Hydrostatyka - Polski Serwis Naukowy

Hydrostatyka (z gr. hydōr - "woda" + statikos - "powodujący stanie") — dział mechaniki płynów zajmujący się badaniem cieczy w stanie spoczynku oraz warunków pozostawania w spoczynku cieczy znajdującej się w polu sił masowych.

Siłami masowymi są siły, których wartość jest proporcjonalna do masy ciała, czyli siły grawitacyjne oraz sił bezwładności. Pomimo że istnieje odrębna dziedzina nauki zajmująca się jedynie statyką gazów (aerostatyka), ze względu na liczne pokrewieństwa (zarówno w samych zjawiskach, jak i ich opisach), często ciecze i gazy są rozpatrywane wspólnie (mechanika płynów).

Siła ciężkości, pot. ciężar – siła z jaką Ziemia lub inne ciało niebieskie przyciąga dane ciało, w układzie odniesienia związanym z powierzchnią ciała niebieskiego. Ciężar jest wypadkową sił przyciągania grawitacyjnego i siły odśrodkowej wynikającej z ruchu obrotowego określonego ciała niebieskiego.
Grawitacja (ciążenie powszechne) - jedno z czterech oddziaływań podstawowych, będące zjawiskiem naturalnym polegającym na tym, że wszystkie obiekty posiadające masę oddziałują na siebie wzajemnie przyciągając się.

Współczesność

Współcześnie podstawowym zagadnieniem hydrostatyki jest określenie skalarnego pola ciśnienia w cieczy znajdującej się w spoczynku. Ciśnienie opisuje równanie: $f = \frac 1 \rho \nabla p$

gdzie:

f — wektorowe pole jednostkowych sił masowych (siła działająca na jednostkę masy cieczy),

$\rho$ — gęstość cieczy,

p — ciśnienie.

Zależność ta może być wyprowadzona z równania Naviera-Stokesa przy założeniu, że prędkość jest równa zero. Spełnione ono jest zarówno dla płynów nieściśliwych czyli idealnych cieczy jak i dla płynów ściśliwych; rzeczywistych cieczy i gazów.

Czas – skalarna wielkość fizyczna określająca kolejność zdarzeń oraz odstępy między zdarzeniami zachodzącymi w tym samym miejscu. Pojęcie to było również przedmiotem rozważań filozoficznych.
Komputer (z ang. computer od łac. computare – obliczać, dawne nazwy używane w Polsce: mózg elektronowy, elektroniczna maszyna cyfrowa, maszyna matematyczna) – urządzenie elektroniczne służące do przetwarzania wszelkich informacji, które da się zapisać w formie ciągu cyfr albo sygnału ciągłego.

Prawo Pascala

Gdy nie występują siły masowe (f=0) równanie upraszcza się do: $0 = \frac 1 \rho \nabla p$ .

Oznacza to że, gdy w płynie nie występują siły masowe, to ciśnienie w płynie jest jednakowe we wszystkich punktach płynu. Prawidłowość tę po raz pierwszy sformułował Pascal, stąd jego nazwa prawo Pascala i tradycyjnie jest uważane za najważniejsze prawo hydrostatyki.

Ciecz w polu jednorodnym

Gdy siła masowa jest jednakowa w całej objętości cieczy i skierowana wzdłuż osi z, to ciśnienie zależy tylko od tej współrzędnej, a równanie równowagi płynu można sprowadzić do postaci:

Prawo Pascala - jeżeli na płyn (ciecz lub gaz) w zbiorniku zamkniętym wywierane jest ciśnienie zewnętrzne, to (pomijając ciśnienie hydrostatyczne) ciśnienie wewnątrz zbiornika jest wszędzie jednakowe i równe ciśnieniu zewnętrznemu.
Stała gazowa (uniwersalna stała gazowa) (oznaczana jako R) – stała fizyczna równa pracy wykonanej przez 1 mol gazu doskonałego podgrzewanego o 1 kelwin (stopień Celsjusza) podczas przemiany izobarycznej.

$\rho f_z = \frac {dp} {dz}\,$

lub $\rho f_z {dz} = {dp} \,$

gdzie:

$f_z$ — siła jednostkowa w kierunku osi z,

$dz$ — zmiana położenia,

$dp$ — zmiana ciśnienia.

Gdy gęstość płynu nie zależy od ciśnienia, co jest w przybliżeniu spełnione dla wszystkich cieczy, a siła masowa jest przyspieszeniem ziemskim $f_z = g$ , równanie opisujące ciśnienie w cieczy zapisuje się w postaci: $p = p_0 +\rho g h \,$

gdzie:

Siła masowa (siła objętościowa) – w fizyce jest to siła działająca na całą masę (objętość) ciała, a nie na wybrany punkt bądź powierzchnię. Wartość siły masowej działającej na jednostkę objętości ciała jest proporcjonalna do jego gęstości. Przykładami sił masowych są siły grawitacji, elektryczne lub w układzie inercjalnym siły bezwładności. Występowanie sił masowych opisywane jest najczęściej przez pewne pole sił działające na ciało. Kiedy stoimy na powierzchni Ziemi pole grawitacyjne nie działa na jakiś wybrany punkt naszego ciała, lecz na każdą najmniejszą jego cząstkę. Sytuację taką można sobie wyobrazić umieszczając w każdym punkcie ciała "malutką siłkę" ciągnącą je w dół.
Powierzchnia to dwuwymiarowy odpowiednik pojęcia krzywej. Także potoczne określenie pola powierzchni (np. mówiąc o "powierzchni w km²" mamy na myśli właśnie pole powierzchni).

p — ciśnienie panujące w cieczy na głębokości h,

$p_0$ — ciśnienie panujące na powierzchni cieczy,

h — głębokość, na której określane jest ciśnienie.

W gazach, w tym i w powietrzu, gęstość można obliczyć z równania Clapeyrona. Jest ona zależna od ciśnienia: $\rho = \frac {pM} {RT} \,$

gdzie:

Prasa hydrauliczna – urządzenie techniczne zwielokrotniające siłę nacisku dzięki wykorzystaniu zjawiska stałości ciśnienia w zamkniętym układzie hydraulicznym (prawo Pascala).
Pole skalarne – w matematyce i fizyce przypisanie każdemu punktowi pewnego obszaru pewnej wielkości skalarnej (w matematyce – liczby, w fizyce zazwyczaj wielkości mianowanej). Jest jednym z rodzajów pola fizycznego.

M — masa molowa gazu,

R — stała gazowa,

T — temperatura gazu.

Z powyższego wynika zależność ciśnienia gazu od wysokości: $p = p_0 e^{\frac{- M g z}{RT}} \,$

Co prowadzi do równania na zależność gęstości gazu od wysokości $\rho = \rho_0 e^{- \frac{z}{h}} \,$

gdzie:

z — wysokość

$h = \frac {RT} {Mg}$ — zwana skalą wysokości.

Równania powyższe zwane są formułą barometryczną służą do wyznaczania ciśnienia w powietrzu na różnych wysokościach.

Wstęp

Rys.1. Ciśnienie działające na objętość różniczkową

Kluczowym pojęciem w hydrostatyce jest ciśnienie. Ciśnienie jest stosunkiem siły przypadającej na powierzchnię jednostkową:

Grecja (gr. Ελλάδα Elláda, IPA: [e̞ˈlaða] lub Ελλάς Ellás, IPA: [e̞ˈlas], tr. Yunanistan), Republika Grecka (Ελληνική Δημοκρατία Ellinikí Dimokratía, IPA: [e̞ˌliniˈci ðimo̞kraˈtiˌa]) – kraj w południowo-wschodniej części Europy, położony na krańcu Półwyspu Bałkańskiego. Graniczy z Albanią, Republiką Macedonii i Bułgarią na północy oraz z Turcją na wschodzie. Ma dostęp do czterech mórz: Morza Egejskiego, Morza Kreteńskiego na wschodzie, Morza Jońskiego na zachodzie oraz Morza Śródziemnego od południa.
Energia gr. ενεργεια (energeia) – skalarna wielkość fizyczna charakteryzująca pod względem ilościowym stan układu fizycznego (materii) (z punktu widzenia termodynamiki niektóre formy energii są funkcjami stanu i potencjałami termodynamicznymi), stan i wzajemne oddziaływania obiektów fizycznych (ciał, pól, cząstek, układów fizycznych), przemiany fizyczne i chemiczne oraz wszelkiego rodzaju procesy występujące w przyrodzie.

$p = \frac{F}{A}$

W celu otrzymania wyrażenia łączącego siłę z ciśnieniem dla objętości różniczkowej wychodzi się z równania różniczkowego opisującego zmianę ciśnienia w kierunku osi OZ: $dF_h = p \cdot dx \cdot dy - \left( p + \frac{\partial p}{\partial h} \cdot dh \right) \cdot dx \cdot dy = -\frac{\partial p}{\partial h} \cdot dx \cdot dy \cdot dh$

Po zsumowaniu równań dla wszystkich kierunków równanie przyjmuje postać:

$dF = \left(-\bar{i} \frac{\partial p}{\partial x} -\bar{j} \frac{\partial p}{\partial y} -\bar{k} \frac{\partial p}{\partial h} \right) \cdot dx \cdot dy \cdot dh$

Jeżeli wartość dF podzielimy przez objętość różniczkową otrzymamy:

$df = \left(-\bar{i} \frac{\partial p}{\partial x} -\bar{j} \frac{\partial p}{\partial y} -\bar{k} \frac{\partial p}{\partial h} \right)$

Temperatura – jedna z podstawowych ) w termodynamice, będąca miarą stopnia nagrzania ciał. Temperaturę można ściśle zdefiniować tylko dla stanów równowagi termodynamicznej, bowiem z termodynamicznego punktu widzenia jest ona wielkością reprezentującą wspólną własność dwóch układów pozostających w równowadze ze sobą. Temperatura jest związana ze średnią energią kinetyczną ruchu i drgań wszystkich cząsteczek tworzących dany układ i jest miarą tej energii.
Objętość jest miarą przestrzeni, którą zajmuje dane ciało w przestrzeni trójwymiarowej. W układzie SI jednostką objętości jest metr sześcienny, jednostka zbyt duża do wykorzystania w życiu codziennym. Z tego względu najpopularniejszą w Polsce jednostką objętości jest jeden litr (l) (1 l = 1 dm3 = 0,001 m³).

Co można zapisać:

$df = - \nabla p$

Ciśnienie cieczy (w układach rzeczywistych) zależy jedynie od głębokości (ilości cieczy ponad punktem pomiaru). Jeżeli przyjmiemy że g oraz $\rho$ są jednakowe dla każdego punktu w cieczy ( $\rho$ = idem i dg = idem) to zmiana ciśnienia w zależności od głębokości będzie miała charakter liniowy, co można wyrazić wzorem:

$p = \rho \cdot g \cdot h$

Prędkość kątowa w fizyce – wielkość opisująca ruch obrotowy (np. ruch po okręgu). Jest wektorem (pseudowektorem) leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej.
Siła wyporu – siła działająca na ciało zanurzone w płynie czyli w cieczy lub gazie w obecności ciążenia. Jest skierowana pionowo do góry - przeciwnie do ciężaru. Wartość siły wyporu jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało

gdzie:

$\rho$ — gęstość cieczy

g — przyspieszenie ziemskie

h — wysokość cieczy

Jeżeli w dwóch pojemnikach (patrz rys.1.) znajduje się ciecz o tej samej wysokości i gęstości, to na dno obu pojemników wywierane jest takie samo ciśnienie. Dzieje się tak dlatego, że ciecz nad pochyłymi ściankami zbiornika b wywiera ciśnienie na te ścianki, a nie na dno zbiornika.

Entropia – termodynamiczna funkcja stanu, określająca kierunek przebiegu procesów spontanicznych (samorzutnych) w odosobnionym układzie termodynamicznym. Entropia jest miarą stopnia nieuporządkowania układu. Jest wielkością ekstensywną. Zgodnie z drugą zasadą termodynamiki, jeżeli układ termodynamiczny przechodzi od jednego stanu równowagi do drugiego, bez udziału czynników zewnętrznych (a więc spontanicznie), to jego entropia zawsze rośnie. Pojęcie entropii wprowadził niemiecki uczony Rudolf Clausius.
Równanie Clapeyrona, równanie stanu gazu doskonałego to równanie stanu opisujące związek pomiędzy temperaturą, ciśnieniem i objętością gazu doskonałego, a w sposób przybliżony opisujący gazy rzeczywiste. Sformułowane zostało w 1834 roku przez Benoîta Clapeyrona. Prawo to można wyrazić wzorem

Rys.2. Ciśnienie na dnie obu zbiorników jest takie samo

Jeżeli w pojemniku znajdują się ciecze o różnej gęstości (nie mieszające się) to ciśnienie na danej głębokości jest sumą ciśnień wywieranych przez ciecze położone wyżej (o niższej gęstości) i wyraża się wzorem:

$p = \sum_{i=1}^n (\rho_i \cdot h_i) \cdot g$

Wzór barometryczny – wzór określający zależność między wysokością w polu grawitacyjnym h liczoną od poziomu odniesienia, a ciśnieniem atmosferycznym p
Ciśnienie to wielkość skalarna określona jako wartość siły działającej prostopadle do powierzchni podzielona przez powierzchnię na jaką ona działa, co przedstawia zależność:

gdzie:

$\rho_i$ — gęstość i-tej cieczy

$h_i$ — wysokość warstwy i-tej cieczy

g — przyspieszenie ziemskie

Jeżeli ciecze w zbiorniku mieszają się (nie tworzą warstw) to gęstość można zastąpić średnią gęstością cieczy:

$\bar \rho = \sum_{i=1}^n (\rho_i \cdot u_i)$

gdzie:

$\rho_i$ — gęstość i-tej cieczy

$u_i$ — ułamek objętościowy i-tej cieczy

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)