Iloczyn kartezjański - Polski Serwis Naukowy

Iloczyn kartezjański zbiorów $A$ i $B$ - zbiór wszystkich takich par uporządkowanych $(a, b)$ , że $a$ należy do zbioru $A$ i $b$ należy do zbioru $B$ . Iloczyn kartezjański zbiorów $A$ i $B$ oznacza się symbolem $A\times B$ . Nazwa iloczyn kartezjański odwołuje się do pojęcia kartezjańskiego układu współrzędnych na płaszczyźnie ze względu na następującą analogię: punkty w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie opisane są przy pomocy uporządkowanych par liczb (pierwsza liczba nazywana jest odciętą, druga rzędną) - o elementach (punktach) iloczynu kartezjańskiego $A\times B$ można myśleć podobnie.

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie.

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

Definicja

Iloczynem kartezjańskim zbiorów $X$ i $Y$ nazywamy zbiór $X \times Y := \left\{ (x, y) \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X\cup Y))\colon x \in X \wedge y \in Y \right\}$ ,

gdzie $\mathcal{P}(X)$ oznacza zbiór potęgowy zbioru $X$ .

W naturalny sposób można zdefiniować iloczyn kartezjański więcej niż dwóch zbiorów: $A \times B \times C$ jako $A \times (B \times C)$ , $A \times B \times C \times D$ jako $A \times (B \times (C \times D))$ i tak dalej. Na przykład iloczyn kartezjański trzech zbiorów będzie w rezultacie zbiorem wszystkich trójek uporządkowanych $a, b, c$ takich, że $a$ należy do $A$ , $b$ należy do $B$ i $c$ należy do $C$ .

Produkt – w teorii kategorii pojęcie będące uogólnieniem konstrukcji produktu kartezjańskiego zbiorów, produktu grup, czy produktu przestrzeni topologicznych; jest to „najogólniejszy” obiekt mający morfizm w każdy z obiektów objętych tą konstrukcją (czynników).

Przykład

Niech dane będą zbiory $A=\{1,2,3\}$ oraz $B=\{a, b\}$ . Iloczyn kartezjański zbiorów $A$ i $B$ zgodnie z definicją jest równy: $A\times B = \{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)\}$ .

Produkt kartezjański

Dla rodziny zbiorów $\{A_i\colon\, i\in I\}$ można wprowadzić pojęcie uogólnionego iloczynu kartezjańskiego (często nazywanego produktem kartezjańskim (rodziny) zbiorów). Dokładniej, zbiór złożony ze wszystkich tych funkcji $f\colon I \to \bigcup_{i \in I} A_i$ ,

że $f(i)\in A_i$ dla każdego $i\in I$

nazywa się produktem kartezjańskim rodziny zbiorów $\{A_i\colon\, i\in I\}$ i oznacza takimi symbolami jak $\prod_{i \in I} A_i,\;\underset{i \in I}\times\; A_i$

czy $\underset{i \in I}{\operatorname P}\; A_i.$

Przypisy

Rozdział II (pdf). W: Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. T. 27. Warszawa-Wrocław: Monografie matematyczne, 1952, s. 51-53, 73. [dostęp 17.06.2011 r.].

Bibliografia

K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. T. 27. Warszawa-Wrocław: PWN, 1952, s. 51-53, 73. [dostęp 17.06.2011 r.].
K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 7. PWN, 1977.
H. Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 3. PWN, 1971.

Zobacz też

produkt (teoria kategorii)

suma prosta

topologia Tichonowa

twierdzenie o mnożeniu

zbiór potęgowy