Hamiltonian - Polski Serwis Naukowy

Mechanika klasyczna

W klasycznej mechanice teoretycznej hamiltonian (funkcja Hamiltona) jest funkcją współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych, opisującą układ fizyczny.

$H=H\left( q_1,...,q_N,p_1,...,p_N,t \right)$

gdzie $q_j$ oznaczają współrzędne uogólnione, $p_j$ pędy uogólnione, $N$ liczbę stopni swobody, a $t$ czas.

Sformułowanie lagranżowskie

Funkcję Hamiltona można wyprowadzić z lagranżjanu.

Operator Hamiltona (zwany również hamiltonianem) to w mechanice kwantowej odpowiednik funkcji Hamiltona zwanej hamiltonianem. Jest to operator działający nad przestrzenią funkcji falowych stanów układu fizycznego (lub nad przestrzenią Hilberta wektorów stanu). Wartością własną operatora Hamiltona jest energia cząstki opisywanej daną funkcją własną, natomiast wartością średnią operatora Hamiltona jest energia cząstki w danym stanie kwantowym.

Prędkość kątowa w fizyce – wielkość opisująca ruch obrotowy (np. ruch po okręgu). Jest wektorem (pseudowektorem) leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej.

$\mathcal{L}= \mathcal{L}(q_1,\dots,q_N, \dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N, t)$

gdzie $q_j$ oznacza współrzędne uogólnione, $\dot q_j$ prędkości uogólnione, t czas. Dla każdej prędkości uogólnionej wprowadzamy odpowiadający jej pęd kanonicznie sprzężony zdefiniowany jako $p_j = {\partial \mathcal{L} \over \partial \dot{q}_j}$

W szczególnym przypadku współrzędnych kartezjańskich pędy uogólnione odpowiadają zwykłym pędom. We współrzędnych walcowych pęd odpowiadający prędkości kątowej odpowiada momentowi pędu. W ogólnym przypadku pędy uogólnione mogą nie posiadać prostej interpretacji fizycznej, co wynika z dowolności wyboru współrzędnych uogólnionych.

Pęd – w mechanice wielkość fizyczna opisująca ruch ciała. Pęd mają wszystkie formy materii, np. ciała obdarzone masą spoczynkową, pole elektromagnetyczne, pole grawitacyjne.

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie.

W tym ujęciu Hamiltonian definiowany jest jako transformacja Legendre'a Lagranżjanu, tzn. $H\left( q_1,...,q_N,p_1,...,p_N,t \right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L( q_1,\dots,q_N, \dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N, t )$

Przy czym konieczne jest wyrażenie prędkości uogólnionych przez pędy uogólnione (Hamiltonian jest jawną funkcją pędów uogólnionych). Nie dla wszystkich układów taka transformacja jest możliwa.

Mechanika kwantowa

W mechanice kwantowej hamiltonian jest operatorem energii. Używa się go do opisywania wszystkich układów kwantowych, a więc występuje on w najrozmaitszych formach. W najprostszym przypadku kwantowej cząstki nierelatywistycznej poruszającej się w potencjale skalarnym jest równy

Równania Hamiltona - w mechanice teoretycznej układ równań opisujących zmianę parametrów układu opisywanego za pomocą funkcji Hamiltona (pędów i położeń cząstek). Jest to układ 2s równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu. Dla hamiltonianu postaci:

Stopień swobody - w fizyce minimalna liczba niezależnych zmiennych opisujących jednoznacznie stan (modelu) układu fizycznego, w termodynamice liczba niezależnych zmiennych stanu, które można zmieniać nie powodując zmiany stanu (rodzaju i liczby faz).

$H=\frac{1}{2m}\vec{p}^2+U(\vec{x})=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta +U(\vec{x})$

Wartości własne hamiltonianu $H |n\rangle =E_n |n\rangle$

mają sens energii układu w stanie $\vert n \rangle$ .

Jeżeli założymy że hamiltonian $\mathcal{H}$ nie zależy od czasu, to rozwiązaniem równania: $i\hbar \frac{d}{dt} \vert \alpha_{s}(t)\rangle = \mathcal{H}\vert \alpha_{s}(t)\rangle, \ \ \ -i\hbar \frac{d}{dt} \langle \alpha_{s}(t) \vert = \langle \alpha_{s}(t) \vert \mathcal{H}$ ponieważ $\mathcal{H}^{\dagger} = \mathcal{H}$ .

są: $\vert\alpha_{s}(t)\rangle = U(t)\vert\alpha_{s}(t_{0})\rangle, \ \ \ \langle \alpha_{s}(t) \vert = \langle \alpha_{s}(t_{0}) \vert U^{\dagger}(t)$

gdzie $U(t)=e^{-\frac{i}{\hbar}\mathcal{H}*(t-t_{0})}$ jest operatorem ewolucji w czasie. A $\vert \alpha_{s}(t) \rangle$ jest wektorem stanu w obrazie Schrödingera.

Zobacz też

Równania Hamiltona

Lagranżjan

Równania Eulera-Lagrange'a

Mechanika klasyczna

Mechanika kwantowa