Hipoteza Riemanna - Polski Serwis Naukowy

Wykres funkcji dzeta Riemanna dla x > 1

Wykres części rzeczywistej i urojonej funkcji dzeta Riemanna dla s = 0,5 + i * t.

Hipoteza Riemanna to sformułowana w 1859 roku hipoteza dotycząca badanej przez niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna funkcji dzeta. Jest jednym z największych nierozwiązanych problemów w matematyce. Mówi ona, że wszystkie tzw. nietrywialne zera (nierzeczywiste) tej funkcji mają część rzeczywistą równą $\frac{1}{2}$ , tj. $\Re(s) = \frac{1}{2}$ . Problem ten ma duże znaczenie dla całej matematyki - w szczególności dla teorii liczb, ale również dla statystyki oraz fizyki. Clay Mathematics Institute ufundował nagrodę w wysokości 1 miliona dolarów za dowód lub obalenie hipotezy Riemanna. Hipoteza Riemanna jest 8. problemem z listy problemów Hilberta.

Hipoteza (gr. hypóthesis – przypuszczenie) – osąd, który podlega weryfikacji. Zdanie, które stwierdza spodziewaną relację między jakimiś zjawiskami, propozycja twierdzenia naukowego, które zakłada możliwą lub oczekiwaną w danym kontekście sytuacyjnym naturę związku.

Teoria liczb jest dziedziną matematyki, zajmującą się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, i do dziś dla wielu specjalistów są one szczególnie atrakcyjne.

Sformułowanie hipotezy

Dla $\Re(s) > 1$ funkcja dzeta przedstawia się wzorem: $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$

Funkcja ta daje się jednoznacznie przedłużyć analitycznie na całą płaszczyznę zespoloną nie licząc punktu s = 1, gdzie funkcja przechodzi w rozbieżny szereg harmoniczny. Dzeta Riemanna ma tzw. trywialne miejsca zerowe dla s = -2, -4, -6, ... . Hipoteza Riemanna mówi, że wszystkie pozostałe miejsca zerowe znajdują się na prostej $\Re(s) = \frac{1}{2}$ zwanej prostą krytyczną. G. H. Hardy oraz J. E. Littlewood udowodnili, że jest ich tam nieskończenie wiele. Zostało również udowodnione, że przynajmniej 40% miejsc zerowych leży na prostej krytycznej (Conrey 1989).

Problemy Hilberta to lista 23 zagadnień matematycznych przedstawiona przez Davida Hilberta na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu w 1900 roku podczas referatu pokazującego stan matematyki na przełomie XIX i XX wieku.

Fizyka (z gr. φύσις physis - "natura") – nauka o przyrodzie w najszerszym znaczeniu tego słowa. Fizycy badają właściwości i przemiany materii i energii oraz oddziaływanie między nimi. Do opisu zjawisk fizycznych używają wielkości fizycznych, wyrażonych za pomocą pojęć matematycznych, takich jak liczba, wektor, tensor. Tworząc hipotezy i teorie fizyki, budują relacje pomiędzy wielkościami fizycznymi.

Hipoteza Riemanna a teoria liczb

Prawdziwość hipotezy Riemanna pozwalałaby na wzmocnienie pewnych nierówności dotyczących liczb pierwszych oraz równości asymptotycznych. Okazuje się na przykład, że hipoteza Riemanna jest równoważna poniższej równości (π(n) to liczba liczb pierwszych w przedziale od 1 do n) będącej wzmocnieniem twierdzenia o liczbach pierwszych:

Problemy milenijne (ang. Millennium Prize Problems) zostały ogłoszone przez Clay Mathematics Institute 24 maja 2000. Jest to zestaw siedmiu zagadnień, które zostały uznane przez instytut za ważne dla nauki, a za rozwiązanie każdego z nich wyznaczono 1 000 000 $ nagrody. Do tej pory została rozwiązana jedynie hipoteza Poincarégo.

$\pi(n) = \mathrm{Li}(n) + O\left(\sqrt{n} \ln n\right)$

gdzie do zapisu użyto tzw. dużego O.

Zobacz też

teoria liczb

problemy milenijne

Linki zewnętrzne

MathWorld - Hipoteza Riemanna