Hiperboloida - Polski Serwis Naukowy

Hiperboloida dwupowłokowa

Hiperboloidowa wieża w Ciechanowie

Hiperboloida – nieograniczona, nierozwijalna powierzchnia drugiego stopnia (kwadryka), powstała przez obrót hiperboli wokół osi symetrii hiperboli rozłącznej z nią (hiperboloida jednopowłokowa) lub osi prostopadłej do poprzedniej, przechodzącej przez oba wierzchołki hiperboli (hiperboloida dwupowłokowa), a także każda otrzymana z takiej przez przekształcenie afiniczne przestrzeni. Każda hiperboloida ma środek symetrii oraz co najmniej trzy osie i trzy płaszczyzny symetrii.

Hiperboloida dwupowłokowa - powierzchnia drugiego stopnia otrzymana w następujący sposób: daną hiperbolę H obraca się dookoła prostej L przechodzącej przez ogniska tej hiperboli, uzyskując powierzchnię obrotową nazywaną hiperboloidą dwupowłokową obrotową: obraz hiperboloidy dwupowłokowej obrotowej w powinowactwie płaszczyznowym prostokątnym f względem płaszczyzny P zawierającej hiperbolę H jest hiperboloidą dwupowłokową. Każda hiperboloida dwupowłokowa jest niespójna; rozpada się na sumę dwóch zbiorów punktów powstałych przez obrót odpowiednich gałęzi hiperboli. Zbiory te nazywają się powłokami hiperboloidy dwupowłokowej.

MathWorld - encyklopedia matematyczna online, sponsorowana przez Wolfram Research, twórcę i producenta programu Mathematica; współsponsorem jest National Science Foundation (National Science Digital Library).

Można ją opisać wzorem ${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}=1$ (hiperboloida jednopowłokowa)

lub ${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}=-1$ (hiperboloida dwupowłokowa).

Równanie hiperboloidy można sparametryzować poprzez funkcję $f\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ daną wzorem:
$f(s,t)= \left(a \, \sqrt{s^2+1} \cos t, \, b \, \sqrt{s^2+1} \sin t, \, cs \right)$ (dla hiperboloidy jednopowłokowej)

lub $f(s,t)= \left(a \, \sqrt{s^2-1} \cos t, \, b \, \sqrt{s^2-1} \sin t, \, cs \right)$ (dla hiperboloidy dwupowłokowej).

Zastosowanie kształtu

W XIX wieku kształt hiperboloidy obrotowej nadawano panoramom malarskim dla spotęgowania efektu zacierania się granicy między powierzchnią płótna, a przestrzenią przed nim. Jednym z przykładów takiego zastosowania jest Panorama Racławicka. Także koła zębate przekładni hipoidalnych mają kształt hiperboloidy dwupowłokowej, a jej nazwa prawdopodobnie powstała ze skrótu: hiperboloidalna > hipoidalna.

Panorama Racławicka – panoramiczny obraz olejny autorstwa kilku artystów-malarzy tworzących na przełomie XIX i XX wieku. Obok Panoramy siedmiogrodzkiej, "Golgoty" oraz "Męczeństwa Chrześcijan w Cyrku Nerona" jest to jedna z czterech XIX wiecznych panoram namalowanych pod kierownictwem Jana Styki.

Przekształcenie afiniczne, powinowactwo lub pokrewieństwo – przekształcenie geometryczne przestrzeni euklidesowych odwzorowujące odcinki na odcinki. Są one homomorfizmami przestrzeni afinicznych, będących uogólnieniem przestrzeni euklidesowych, czyli spełniają one analogiczną rolę, co przekształcenia liniowe względem przestrzeni liniowych (również będących uogólnieniem przestrzeni euklidesowych).

Linki zewnętrzne

Hiperboloidy (ang.)

Hiperboloida w encyklopedii MathWorld (ang.)

W Wikimedia Commons znajdują się multimedia związane z tematem:
Hiperboloida