Homeomorfizm - Polski Serwis Naukowy

Kubek i torus są homeomorficzne – można przekształcić jeden w drugi bez rozrywania i sklejania

Homeomorfizm – jedno z fundamentalnych pojęć topologii. Intuicyjnie - przekształcenie, które dowolnie ściska, rozciąga, wygina lub skręca figurę, nie robi jednak w niej dziur, nie rozrywa jej ani nie skleja jej fragmentów. Inaczej mówiąc, przekształcenie to na ogół zmienia pierwotny kształt i rozmiar figury, zawsze jednak zachowuje potocznie rozumianą ciągłość i spoistość.

Kategoria – pojęcie wyodrębniające szereg algebraicznych własności rodzin morfizmów między obiektami matematycznymi tego samego typu (zbiorów, przestrzeni topologicznych, przestrzeni liniowych, grup itp.) pod warunkiem, że te rodziny zawierają odwzorowanie tożsamościowe i są zamknięte względem kolejnego wykonywania superpozycji (lub iloczynu) odwzorowań. Pojęcie kategorii zostało wprowadzone w pracy Eilenberga i Mac Lane.

Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.

Definicja

Niech $(X, \tau_X)\,$ oraz $(Y, \tau_Y)\,$ będą dwiema przestrzeniami topologicznymi. Funkcję $f\colon X \to Y$ nazywa się homeomorfizmem, gdy:

$f\,$ jest funkcją różnowartościową,
$f(X) = Y\,$ , czyli $f\,$ jest funkcją "na",
$f\,$ jest funkcją ciągłą,
$f^{-1}\colon Y \to X$ jest funkcją ciągłą.

Mówi się, że przestrzenie topologiczne są homeomorficzne, jeżeli istnieje pomiędzy nimi homeomorfizm. Homeomorfizmy są więc ciągłymi bijekcjami, których funkcja odwrotna jest również ciągła. Założenie ciągłości funkcji odwrotnej jest konieczne, ponieważ funkcja odwrotna do ciągłej bijekcji może nie być ciągła.

Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.

Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.

Zastosowanie

Wprost z definicji wynika, że:

Złożenie homeomorfizmów jest homeomorfizmem.

Funkcja odwrotna do homeomorfizmu też jest homeomorfizmem.

Każda funkcja tożsamościowa jest homeomorfizmem, o ile na dziedzinie i przeciwdziedzinie rozważana jest ta sama topologia.

W dowolnej rodzinie przestrzeni topologicznych relacja homeomorficzności dwóch przestrzeni topologicznych jest relacją równoważności. Klasę abstrakcji tej relacji czasami nazywa się typem topologicznym.

Niezmiennik topologiczny to wielkość występująca w topologii i fizyce teoretycznej, liczba charakteryzująca rozmaitości topologiczne. Jest to wielkość, która pozostaje stała przy wszystkich dopuszczalnych topologicznie, a więc ciągłych, przekształceniach. Na przykład, jeśli rozważamy odwzorowanie okręgu w okrąg (czyli okręgu w samego siebie, porównaj homeomorfizm) to okazuje się, że wszystkie możliwe odwzorowania można zaklasyfikować ze względu na tak zwana liczbę nawinięć. Jest to liczbę mówiąca ile razy należy obiec okrąg będący obrazem przekształcenia przy pojedynczym obiegu okręgu wyjściowego. Liczba ta jest stała i składając badane przekształcenie z dowolnym innym ciągłym przekształceniem nie można jej zmienić. Tym samym zbiór wszystkich ciągłych przekształceń okręgu rozpada się na rozłączne klasy przekształceń, które nawijają okrąg na siebie raz, dwa razy, trzy razy, itd. Struktura tego zbioru odpowiada zatem zbiorowi liczb naturalnych (porównaj homotopia, klasy homotopii).

Topologia podprzestrzeni – w topologii i powiązanych z nią działach matematyki topologia określona na podzbiorze danej przestrzeni topologicznej, nazywanym wtedy podprzestrzenią, za pomocą naturalnie odziedziczonej z przestrzeni wyjściowej topologii. Topologię podprzestrzeni nazywa się też topologią śladową, relatywną lub indukowaną.

Przestrzenie homeomorficzne są z punktu widzenia topologii nierozróżnialne.

Topologia zajmuje się m.in. badaniem niezmienników topologicznych, czyli tych własności przestrzeni topologicznych, które są zachowywane przy homeomorfizmach przestrzeni. Wśród nich można wymienić domkniętość, otwartość, zwartość, ośrodkowość czy spójność.

Przykłady

okrąg jest homeomorficzny z dowolną łamaną zamkniętą zwyczajną , ale nie z odcinkiem otwartym,

koło jest homeomorficzne z dowolnym wielokątem, ale nie z kołem pozbawionym środka,

sfera (jako dwuwymiarowa powierzchnia trójwymiarowej kuli) jest homeomorficzna z powierzchnią dowolnego wielościanu ale nie z powierzchnią torusa ani z kołem,

dowolne dwa odcinki otwarte są homeomorficzne ze sobą, każdy z nich jest homeomorficzny z całą prostą,

żaden odcinek otwarto-domknięty nie jest homeomorficzny z żadnym odcinkiem otwartym ani domkniętym

Zanurzenie homeomorficzne

Przekształcenie $f\colon X\to Y$ nazywane jest zanurzeniem homeomorficznym, jeśli jest złożeniem homeomorfizmu i zanurzenia, tj. jeśli istnieje taka podprzestrzeń $L$ przestrzeni $Y$ oraz taki homeomorfizm $f^\prime\colon X\to L$ , że

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) struktur - funkcja wzajemnie jednoznaczna z uniwersum struktury A w uniwersum struktury B, która zachowuje funkcje, relacje i wyróżnione elementy.

$f=\mbox{id}_L\circ f^{\prime}$ .

Jeśli istnieje zanurzenie homeomorficzne przestrzeni $X$ w $Y$ , to mówi się, że $X$ jest zanurzalna w $Y$ .

Sprzężenie topologiczne

Dwa homeomorfizmy $\varphi,\; \psi\colon X \to X$ nazywane są topologicznie sprzężonymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki homeomorfizm $\varrho\colon X \to X$ , że $\varphi \circ \varrho = \varrho \circ \psi$

Zobacz też