Homomorfizm - Polski Serwis Naukowy

Homomorfizm – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorowa) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr.

Definicja

Niech:

Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.

Moduł – struktura algebraiczna będąca uogólnieniem przestrzeni liniowej. Ponieważ grupy abelowe można postrzegać jako moduły nad pierścieniem liczb całkowitych, to teoria modułów znajduje zastosowanie w wielu działach algebry i innych dziedzinach matematyki.

$\mathcal A = (A, f_1, \dots, f_n)$ i $\mathcal B = (B, g_1, \dots, g_n)$ będą algebrami ogólnymi tego samego typu,

$h\colon A \to B$ będzie funkcją przekształcającą zbiór $A\,$ w zbiór $B\,$ ,

dla $i = 1, \dots, n$ niech $a(i)\,$ będzie argumentowością operacji $f_i\,$ oraz $g_i\,$ (liczba argumentów obu funkcji musi być równa, ponieważ algebry $\mathcal A$ i $\mathcal B$ mają ten sam typ).

Wtedy $h\,$ jest homomorfizmem algebry $\mathcal A$ w algebrę $\mathcal B$ , jeśli dla każdego $i = 1, \dots, n$ oraz ciągu $(x_1, x_2, \dots, x_{a(i)})$ elementów zbioru $A\,$ zachodzi równość:

Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.

Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.

$h\left(f_i(x_1, x_2, \dots, x_{a(i)})\right) = g_i\left(h(x_1), h(x_2), \dots, h(x_{a(i)})\right)$ .

Oznacza to, że dla każdego $i = 1, \dots, n$ odwzorowanie $h\,$ przeprowadza operację $f_i\,$ w operację $g_i\,$ .

Każdy typ struktury algebraicznej posiada swój własny typ homomorfizmu, np.:

homomorfizm grup,

homomorfizm pierścieni,

homomorfizm przestrzeni liniowych (przekształcenie liniowe),

homomorfizm modułów.

Przykłady

Niech $\mathrm G = (\mathbb{G}, +, 0)\,$ oraz $\mathrm H = (\mathbb{H}, \oplus, \theta)$ będą grupami (w zapisie addytywnym, choć niekoniecznie abelowymi oraz $h\colon G \to H$ . Jeżeli $\forall_{a,\; b \in G}\; h(a + b) = h(a) \oplus h(b)$ , to $h\,$ jest homomorfizmem grupy $\mathrm G\,$ w grupę $\mathrm H\,$ . Istotnie, $h\,$ przeprowadza działanie grupowe $+\,$ na działanie $\oplus$ na mocy powyższego założenia.

Odwzorowanie $h\,$ przekształca element neutralny względem działania w $\mathrm G\,$ na element neutralny względem działania $\mathrm H\,$ , to znaczy ma miejsce równość $h(0) = \theta$ . Ponadto $\forall_{a \in G}\; h(-a) = -h(a)$ .

Niech $\mathrm G\,$ oznacza zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania $+\,$ , a $\mathrm H\,$ zbiór liczb rzeczywistych z działaniem mnożenia $\cdot$ . Wtedy homomorfizmem $h\,$ jest np. funkcja wykładnicza $h(x) = \exp(x)\,$ .

Rodzaje homomorfizmów

Homomorfizm, który jest:

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

W logice, matematyce i informatyce argumentowość (lub arność) – liczba argumentów funkcji, funkcji zdaniowej, relacji, operatora lub symbolu funkcyjnego.

iniekcją, nazywamy monomorfizmem,

suriekcją, nazywamy epimorfizmem,

bijekcją, nazywamy izomorfizmem (zatem każdy monomorfizm będący jednocześnie epimorfizmem jest izomorfizmem),

odwzorowaniem struktury w samą siebie, nazywamy endomorfizmem,

wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem struktury w samą siebie (tzn. będący jednocześnie izomorfizmem i endomorfizmem), nazywamy automorfizmem.

Zobacz też

antyhomomorfizm