Historia matematyki - Polski Serwis Naukowy

Kompendium o liczeniu przez uzupełnienie i wyrównywanie

Historia matematyki jest prawdopodobnie równie stara jak ludzkość. Przetrwały pewne ślady, zarówno w znaleziskach paleontologów, jak i w języku, które wskazują, że proste obliczenia wykorzystywali prehistoryczni myśliwi, kobiety przewidujące datę miesiączki, czy wodzowie plemienni szacujący bojową siłę swoich ludzi.

Robert Recorde (ur. ok. 1510, zm. 1558) – walijski fizyk i matematyk. Przypisuje mu się autorstwo znaku równości =, użytego w dziele The Whetstone of Witte wydanym w 1557.
Menstruacja (miesiączka, ang. period, łac. menses); krwawienie miesięczne – fizjologiczne zjawisko polegające na cyklicznym złuszczaniu się nabłonka macicy (endometrium) pod wpływem charakterystycznych zmian stężenia hormonów płciowych (estrogenów i progesteronu), wynikających z układów wzajemnych sprzężeń zwrotnych między gonadami, przednim płatem przysadki mózgowej i podwzgórzem.

Najstarszymi znanymi tekstami matematycznymi są Plimpton 322 (Babilonia ok. 1900 p.n.e.), Moskiewski papirus matematyczny (Egipt ok. 1850 p.n.e.), Papirus Matematyczny Rhinda (Egipt, 1650 p.n.e.), Shulba Sutras (Indie ok. 800 p.n.e.). Wszystkie te teksty wspominają twierdzenie Pitagorasa, które wydaje się być najbardziej rozpowszechnionym w starożytności wynikiem matematycznym.

Teoria grafów dział w matematyce i informatyce zajmujący się badaniem własności grafów. Informatyka rozwija także algorytmy wyznaczające pewne właściwości grafów. Algorytmy te stosuje się do rozwiązywania wielu zadań praktycznych, często w dziedzinach na pozór nie związanych z grafami.
Akademia (gr. akademeia) – szkoła założona w Atenach ok. 387 p.n.e. przez Platona, istniała do 529, kiedy została zlikwidowana przez cesarza bizantyjskiego Justyniana. Mieściła się w gaju poświęconym herosowi ateńskiemu Akademosowi, od którego imienia pochodzi jej nazwa. Zajmowano się w niej przede wszystkim filozofią i matematyką, a także retoryką i naukami przyrodniczymi. Legenda głosi, że widniał na niej napis ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω (gr. niech nie wchodzi nikt nieobeznany z geometrią).

Matematyka egipska i sumeryjska była dalej rozwijana przez Greków, którzy ponadto usystematyzowali niezależne dotąd twierdzenia w jeden spójny system. Dalszy rozwój matematyka zawdzięcza Arabom. Wiele greckich i arabskich prac matematycznych zostało następnie przetłumaczonych na łacinę, co pozwoliło na dalszy rozwój tych koncepcji w średniowiecznej Europie.

Indie, Republika Indii (w hindi, भारत – trl.: Bhārat wymowa ?/i, Bhārat Gaṇarājya, trb.: Bharat, Bharat Ganaradźja; ang. India, Republic of India) – państwo w Azji Południowej, zajmujące większość subkontynentu indyjskiego.
Demokratyczna Republika Konga (fr. République démocratique du Congo) – trzecie pod względem wielkości państwo Afryki, położone w jej środkowej części, w dorzeczu rzeki Kongo, u której ujścia posiada 37 km dostępu do Oceanu Atlantyckiego. Nazwa, oznaczająca myśliwy, pochodzi od ludu Bakongo. W okresie kolonialnym DR Konga występowała jako Wolne Państwo Kongo (do 1908) i Kongo Belgijskie (do 1960), a po uzyskaniu niepodległości w latach 1971-1997 jako Zair. Dla odróżnienia od sąsiadującej Republiki Konga (Kongo-Brazzaville), DR Konga występowała również jako Kongo-Léopoldville, a obecnie po zmianie nazwy stolicy, jako Kongo-Kinszasa.

Co ciekawe, historia starożytnej i średniowiecznej matematyki składa się z okresów gwałtownego postępu, oddzielonych całymi stuleciami stagnacji. Schemat ten zakończył się dopiero w okresie renesansu. Era nieprzerwanego rozwoju matematyki, rozpoczęta w XVI-wiecznych renesansowych Włoszech, trwa po dziś dzień.

Prehistoria

Należy przypuszczać, że proste obliczenia towarzyszyły człowiekowi od zawsze. Wiadomo, że nawet zwierzęta potrafią oceniać liczebność zbiorów zawierających kilka elementów. Najwcześniejsze ślady liczenia znaleźć można w gramatyce. Budowa i zasady użycia liczebników pozwalają ocenić, że na początku umiano określić liczebność małych zbiorów: jeden, dwa, trzy, zaś większe postrzegano po prostu jako więcej, wiele. Dzięki badaniom etologicznym, neurofizjologii i socjobiologii wiemy, że uwarunkowania gatunku ludzkiego skłaniają go do życia w grupach o liczebności 30-40 osobników co zapewne sprawia, że w codziennej praktyce nie było potrzeby używania większych liczb. Typowym sposobem liczenia stosowanym przez społeczności pierwotne jest wykorzystanie części ciała, takich jak palce, czy paliki palców.

Kwinta - interwał prosty zawarty między pięcioma kolejnymi stopniami skali muzycznej. W szeregu zasadniczym naturalnie występuje kwinta czysta i kwinta zmniejszona (tryton). Zastosowanie znaków chromatycznych pozwala zmienić jej rozmiar.
Kalendarz perski, kalendarz irański (farsi گاهشماری ایرانی‌; Gahshomari-ye Irani), zwany także kalendarzem Dżalali - kalendarz opracowany w XI-wiecznej Persji, używany aż do dzisiaj w Iranie i Afganistanie.

Na długo przed najwcześniejszymi źródłami pisanymi powstawały rysunki, mogące wskazywać na znajomość podstaw matematyki. Na przykład paleontologowie odkryli ochrowe skały w południowoafrykańskiej jaskini, ozdobione wydrapanymi motywami geometrycznymi sprzed 70 tysięcy lat. Także prehistoryczne artefakty odkryte w Afryce (sprzed 35 tysięcy lat) i we Francji (sprzed 20 tysięcy lat) wskazują na próby ilościowego określania czasu.

Adelard z Bath (łac.: Adelardus Bathensis; 1116?–1142?) – XII-wieczny mnich angielski, jeden z pierwszych tłumaczy Elementów Euklidesa na łacinę. Przetłumaczył także tablice astronomiczne Alchwarizmiego.
Abakus lub abak (łac. abacus, gr. ábaks) – deska z wyżłobionymi rowkami, które symbolizowały kolejne potęgi dziesięciu. Ułatwiało liczenie, używane w Rzymie i Grecji od 440 p.n.e. do XVIII wieku - prekursor liczydła i maszyn liczących. Był używany także w innych krajach Europy. Obliczeń dokonywano poprzez wkładanie i przekładanie kamyków w rowkach. Zasada liczenia była taka sama jak na liczydle. Jedną z odmian abaku, stanowiącą poważne udoskonalenie, przypisywali Rzymianie pitagorejczykom i nazwali mensa pythagoreana. Chińczycy używali liczydła zwanego swan-pan. Jest ono wytworem własnym pomysłowości chińskiej. Odmiana japońska nosi nazwę soroban (jap. 算盤, soroban ?).

Istnieją przesłanki, że niektóre pierwsze próby liczenia były związane ze przewidywaniem kolejnej menstruacji. Znajdowano na przykład rządki 28, 29 lub 30 nacięć, po których następowało nacięcie różniące się od poprzednich. Starożytni łowcy znali też koncepcję liczenia "nic, jeden, dwa, wiele" w odniesieniu do złowionych zwierząt, liczenie było też zapewne istotne przy ocenianiu szans w walkach plemiennych.

Stopień – jednostka miary kąta płaskiego, równa 1/360 kąta pełnego czyli 1/90 kąta prostego. Oznaczana jest przez 1°, spotyka się również oznaczenie 1 deg (ang. degree). Nie jest jednostką układu SI.
Imperium Osmańskie (jako nazwa państwa pisane wielką literą, jako nazwa imperium dynastii Osmanów – małą; dla tego drugiego znaczenia synonimem jest nazwa imperium ottomańskie) – państwo tureckie na Bliskim Wschodzie, założone przez Turków osmańskich, jedno z plemion tureckich w zachodniej Anatolii, obejmujące w okresie od XIV do XX wieku Anatolię, część południowo-zachodniej Azji, północną Afrykę i południowo-wschodnią Europę. W kręgach dyplomatycznych na określenie dworu sułtana, później także całego państwa tureckiego, stosowano termin Wysoka Porta.

Kość z Ishango, znaleziona w źródłach Nilu (północno-wschodnie Kongo) pochodzi sprzed 20 tysięcy lat (górny paleolit). Jedna z typowych interpretacji głosi, że jest to najwcześniejsza znana demonstracja liczb pierwszych. Przeddynastyczni Egipcjanie z 5 tysiąclecia p.n.e. graficznie przedstawiali geometryczne konstrukcje przestrzenne. Geometryczne przedstawienia okręgu, elipsy, trójek pitagorejskich można odnaleźć na monumentach w Anglii i Szkocji z 3 millenium p.n.e..

Blaise Pascal (ur. 19 czerwca 1623 w Clermont-Ferrand, zm. 19 sierpnia 1662 w Paryżu) – francuski filozof, matematyk, pisarz i fizyk. Tematem jego badań były prawdopodobieństwo, próżnia, ciśnienie atmosferyczne, oraz apologetyka, teodycea i fideizm. Na jego cześć nazwano jednostkę ciśnienia paskal oraz język programowania Pascal[potrzebne źródło].
Jezuici (pełna nazwa: Towarzystwo Jezusowe ) – męski papieski . Towarzystwo Jezusowe zostało założone w głównej mierze do walki z reformacją, by bronić i rozszerzać wiarę oraz naukę Kościoła rzymskokatolickiego, przede wszystkim przez publiczne nauczanie, .

Najwcześniejsze ślady znajomości matematyki w starożytnych Indiach datują się na ok. 3000-2600 p.n.e. i są pozostałością cywilizacji doliny Indusu z terenu północnych Indii i dzisiejszego Pakistanu. Cywilizacja ta stworzyła dziesiętne jednostki miary, technikę produkcji cegieł o ustalonych proporcjach boków, ulice przecinające się dokładnie pod kątem prostym i sporo geometrycznych przedstawień, w tym prostopadłościany, beczki, stożki, walce, i rysunki koncentrycznych lub przecinających się okręgów i trójkątów. Pojawiły się również doniesienia, że na terenie Polski, wykorzystywano proporcje geometryczne przy wyznaczaniu miejsca wiercenia otworu w kamiennych toporach - m.in. dla kultur ceramiki wstęgowej i to już ok. 7000 lat temu.

Siedem sztuk wyzwolonych (łac. septem artes liberales, właściwie siedem umiejętności godnych człowieka wolnego) – podstawa wykształcenia w okresie późnej starożytności oraz średniowiecza. Owe siedem sztuk dzielone było na dwie mniejsze grupy – trivium i quadrivium.
Geometria eliptyczna, zwana także geometrią sferyczną lub geometrią powierzchni kuli, jest szczególnym przypadkiem geometrii Riemanna dla stałej i dodatniej krzywizny. Jest jedną z geometrii nieeuklidesowych.

Odkryto także ciekawe przyrządy, takie jak dokładna linijka z dwupoziomową dziesiętną podziałką, instrument z muszli, działający jako kątomierz w zakresie od 40 do 360 stopni, inną muszlę, która pozwalała podzielić horyzont i niebo na 8-12 równych sekcji i przyrząd nawigacyjny do mierzenia pozycji gwiazd. Pismo induskie nie zostało dotąd odczytane, niewiele wiadomo zatem o pracach matematycznych z tego okresu. Niektórzy historycy interpretują pewne znaleziska archeologiczne jako dowody znajomości ósemkowego systemu liczbowego i liczby π.

Kwadrat magiczny – tablica składająca się z n wierszy i n kolumn (n>2), w którą wpisano n2 różnych dodatnich liczb naturalnych w ten sposób, że suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama (tzw. suma magiczna). Kwadrat, w którym suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie jest taka sama, ale sumy liczb w przekątnych są różne, nazywa się półmagicznym.
Wielka Brytania (), Zjednoczone Królestwo Wielkiej Brytanii i Irlandii Północnej (ang. United Kingdom of Great Britain and Northern Ireland) – unitarne państwo wyspiarskie położone w Europie Zachodniej. W skład Wielkiej Brytanii wchodzą: Anglia, Walia i Szkocja położone na wyspie Wielka Brytania, Irlandia Północna leżąca w północnej części wyspy Irlandia. Guernsey, Jersey i Wyspa Man, posiadają odrębny status dependencji Korony brytyjskiej i nie wchodzą w skład Zjednoczonego Królestwa.

Starożytny Wschód (1800-500 p.n.e.)

Chiny

W 213 p.n.e. chiński cesarz Qin Shi Huang rozkazał spalić wszystkie książki niezgodne z oficjalną filozofią legistyczną. Rozkaz ten nie wszędzie został wykonany, jednak w konsekwencji niewiele dziś wiadomo o starożytnej matematyce chińskiej.

Najwcześniejszy istniejący do dziś matematyczny artefakt z Chin to pochodząca z epoki Shang (1600 p.n.e.–1046 p.n.e.) skorupa żółwia z zapisaną liczbą 123. Użyty jest system dziesiętny, od góry do dołu wydrapane zostały: cyfra 1, symbol setki, cyfra 2, symbol dziesiątki, cyfra 3. Podówczas był to najbardziej zaawansowany system liczbowy na świecie. Późniejsi Chińczycy liczyli na przyrządach takich jak suanpan i chiński abakus. Nie wiadomo dokładnie, kiedy suan został wynaleziony, najwcześniejsza wzmianka znajduje się w Dodatku do sztuki figur Xu Yue z roku 190 n.e.

Hipoteza Poincarégo - twierdzenie topologii, sformułowane w pracach Henriego Poincarégo w roku 1904. Przez niemal sto lat nie udawało się dowieść jego poprawności lub go obalić. Rozwiązanie tego problemu stało się jednym z problemów milenijnych, ogłoszonych przez Instytut Matematyczny Claya w roku 2000. Ostateczne potwierdzenie hipoteza Poincarégo uzyskała w roku 2006.
Kryptologia (z gr. κρυπτός – kryptos – "ukryty" i λόγος – logos – "słowo") – dziedzina wiedzy o przekazywaniu informacji w sposób zabezpieczony przed niepowołanym dostępem. Współcześnie kryptologia jest uznawana za gałąź zarówno matematyki, jak i informatyki; ponadto jest blisko związana z teorią informacji, inżynierią oraz bezpieczeństwem komputerowym.

Najstarsza chińska praca z odniesieniami do geometrii, która przetrwała palenie ksiąg, Mo Jing, pochodzi z filozoficznego kanonu motizmu i została napisana ok. 330 p.n.e.. Opisywała rozmaite aspekty fizyki, przy okazji omawiając też stosowane metody matematyczne.

Mezopotamia

W Mezopotamii rolę ośrodka naukowego grał Babilon. Po nastaniu panowania Greków utrzymał tę funkcję, a sumeryjska matematyka połączyła się z grecką.

Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego – wyraża fakt, że podstawowe operacje rachunku różniczkowego i całkowego – różniczkowanie i całkowanie – są operacjami odwrotnymi. Dokładniej, jeżeli dana jest funkcja ciągła f, to pochodna jej całki nieoznaczonej jest równa f. Bezpośrednią konsekwencją twierdzenia jest możliwość wykorzystania funkcji pierwotnej do obliczania całki oznaczonej danej funkcji.
Sycylia (wł. Sicilia) – największa wyspa na Morzu Śródziemnym (25 710 km²), leżąca na południowy zachód od Półwyspu Apenińskiego, od którego oddziela ją wąska Cieśnina Mesyńska. Wyspę zamieszkuje około 5 milionów mieszkańców.

W przeciwieństwie do rzadkości źródeł na temat matematyki Egiptu, w przypadku Mezopotamii od połowy XIX wieku odnaleziono ponad 400 glinianych tabliczek zapisanych pismem klinowym, gdy glina była miękka i następnie utwardzonych w piecu lub na słońcu. Niektóre z nich wyglądają na ocenione prace domowe z matematyki.

Najstarsze pisane źródła matematyczne pochodzą od Sumerów, którzy zbudowali pierwszą cywilizację Mezopotamii. Stworzyli oni 3000 lat przed naszą erą złożony system miar. Ok. 2500 p.n.e. zapisali pismem klinowym tabliczkę mnożenia, zmagali się z zadaniami geometrycznymi, umieli dzielić, dodawać i odejmować. Na ten okres datują się także najstarsze ślady babilońskiego systemu liczbowego.

Etologia (z gr. ήθος - obyczaj) - dziedzina zoologii, zajmująca się szeroko pojętymi badaniami zachowań zwierząt, zarówno dziedziczonych jak i nabytych, ich aspektem przystosowawczym, rozwojem osobniczym, orientacją przestrzenną, zachowaniami społecznymi.
Prawo wzajemności reszt kwadratowych – twierdzenie teorii liczb, które pozwala rozstrzygnąć, czy dana kongruencja stopnia 2 ma rozwiązanie. Prawo wzajemności udowodnił Gauss, choć znali je już Euler i Legendre.

Większość znalezionych glinianych tabliczek pochodzi z okresu między 1800 a 1600 p.n.e., i dotyczy tematów takich jak ułamki, algebra, równania liniowe, kwadratowe, sześcienne, oraz trójki pitagorejskie. W glinie wypisano także tablice trygonometryczne. Babilońska tabliczka oznaczona przez archeologów symbolem YBC 7289 podaje oszacowanie wartości $\sqrt{2}$ z dokładnością do pięciu miejsc dziesiętnych.

Babilońscy matematycy używali systemu sześćdziesiątkowego. Jego ślady pozostały do dziś w podziale godziny na 60 minut, minuty na 60 sekund i kąta pełnego na 360 (60 x 6) stopni, a następnie stopnia na 60 minut i minuty na 60 sekund kątowych.

System sześćdziesiątkowy jest o tyle wygodny, że liczba 60 ma wiele dzielników (1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60). Ułatwia to dzielenie przez niewielkie liczby. Ponadto postępom matematyki sprzyjał fakt, że w odróżnieniu od zapisów Egipcjan, Greków i Rzymian, system Babilończyków był prawdziwym systemem pozycyjnym, w którym te same znaki (cyfry) z lewej strony reprezentowały większe wartości, niż z prawej. Nie miał on zatem ograniczeń, jeśli chodzi o maksymalną możliwą do zapisania liczbę. Nie posiadał jednak separatora dziesiętnego, którego trzeba było domyślać się z kontekstu.

Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.
Nauki przyrodnicze (w terminologii angielskiej zwane natural sciences) to mało precyzyjne określenie dziedzin nauki, które zajmują się badaniem różnych aspektów świata materialnego, ożywionego i nieożywionego, zazwyczaj z zastosowaniem aparatu matematycznego, jak również właściwej sobie metodologii.

Egipt

O odrębnej matematyce egipskiej można mówić do nastania panowania Greków, kiedy język egipski został zastąpiony greckim i wraz z matematyką babilońską została ona wchłonięta przez myśl grecką. Niektóre egipskie koncepcje były później rozwijane przez matematyków arabskich, kiedy Egipcjanie zaczęli pisać ich alfabetem.

Mikołaj z Oresme, także Nicole Oresme lub Nicolas d’Oresmus (ur. około 1320, zm. 11 lipca 1382) – średniowieczny francuski filozof. Prowadził badania między innymi w zakresie matematyki, ekonomii, fizyki i astronomii. Był również katolickim biskupem Lisieux i doradcą króla Karola V Mądrego. Ponadto był uznanym tłumaczem i komentatorem dzieł Arystotelesa.
Liber abaci lub Liber abbaci - księga matematyczna z 1202, dotycząca arytmetyki, autorstwa Leonarda z Pizy, znanego później pod pseudonimem Fibonacci. Jej tytuł tłumaczony jest współcześnie jako Księga liczydła lub Księga rachunków.

Najstarszym odkrytym egipskim tekstem matematycznym jest tzw. papirus moskiewski, pochodzący ze starożytnego Egiptu z okresu Średniego Państwa, datowany 2000 p.n.e.–1800 p.n.e. Jak wiele starożytnych tekstów matematycznych skupia się na czymś, co dziś nazwalibyśmy "zadaniami z treścią" i miał zapewne służyć rozrywce. Jedno z zadań ukazuje metodę obliczania objętości ściętego ostrosłupa o kwadratowej podstawie:

Funkcja zespolona to funkcja o dziedzinie i przeciwdziedzinie zawartej w zbiorze liczb zespolonych. Teoria funkcji zespolonej stanowi osobny dział analizy matematycznej nazywany analizą zespoloną. Podobnie jak w przypadku funkcji zmiennych rzeczywistych rozważa się funkcje wielu zmiennych zespolonych. Teoria tych funkcji jest dużym, dynamicznie rozwijającym się działem matematyki, korzystającym z osiągnięć współczesnej nauki. Funkcje zespolone są wykorzystywane do opisu zjawisk ewoluujących jednocześnie w czasie i przestrzeni
Suanpan (tradycyjny chiński: 算盘, uproszczoczony chiński: 算盤, pinyin: suànpán) – chińska odmiana europejskiego abaku. Każdy z drutów w suanpanie dzieli się na dwie części: jedną z pięcioma kulkami i drugą z dwoma każdym o "wartości" pięciu kulek z pierwszej części drutu. Na suanpanie można szybko wykonywać: mnożenie, dzielenie, dodawanie, odejmowanie, pierwiastkowanie kwadratowe i sześcienne.

$V=(a^2+ab+b^2)\frac{h}{3}$

Papirus Matematyczny Rhinda (ok. 1650 p.n.e.) to kolejny ważny egipski tekst matematyczny, podręcznik arytmetyki i geometrii. Oprócz metod przeprowadzania mnożenia, dzielenia i działań na ułamkach, zawiera również dowody posiadania przez Egipcjan szerszej wiedzy matematycznej, w szczególności znajomość liczb pierwszych, liczb złożonych, średnich arytmetycznej, geometrycznej i harmonicznej, uproszczonej wersji sita Eratostenesa i liczb doskonałych (w szczególności dla liczby 6). Pokazuje również metodę rozwiązywania równań liniowych oraz szeregów arytmetycznych i geometrycznych.

Pierwiastkowanie – w matematyce operacja odwrotna względem potęgowania. Ponieważ często istnieje wiele liczb (tzw. pierwiastki algebraiczne), które podniesione do pewnej potęgi dają daną liczbę, to pierwiastkowanie nie może być w ogólności nazwane działaniem; często można jednak ograniczyć dziedzinę działania potęgowania tak, by możliwe było jego odwrócenie (dając tzw. pierwiastki arytmetyczne).
Persowie – lud pochodzenia irańskiego zamieszkujący od początków I tysiąclecia p.n.e. tereny obecnego zachodniego Iranu. W 550 p.n.e. Persowie zajęli Medię i utworzyli na jej terenach rozległe imperium perskie. W V w. p.n.e. próbowali podbić i zniszczyć Grecję (wojny perskie). W latach 334-327 p.n.e. ulegli potędze Aleksandra Macedońskiego. Zapoczątkowało to okres dominacji nad Persami, początkowo grecko-macedońskiej, a później partyjskiej. Niezależność przywrócili Persom w pierwszej połowie III w. n.e. władcy z dynastii Sasanidów. Zmarnowali jednak oni siły państwa w bezustannych wojnach z Imperium Rzymskim i Cesarstwem Bizantyjskim. W połowie VII w. Persowie zostali podbici przez Arabów i stopniowo przeszli na islam.

Papirus Rhinda sugeruje również znajomość pierwocin geometrii analitycznej. Znajdują się w nim bowiem:

metoda obliczenia liczby π z dokładnością lepszą niż 1%,

próba kwadratury koła

najstarsze znane użycie kotangensa.

Z papirusu berlińskiego (ok. 1300 p.n.e.) wynika, że starożytni Egipcjanie potrafili rozwiązywać równania kwadratowe.

Starożytne Indie (ok. 900 p.n.e.–200 n.e.)

Najstarsze ślady matematyki w Indiach to Shatapatha Brahmana (IX wiek p.n.e.), gdzie obliczono wartość liczby π z dokładnością do dwóch miejsc dziesiętnych, oraz Sulba Sutras (ok. 800-500 p.n.e.) gdzie użyto liczb niewymiernych, pierwszych, reguły trzech (rozwiązywanie proporcji), pierwiastka sześciennego, pierwiastków kwadratowych obliczonych z dokładnością do 5 miejsc po przecinku, przybliżonej kwadratury koła, trójek pitagorejskich, rozwiązywano równania liniowe i kwadratowe, oraz udowodniono twierdzenie Pitagorasa.

Paleolit (starsza epoka kamienia, zob. paleo, lit) - jedna z epok prahistorii, najstarszy i najdłuższy etap w dziejach rozwoju społeczności ludzkiej, zwany też jako starsza epoka kamienia. Rozpoczyna się z chwilą pojawienia form przedludzkich zdolnych do wytwarzania prymitywnych narzędzi (otoczaki, pięściaki i rozłupce). Termin paleolit wprowadził w roku 1865 angielski uczony John Lubbock [1].
Rachunek zdań to dział logiki matematycznej badający związki między zdaniami (zmiennymi zdaniowymi) lub funkcjami zdaniowymi utworzonymi za pomocą spójników zdaniowych ze zdań lub funkcji zdaniowych prostszych. Rachunek zdań określa sposoby stosowania spójników zdaniowych w poprawnym wnioskowaniu.

Panini (ok. V wieku p.n.e.) skodyfikował reguły gramatyczne sanskrytu. Jego notacja była zbliżona do współczesnego zapisu matematycznego, z metaregułami, przekształceniami i rekursją. Rozwinął swój formalizm do tego stopnia, że jego gramatyka może być dziś przetwarzana metodami komputerowymi. Pingala (żył gdzieś w przedziale III–I wiek p.n.e.) w swoim traktacie o prozodii używał konstrukcji zbliżonej do dwójkowego systemu liczbowego. Jego kombinatoryczna dyskusja metrum muzycznego, przypomina dwumian Newtona. Praca Pingali zawiera też ideę liczb Fibonacciego (zwanych mātrāmeru).

Niemcy (Republika Federalna Niemiec, RFN; do traktatu pomiędzy RFN a Polską Rzecząpospolitą Ludową (1970) w Polsce stosowana była oficjalnie nazwa Niemiecka Republika Federalna, NRF; niem.: Deutschland lub Bundesrepublik Deutschland, BRD) – państwo federacyjne położone w Europie, będące członkiem Unii Europejskiej (UE), Unii Zachodnioeuropejskiej (UZE), G8, ONZ oraz NATO. Stolicą Niemiec jest Berlin (przed połączeniem z NRD – Bonn, obecnie noszące tytuł miasta federalnego). Językiem oficjalnym jest język niemiecki.
Teoria grup – jeden z działów matematyki, uznawany za część algebry, badający własności obiektów zwanych grupami. Wraz z zastosowaniami stanowi on obecnie ogromną, autonomiczną dziedzinę wiedzy.

Pomiędzy 400 p.n.e. a 200 n.e., matematycy dźinijscy zaczęli studiować matematykę dla samej przyjemności badań. Odkryli nieskończone liczby kardynalne, teorię mnogości, logarytmy, prawa potęgowania, równania sześcienne, czwartego stopnia, ciągi, szeregi, permutacje, kombinacje (z powtórzeniami i bez powtórzeń), oraz pierwiastek kwadratowy. Manuskrypt z Bakhshali, napisany między 200 p.n.e. a 200 n.e. zawierał rozwiązania układów równań liniowych z pięcioma niewiadomymi, rozwiązania równania kwadratowego, szeregi arytmetyczny i geometryczny, kwadratowe równania nieoznaczone, układy równań, zastosowanie zera oraz liczb ujemnych. Rozwinięcia liczb niewymiernych, w szczególności pierwiastków kwadratowych liczb rzędu miliona, sięgały 11 miejsc dziesiętnych.

Dzielnik – w matematyce dla danej liczby całkowitej liczba całkowita, która dzieli ją bez reszty. W matematyce elementarnej dzielnikiem nazywa się dowolną liczbę, przez którą się dzieli.
Bartłomiej (Barthélemy, Bartholomeo, Bartholomäus) Pitiscus (ur. 24 sierpnia 1561 w Zielonej Górze, zm. 2 czerwca 1613 w Heidelbergu) – matematyk, astronom i teolog kalwiński. Jako pierwszy użył terminu Trygonometria. Jego imieniem nazwany jest krater na Księżycu.

Grecja (ok. 600 p.n.e.–450 n.e.)

Pitagoras z Samos

Termin "matematyka grecka" odnosi się do tekstów napisanych po grecku w okresie od ok. 600 p.n.e. do 450 n.e.. Matematycy greccy żyli w miastach rozsianych od półwyspu Apenińskiego po północną Afrykę, lecz jednoczyła ich kultura i język.

Tales z Miletu

Matematyka grecka była bardziej wyrafinowana od osiągnięć wcześniejszych kultur. Świadectwa, które przetrwały do naszych czasów, wskazują na umiejętność rozumowania indukcyjnego, to znaczy konstruowania reguł na podstawie obserwacji. Grecy używali logiki do wyprowadzania wniosków z definicji i aksjomatów.

Teleskop (gr. tēle-skópos – daleko widzący) – przyrząd optyczny złożony z dwóch elementów optycznych: obiektywu i okularu (teleskop soczewkowy) lub z okularu i zwierciadła (teleskop zwierciadlany), połączonych tubusem. Służy do powiększania odległych obrazów. Zarówno teleskop soczewkowy, jak i teleskop zwierciadlany dają obraz rzeczywisty powiększony, odwrócony lub prosty.
Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.

Uważa się, że podwaliny matematyki greckiej położyli Tales z Miletu (ok. 624 p.n.e.–ok. 546 p.n.e.) i Pitagoras (ok. 582 p.n.e.–ok. 507 p.n.e.). Jakkolwiek rozmiar wpływu jest dyskusyjny, byli oni zapewne zainspirowani ideami egipskimi, babilońskimi i prawdopodobnie indyjskimi. Zgodnie z legendą Pitagoras podróżował do Egiptu, aby uczyć się matematyki, geometrii i astronomii od kapłanów egipskich.

Stupa (sanskr. stūpa; język tajski: เจติย czedi; język laotański that; Stupa (jap. 卒塔婆, sotoba?, , kopiec, szczyt) zwana również pagodą – najprostszy typ budowli sakralnej buddyjskiej, rzadziej dźinijskiej, wywodzącej się z Indii. Ze względu na architekturę jest niezwykle odporna na trzęsienia ziemi. Zasadniczo funkcjonuje jako relikwiarz. Na terenie Sri Lanki ten typ budowli nosi nazwę dagoby, w Tajlandii - czedi, w Indonezji - candi, w Bhutanie, Nepalu i w Tybecie – czortenu, w Mongolii - suburganu.
Pitagoras (gr. Πυθαγόρας, Pythagoras), (ur. ok. 572 p.n.e. na Samos, zm. ok. 497 p.n.e. w Metaponcie) – grecki matematyk, filozof, mistyk kojarzony ze słynnym twierdzeniem matematycznym nazwanym jego imieniem.

Tales używał geometrii, aby rozwiązywać problemy takie jak obliczanie wysokości piramid lub odległości statków od brzegu. Pitagorasowi przypisywany jest pierwszy dowód twierdzenia nazwanego jego imieniem, choć sformułowanie tego twierdzenia jest dużo starsze. W swoich komentarzach do Euklidesa, Prokul twierdził jednak, że Pitagoras sformułował swoje twierdzenie i skonstruował trójki pitagorejskie. Akademia Platońska miała motto Niech nie wchodzi tu nikt, kto nie zna geometrii.

Cegła - materiał budowlany w kształcie prostopadłościanu (także klina, wycinka pierścienia kołowego lub kształtki) uformowany z gliny, wapna, piasku, cementu (bloczki betonowe) lub innych surowców mineralnych, który wytrzymałość mechaniczną i odporność na wpływy atmosferyczne uzyskuje poprzez proces suszenia, wypalania lub naparzania parą wodną. Cegły służą m.in. do wznoszenia ścian, murów, filarów, słupów, a także fundamentów i ścian fundamentowych. Cegły mogą też być wypełnieniem stropów (→strop Kleina).
Rachunek różniczkowy i całkowy to dział matematyki zajmujący się badaniem funkcji zmiennej rzeczywistej lub zespolonej w oparciu o podstawowe dla tej dyscypliny matematycznej pojęcie granicy. W szczególności własności funkcji bada się za pomocą ich pochodnych i całek.

Pitagorejczycy odkryli istnienie liczb niewymiernych. Eudoksos z Knidos (408 p.n.e.–ok. 355 p.n.e.) wymyślił metodę wyczerpywania, pierwowzór całkowania numerycznego. Arystoteles (384 p.n.e.–ok. 322 p.n.e.) jako pierwszy opisał prawa logiki. Euklides (ok. 300 p.n.e.) jako pierwszy użył schematu, do dziś popularnego w pracach matematycznych: definicja, aksjomat, twierdzenie, dowód. Badał także krzywe stożkowe. Jego dzieło, Elementy, jest jednym z najważniejszych tekstów naukowych w historii. Oprócz podsumowania ówczesnej wiedzy geometrycznej, Elementy zawierają także dowód niewymierności pierwiastka z dwóch i dowód, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Do znajdowania liczb pierwszych używane było sito Eratostenesa (ok. 230 p.n.e.).

Kurt Gödel (1906-1978) – austriacki logik i matematyk; autor ważnych twierdzeń z zakresu logiki matematycznej, współautor jednej z aksjomatyk teorii mnogości. Do najbardziej znanych osiągnięć matematycznych Gödla należą twierdzenia o niezupełności i niesprzeczności bogatszych teorii dedukcyjnych (to znaczy takich, które obejmują arytmetykę liczb naturalnych).
Struktura matematyczna - zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system. Często można się spotkać z innymi nazwami struktury matematycznej, na przykład: model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu.

Jednym z największych greckich matematyków był Archimedes (287–212 p.n.e.) z Syrakuz. Według Plutarcha zginął, gdy rozważając pewien problem geometryczny ośmielił się zwrócić uwagę rzymskiemu żołnierzowi, który przeszedł po wykreślonych na piasku figurach.

Chiny (ok. 500 p.n.e.–1300 n.e.)

Dziewięć rozdziałów o sztuce matematyki

Pomimo incydentu palenia ksiąg, dynastia Han (202 p.n.e.–220 n.e.) tworzyła później dzieła matematyczne, opierające się na zaginionych pracach. Najważniejszym z nich było Dziewięć rozdziałów o sztuce matematyki, dokonana ok. 179 kompilacja prac, z których część istniała wcześniej pod innymi tytułami. Dzieło składało się z 246 opisanych słownie problemów, dotyczących rolnictwa, handlu, zastosowania geometrii do obliczania proporcji chińskich pagod, budowy wież, inżynierii, pomiarów geodezyjnych, i opisywało m.in. rozwiązywanie trójkątów prostokątnych i obliczanie liczby π. Wykorzystywało także zasadę Cavalieriego ponad tysiąc lat przed odkryciem jej przez Cavalierego na Zachodzie. Dzieło zawiera również dowód twierdzenia Pitagorasa i wzór na eliminację Gaussa. Praca była komentowana przez Liu Hui w III wieku n.e.

Paleontologia (od gr. palaios – stary + on – byt + logos – nauka) – nauka o organizmach kopalnych, wyprowadzająca na podstawie skamieniałości i śladów działalności życiowej organizmów wnioski ogólne o życiu w przeszłości geologicznej. Ściśle związana z naukami biologicznymi i geologią, posługuje się często fizyką i chemią.
Minuta (łac. minuta – mała) – legalna jednostka czasu nie należąca do układu SI, równa 60 sekundom, oznaczana min (bez kropki na końcu). Wywodzi się z sumeryjskiego układu miar. Termin minuta pochodzi z łacińskiego wyrażenia pars minuta prima (pierwsza mała część).

Dodatkowo matematyczne prace Zhang Heng (78-139), astronoma i wynalazcy z epoki Han, także zawierały obliczenie liczby π, różniące się jednak metodą od wyniku Liu Hui. Zhang Heng używał wzoru na π do obliczania objętości kuli.

Powstała także praca matematyka i teoretyka muzyki Jing Fang (78–37 p.n.e.). Używając komatu pitagorejskiego, Jing zauważył, że 53 kwinty odpowiadają w przybliżeniu 31 oktawom. Doprowadziło to później do odkrycia skali temperowanej, i zostało precyzyjnie wyprowadzone dopiero w XVII wieku przez Nicholasa Mercatora.

Włochy (Republika Włoska, wł. Italia, Repubblica Italiana) – państwo położone w Europie Południowej, na Półwyspie Apenińskim, będące członkiem wielu organizacji, m.in.: UE, NATO, należące do ośmiu najbardziej uprzemysłowionych i bogatych państw świata – G8.
Bóg lub bóstwo – pojęcie istoty nadprzyrodzonej leżące u podstaw większości wierzeń religijnych. Zajmuje się nim teologia, a także filozofia i jest ono uważane za zagadnienie metafizyczno-egzystencjalne. Ze względu na duże zróżnicowanie rozumienia tego pojęcia, trudno jest o jego jednoznaczną definicję. Jako najbardziej różniące się od siebie, należy wyodrębnić definicje używane przez popularne religie politeistyczne i monoteistyczne, deizm, panteizm oraz panenteizm. Wśród religii monoteistycznych należy wyróżnić monoteizm trynitarny.

Chińczycy stworzyli złożone kombinatoryczne diagramy zwane kwadratami magicznymi i kołami magicznymi, opisane w czasach starożytnych, a następnie dopracowane przez Yang Hui (1238–1398).

Zhang Heng (78–139)

Zu Chongzhi (V wiek, okres Dynastii Południowych i Północnych) obliczył wartość π z dokładnością do siedmiu miejsc dziesiętnych, co pozostało przez prawie tysiąc lat najlepszym oszacowaniem tej liczby.

W tysiąc lat po upadku dynastii Han, w okresie dynastii Tang i Song, chińska matematyka świetnie prosperowała, podczas gdy europejska nie istniała. Dokonania Chińczyków, dużo później ponownie odkryte na Zachodzie, obejmowały liczby ujemne, dwumian Newtona, macierze, metody rozwiązywania układów równań liniowych, chińskie twierdzenie o resztach, trójkąt Pascala, i regułę trzech. Oprócz Zu Chongzhi, istotny wkład do chińskiej matematyki tego okresu wnieśli m.in. Yi Xing, Shen Kuo, Qin Jiushao, i Zhu Shijie. Uczony Shen Kuo stosował m.in. rachunek różniczkowy, trygonometrię, metrologię, permutacje, obliczył także konieczny rozmiar wolnej przestrzeni niezbędny do rozwinięcia określonych formacji bitewnych, oraz najdłuższą możliwą kampanię militarną przy określonych zasobach żywności.

Sir Andrew John Wiles (ur. 11 kwietnia 1953 w Cambridge) – mieszkający w USA angielski matematyk specjalizujący się w teorii liczb. Znany przede wszystkim z udowodnienia słynnego wielkiego twierdzenia Fermata.
Grigorij Jakowlewicz Perelman, ros. Григорий Яковлевич Перельман (ur. 13 czerwca 1966 w Leningradzie) – rosyjski matematyk, profesor (do 2003 roku) Instytutu Stiekłowa w Sankt Petersburgu. W 2003 Udowodnił hipotezę Poincarégo, jeden z najważniejszych problemów w topologii.

Nawet, gdy europejska nauka rozkwitła w dobie renesansu, chińska i europejska matematyka pozostawały odrębnymi tradycjami, przy czym postępy Chińczyków były coraz wolniejsze. Wzajemne odkrycie tych dwóch kultur naukowych nastąpiło za sprawą jezuickich misjonarzy, takich jak Matteo Ricci, którzy przenosili idee matematyczne w obydwie strony w okresie od XVI do XVIII wieku.

Język grecki albo greka — język indoeuropejski z grupy helleńskiej, w starożytności ważny język basenu Morza Śródziemnego. W cywilizacji Zachodu zaadaptowany obok łaciny jako język terminologii naukowej, wywarł wpływ na wszystkie współczesne języki europejskie, a także część pozaeuropejskich i starożytnych. Od X wieku p.n.e. zapisywany jest alfabetem greckim. Obecnie, jako język nowogrecki, pełni funkcję języka urzędowego w Grecji i Cyprze. Jest też jednym z języków oficjalnych Unii Europejskiej. Po grecku mówi współcześnie około 15 milionów ludzi.
Eudoksos z Knidos (gr. Εὔδοξος ὁ Κνίδιος Eudoksos ho Knidios) – grecki astronom, matematyk, filozof i geograf żyjący w pierwszej połowie IV wieku p.n.e. (prawdopodobnie około 408-355 p.n.e.)

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)