Hiperbola - matematyka - Polski Serwis Naukowy

Hiperbola − krzywa stożkowa będąca zbiorem takich punktów, że wartość bezwzględna różnicy odległości tych punktów od dwóch punktów, nazywanych ogniskami hiperboli, jest stała.

Jeżeli ogniska hiperboli mają współrzędne $(-c,0)$ i $(c,0),$ to można ją opisać równaniem: $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,$

gdzie $a$ jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami hiperboli, natomiast $b$ jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami urojonymi. Zachodzi również związek: $b^2=c^2-a^2.$

Odejmowanie - jedno z czterech podstawowych działań arytmetycznych, działanie odwrotne do dodawania. Odejmowane obiekty to odpowiednio odjemna i odjemnik, wynik zaś nazywany jest różnicą.

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

Jeżeli $a=b$ to hiperbolę nazywamy równoosiową.

Mimośrodem hiperboli nazywamy stosunek odległości pomiędzy ogniskami a wierzchołkami rzeczywistymi $e={2c \over 2a}={c \over a} > 1.$ Od mimośrodu zależy kształt hiperboli.

Kierownicami hiperboli nazywamy proste wyrażone równaniami $x=\pm{a \over e}=\pm{a^2 \over c}.$

Obierzmy na hiperboli dowolny punkt $P=(x,y),$ przez $r_1$ oznaczmy odległość pomiędzy tym punktem a lewym ogniskiem, natomiast przez $r_2$ odległość pomiędzy punktem $P$ a prawym ogniskiem. Wtedy mają miejsce następujące związki:

dla prawej gałęzi: $r_1=a+ex,\ \ r_2=-a+ex;$

dla lewej gałęzi: $r_1=-a-ex,\ \ r_2=a-ex.$

Niech $d_1$ będzie odległością ustalonego punktu $P$ od lewej kierownicy, a $d_2$ , odpowiednio, od prawej. Wówczas:

Asymptota krzywej (z gr. ἀσύμπτοτη): prosta l jest asymptotą danej krzywej C (w szczególności wykresu funkcji), jeśli dla dowolnego dodatniego ε istnieje zawierająca się w l półprosta, taka że każdy punkt tej półprostej jest oddalony od C o mniej niż ε.

Krzywa stożkowa – zbiór punktów powstałych na przecięciu stożka (ściślej powierzchni stożkowej, której kierującą jest okrąg) i płaszczyzny. Krzywe stożkowe są nazywane inaczej krzywymi drugiego stopnia, gdyż można je w kartezjańskim układzie współrzędnych opisać równaniem algebraicznym drugiego stopnia względem obu zmiennych x i y.

${r_1 \over d_1}={r_2 \over d_2}=e.$

Hiperbolę o równianiu $-{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}=1$

nazywamy hiperbolą sprzężoną (do wyjściowej hiperboli). Hiperbola i hiperbola do niej sprzężona mają wspólne asymptoty o równaniach $y=\pm{b \over a}x.$

Odcinek, który przechodzi przez środek hiperboli, a jego końce na niej leżą nazywamy średnicą hiperboli.

Styczna w punkcie $Q=(p,q)$ hiperboli spełnia równanie

Ekscentryczność (inaczej mimośród) – oznaczana symbolem e, to wielkość charakteryzująca kształt orbity opisywanej równaniem parametrycznym krzywej stożkowej ciała obiegającego drugie ciało pod wpływem siły grawitacji. Ekscentryczność w tej konkretnej sytuacji fizycznej jest związana z energią całkowitą układu oddziałujących mas oraz z wartością całkowitego momentu pędu poprzez wzór:

${px \over a^2}-{qy \over b^2}=1.$

Zobacz też

radionawigacja

twierdzenie Pascala