Hipoteza Goldbacha - Polski Serwis Naukowy

Hipoteza Goldbacha jest problemem teorii liczb, liczącym sobie ponad 250 lat i ciągle nierozstrzygniętym. Znajduje się (wraz z hipotezą Riemanna) na liście problemów Hilberta.

Sformułowanie problemu

W 1742 roku, w korespondencji do Leonharda Eulera, Christian Goldbach postawił hipotezę, że każda liczba naturalna większa niż 2 może być przedstawiona w postaci sumy trzech liczb pierwszych (ta sama liczba pierwsza może być użyta dwukrotnie).

Goldbach uznawał za pierwszą liczbę 1, konwencja ta nie jest obecnie stosowana. Przy tym ograniczeniu hipotezę można przeformułować, przyjmując jej prawdziwość dla liczb naturalnych większych niż 5.

Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii.

Chen Jingrun (ur. 22 maja 1933, zm. 19 marca 1996) - chiński matematyk którego dziedziną badań była teoria liczb. Największym jego osiągnięciem było tzw. twierdzenie Chena stanowiące słabszą wersję słynnej hipotezy Goldbacha. Według powyższej hipotezy każdą liczbę naturalną parzystą przedstawić można jako sumę dwóch liczb pierwszych. Jest to przypuszczenie do dnia dzisiejszego nie udowodnione. Twierdzenie Chena różni się jedynie tym że drugi składnik sumy może być liczbą półpierwszą. Twierdzenie Chena zostało udowodnione w roku 1966 i nie jest hipotezą. Istnieje także pojęcie liczby pierwszej Chena która ma postać p+2 gdzie p jest dowolną liczbą pierwszą, p+2 natomiast może być liczbą pierwszą bądź półpierwszą.

Euler po otrzymaniu listu stwierdził, że sformułowanie hipotezy Goldbacha można uprościć i przedstawić ją w następujący sposób: każda liczba naturalna parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych.

Powyższą hipotezę, do dzisiaj nazywaną "hipotezą Goldbacha", sformułował w rezultacie Euler, jednak nazwa nie została zmieniona.

Próby rozwiązania

Dzięki użyciu komputerów udało się pokazać, że hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla liczb naturalnych mniejszych niż 4 · 10 (przez przedstawienie każdej z tych liczb w postaci sumy dwóch liczb pierwszych). Co więcej, większość współczesnych matematyków uważa, iż jest ona prawdziwa, ponieważ ze względu na stosunkowo gęsty rozkład liczb pierwszych wydaje się, że większe liczby parzyste coraz łatwiej jest przedstawić w postaci sumy dwóch liczb pierwszych.

Problemy Hilberta to lista 23 zagadnień matematycznych przedstawiona przez Davida Hilberta na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu w 1900 roku podczas referatu pokazującego stan matematyki na przełomie XIX i XX wieku.

Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.

Pomimo licznych prób oraz wysokich nagród finansowych ufundowanych za jej udowodnienie lub obalenie, hipoteza Goldbacha pozostaje do dnia dzisiejszego nierozstrzygnięta. Do chwili obecnej udowodniono jedynie, że każda parzysta liczba naturalna większa niż 2 może zostać przedstawiona jako suma co najwyżej sześciu liczb pierwszych, a także, że każda parzysta liczba naturalna większa niż 2 może zostać przedstawiona jako suma liczby pierwszej oraz liczby, która ma co najwyżej dwa czynniki pierwsze (Chen 1966). Wykazano, że zbiór liczb parzystych nie spełniających hipotezy Goldbacha ma gęstość 0 (tj. wraz ze wzrostem n odsetek liczb parzystych mniejszych od n, które nie spełniają hipotezy Goldbacha, dąży do 0). Bliska udowodnienia jest też tzw. słaba hipoteza Goldbacha, która głosi, że każdą liczbę nieparzystą większą od 7 można wyrazić jako sumę trzech nieparzystych liczb pierwszych. Wiadomo, że ta hipoteza jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych większych od około 10 (Liu Ming-Chit, Wang Tian-Ze 2002); niestety podane ograniczenie wciąż nie umożliwia uzupełnienia dowodu przez komputerową analizę pozostałych przypadków.

Zobacz w Wikiźródłach tablicę rozkładów na sumę dwóch liczb pierwszych

Linki zewnętrzne

Przedruk listu Goldbacha do Eulera z dnia 7 czerwca 1742, w którym po raz pierwszy formułuje on hipotezę