Grupa obrotów - Polski Serwis Naukowy

Macierze obrotu w przestrzeni n-wymiarowej tworzą grupę O(n), jeżeli spełniają warunek zachowania długości wektora przy obrotach $x^i \rightarrow {x'}^i = R^i_j x^j ,$ $\sum_{i}^n (x^i)^2 = \sum_{i}^n ({x'}^i)^2$

(i=1..n). Daje to warunek $R^{T} R =I$ gdzie macierz transponowana $(R^T)^i_j=R^j_i$ . Ponieważ macierz odwrotna spełnia równanie $R^{-1}R=I$ , to dla grupy obrotów $R^{-1}=R^{T}$ . W zbiorze macierzy ortogonalnych O(n) istnieje element neutralny (macierz jednostkowa I), element odwrotny $R^{-1}R=I$ , a mnożenie dwóch macierzy ortogonalnych jest macierzą ortogonalną. Zachodzi zatem:

Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.

Reprezentacja grupy – w teorii grup każdy homomorfizm grupy w grupę przekształceń liniowych odwracalnych ustalonej przestrzeni liniowej nad zadanym ciałem.

jeżeli $R$ i $S$ są macierzami ortogonalnymi to $U = R S$ też jest macierzą ortogonalną

istnieje element neutralny $R=I$ , który też jest macierzą ortogonalną

istnieje element odwrotny $R^{-1}=R^{T}$ .

Zbiór macierzy ortogonalnych tworzy grupę. Dodatkowy warunek $\det(R)=1$ definiuje podgrupę SO(n). W euklidesowej przestrzeni 3-wymiarowej realizują się grupa O(3) i jej podgrupa SO(3).

Spin jest to własny moment pędu cząstki w układzie w którym nie wykonuje ruchu postępowego. Własny oznacza tu taki, który nie wynika z ruchu danej cząstki względem innych cząstek, lecz tylko z samej natury tej cząstki. Każdy rodzaj cząstek elementarnych ma odpowiedni dla siebie spin. Cząstki będące konglomeratami cząstek elementarnych (np. jądra atomów) mają również swój spin będący sumą wektorową spinów wchodzących w skład jego cząstek elementarnych. Spin jest pojęciem czysto kwantowym. W mechanice klasycznej, gdy cząstka spoczywa, musi mieć zerowy moment pędu. Układ spoczynkowy istnieje tylko, gdy cząstka ma masę. Gdy cząstka jest bezmasowa (np. foton), można jedynie określić rzut spinu na kierunek propagacji cząstki. Matematycznie spin jest wielkością tensorową wynikającą z teorii kwantowej. Dokładnie jest to własność związana z tensorowym charakterem funkcji falowej, opisującej daną cząstkę, względem grupy obrotów. Np. funkcja falowa pionów może być uważana za wektor, funkcja falowa hipotetycznych grawitonów miałaby być tensorem 2. rzędu, zaś funkcja falowa elektronów jest spinorem o rzędzie 1/2.

Komutator – w matematyce wskaźnik stopnia nieprzemienności pewnego działania dwuargumentowego. Definicje w teorii grup oraz teorii pierścieni różnią się między sobą.

Element grupy SO(3), $R$ można parametryzować w sposób ciągły przez trzy parametry wektor $\alpha$ , oś obrotu $\omega$ i kąt obrotu ψ (przy czym $\alpha^i=\omega^i \psi$ , $\omega^1=\sin(\theta) \sin(\phi)$ , $\omega^2=\sin(\theta) \cos(\phi)$ , $\omega^3=\cos(\theta)$ ). $R=e^{i\sum_{a}^{3}T^a \alpha^a}$ .

Trzy macierze $T^a$ nazywamy generatorami grupy obrotów. Grupa obrotów SO(3) jest ciągłą. Generatory grupy SO(3) to: $T^1=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{bmatrix},\ T^2=\begin{bmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{bmatrix}, \ T^3=\begin{bmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$

Generatory te spełniają regułę komutacji

Zasada nieoznaczoności (zasada nieokreśloności) mówi, że istnieją takie pary wielkości, których nie da się jednocześnie zmierzyć z dowolną dokładnością. O wielkościach takich mówi się, że nie komutują. Akt pomiaru jednej wielkości wpływa na układ tak, że część informacji o drugiej wielkości jest tracona. Zasada nieoznaczoności nie wynika z niedoskonałości metod ani instrumentów pomiaru, lecz z samej natury rzeczywistości.

Wektor – obiekt geometryczny w lub – zdaniem niektórych niepoprawnie – wartością), kierunek i zwrot określający orientację wzdłuż danego kierunku. Często przedstawia się go graficznie jako odcinek o określonym kierunku, lub jako strzałkę, łączącą początek bądź punkt zaczepienia oraz koniec wektora. Dla danych punktów początkowego A i końcowego B wektor oznacza się symbolem

$[ T^a, T^b ] =i \sum_c \epsilon_{a b c}T^c$

gdzie ε jest symbolem antysymetrycznym równym 1,-1 w zależności czy (a b c) jest parzystą czy nieparzystą permutacją (1 2 3) lub 0 gdy dwa lub trzy wskaźniki są takie same.

Generatory grupy SO(n) rozpinają algebrę liniową so(n) z mnożeniem zdefiniowanym jako komutator $A\times B$ =[A B - B A] (komutator). Jest to algebra Liego.

Bardzo podobne relacje w mechanice kwantowej spełnia operator momentu pędu $\vec{L}=\vec{x}\times \vec{p}$ (z dokładnością do stałej Plancka $\hbar$ ). Operator ten jest reprezentacją algebry so(3) w przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem $L^2$ . Z własności tej algebry (i grupy SO(3) ) wynika niemożność jednoczesnego pomiaru wszystkich składowych momentu pędu w mechanice kwantowej (odpowiednia zasada nieoznaczoności). Identyczne reguły komutacyjne spełnia operator spinu (jest to konsekwencją algebry Liego su(2) dla grupy nakrywającej SU(2)).

Stała Plancka (oznaczana przez h) jest jedną z podstawowych stałych fizycznych. Ma wymiar działania, pojawia się w większości równań mechaniki kwantowej.

Macierz odwrotna – element odwrotny w pierścieniu macierzy kwadratowych. Uogólnieniem pojęcia macierzy odwrotnej jest tzw. uogólniona macierz odwrotna.

Zapoznaj się również z: Grupa SO(2), Grupa SU(2)