Ideał pierwszy - teoria pierścieni

Ten artykuł dotyczy pojęcia teorii pierścieni. Zapoznaj się również z: ideał pierwszy w teorii mnogości.

Ideał pierwszy – w teorii pierścieni taki ideał właściwy pierścienia przemiennego z jedynką, dla którego z należenia do niego iloczynu dwóch danych elementów pierścienia wynika przynależność do niego choć jednego czynników. Ideały pierwsze to w pewnym sensie te ideały dla których zachodzi teza lematu Euklidesa o podzielności liczb całkowitych, tzn. odgrywają one rolę liczb pierwszych w teorii pierścieni. Pojęcie ideału pierwszego znajduje zastosowania w geometrii algebraicznej i teorii liczb.

Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

Teoria pierścieni – dział algebry zajmujący się badaniem pierścieni. Znajduje on szerokie zastosowanie w innych obszarach matematyki, między innymi w teorii liczb i geometrii algebraicznej.

Z danym pierścieniem przemiennym z jedynką można w naturalny sposób stowarzyszyć pewną przestrzeń topologiczną, której punktami są ideały pierwsze, a zbiorami domkniętymi są zbiory wszystkich ideałów pierwszych zawierających ustalony podzbiór pierścienia. Przestrzeń ta nazywana jest spektrum pierwszym pierścienia $R$ i oznaczana symbolem $\mbox{Spec } R$ .

Zmienna – symbol, oznaczający wielkość, która może przyjmować rozmaite wartości. Wartości te na ogół należą do pewnego zbioru, który jest określony przez naturę rozważanego problemu. Zbiór ten nazywamy zakresem zmiennej.

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

Właściwości

Ideał $I$ pierścienia $R$ jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy $R/I$ nie zawiera dzielników zera, czyli jest dziedziną całkowitości.

Każdy ideał maksymalny pierścienia przemiennego z jedynką jest jego ideałem pierwszym.

Każdy niezerowy pierścień przemienny zawiera przynajmniej jeden ideał pierwszy.

Przeciwobraz ideału pierwszego w homomorfizmie pierścieni jest ideałem pierwszym.

Pierścień przemienny jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy ideał zerowy jest jedynym jego ideałem pierwszym (lub równoważnie: gdy ideał zerowy jest maksymalny).

W (nietrywialnym) pierścieniu przemiennym z jedynką każdy ideał maksymalny jest pierwszy. Jeśli pierścień jest skończony, to pojęcia ideału pierwszego i maksymalnego pokrywają się.

Każdy ideał pierwszy zawiera pewien minimalny ideał pierwszy. Dowód polega na zastosowaniu lematu Kuratowskiego-Zorna do rodziny wszystkich niezerowych ideałów zawartych w danym ideale pierwszym, uporządkowanej przez relację odwróconej inkluzji.

Przykłady

W pierścieniu wielomianów dwu zmiennych o współczynnikach zespolonych $\mathbb C[X, Y]$ ideał generowany przez wielomian $Y^2 - X^3 - X - 1\;$ jest pierwszy.

W pierścieniu $\mathbb Z[X]$ wielomianów o współczynnikach całkowitych $\langle 2, X \rangle$ jest ideałem pierwszym. Składa się on ze wszystkich wielomianów, których wyraz wolny jest parzysty.

W pierścieniu wielomianów nad ciałem ideałami pierwszymi są ideały główne generowane przez wielomiany nierozkładalne.

Zobacz też

ideał maksymalny

ideał prymarny

Bibliografia

Douglas Northcott: Ideal theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1953, s. 9, seria: Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics.

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Company, 1969.

Przypisy

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald: Introduction to commutative algebra (tłum. ros.). Mir, 1972, s. 22, 23.