywną grupą liczb całkowitych.

(W obu powyższych przypadkach izomorfizmem jest odwzorowanie przyporządkowujące elementowi wykładnik generatora, czyli $g^i \mapsto i$ .)

Grupa torsyjna a. periodyczna – grupa, w której rząd dowolnego elementu jest skończony. Wszystkie grupy skończone są torsyjne. Pojęcia periodyczności grupy nie należy mylić z jej cyklicznością, choć wszystkie skończone grupy cykliczne są periodyczne.

Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) struktur - funkcja wzajemnie jednoznaczna z uniwersum struktury A w uniwersum struktury B, która zachowuje funkcje, relacje i wyróżnione elementy.

Każda grupa cykliczna jest przemienna, gdyż $g^m g^n =g^{n+m}= g^n g^m$ , dla dowolnych elementów $g^m, g^n$ danej grupy cyklicznej.

Poniższe stwierdzenia są wnioskami z twierdzenia Lagrange'a:

Jeśli grupa nie ma podgrup właściwych (tzn. różnych od całej grupy i grupy złożonej z jej elementu neutralnego), to jest ona grupą cykliczną o rzędzie wyrażającym się liczbą pierwszą.

Jeśli rząd grupy jest liczbą pierwszą, to grupa jest cykliczna.

Grupy o rzędzie wyrażającym się potęgą liczby pierwszej

Grupy cykliczne o rzędzie będącym potęgą liczby pierwszej, oznaczane $C_{p^m}$ , gdzie $p$ jest pierwsza, a $m$ naturalna są często rozważane w kontekście teorii grup przemiennych.

Grupa Prüfera, p-grupa Prüfera a. grupa p-quasicykliczna – w teorii grup, dla ustalonej liczy pierwszej p, wyznaczona jednoznacznie (z dokładnością do izomorfizmu) grupa torsyjna, w której każdy niezerowy element ma p pierwiastków p-tego stopnia. Nazwa pojęcia odnosi się do nazwiska niemieckiego matematyka Heinza Prüfera.

Zbiór przeliczalny – intuicyjnie, zbiór którego elementy można ustawić w ciąg (skończony bądź nie), tzn. "wypisać je po kolei", "ponumerować". Istnieją dwie nierównoważne konwencje użycia terminu zbiór przeliczalny w matematyce:

Każda skończona grupa przemienna $G$ może być zapisana jako skończona suma prosta podgrup tego rodzaju: $G = \bigoplus_{1 \leqslant i \leqslant n}~C_{{p_i}^{m_i}}$ .

Przedstawienie to jest jednoznaczne z dokładnością do porządku.

Grupy te wyróżniają się pośród skończenie generowanych grup przemiennych jako grupy torsyjne, które nie mogą być wyrażone jako suma prosta dwóch właściwych podgrup. Wraz z grupą liczb całkowitych, stanowią one „klocki” z których składają się skończenie generowane grupy abelowe.

Potęgowanie – działanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Potęgowany element nazywa się podstawą, zaś liczba mnożeń, zapisywana zwykle w indeksie górnym po prawej stronie podstawy, nosi nazwę wykładnika. Wynik potęgowania to potęga elementu.

Porządek liniowy – częściowy porządek będący zarazem łańcuchem, czyli taki, w którym każde dwa elementy rozpatrywanego zbioru są porównywalne.

Podgrupy cyklicznych grup o rzędzie będącym potęgą liczb pierwszych są uporządkowane liniowo przez relację zawierania. Jedynymi innymi grupami o tej własności są grupy quasicykliczne.

Zobacz też

grupa czwórkowa Kleina (najmniejsza grupa niecykliczna)