Iloczyn skalarny - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy iloczynu skalarnego przestrzeni euklidesowych. Zapoznaj się również z: iloczyn skalarny określany w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych.

Iloczyn skalarny – w matematyce pewna forma dwuliniowa na danej przestrzeni liniowej, tj. dwuargumentowa funkcja o szczególnych własnościach przyporządkowująca dwóm wektorom danej przestrzeni liniowej wartość skalarną. Czasami spotyka się również nazwę iloczyn wewnętrzny, który zwykle odnosi się jednak do ogólnych iloczynów skalarnych wprowadzanych w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych nazywanych wtedy przestrzeniami unitarnymi; przestrzenie afiniczne z wyróżnionym iloczynem skalarnym nazywa się przestrzeniami euklidesowymi.

Moc zbioru – własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. Pojęcie mocy zbioru opiera się o pojęcie równoliczności dwóch zbiorów - zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B, innymi słowy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i "na") między zbiorami A i B. Zbiory równoliczne mają tę samą moc. Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi.
Przekształcenie lub odwzorowanie liniowe – w algebrze liniowej odwzorowanie między przestrzeniami liniowymi zachowujące ich strukturę (tzw. homomorfizm), a więc działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar. Dokładniej, jest to każda funkcja addytywna i jednorodna.

Zasadniczym celem wprowadzania iloczynu skalarnego w danej przestrzeni liniowej jest wprowadzenie na niej geometrii euklidesowej, w szczególności kąta między dwoma wektorami, co umożliwia mówienie o ich prostopadłości (nazywanej w tym kontekście ich ortogonalnością, która jest nieznacznym uogólnieniem) oraz obrotu. Iloczyn skalarny stanowi więc pomost miedzy geometrią syntetyczną a geometrią analityczną. Ponieważ trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa jest dobrym przybliżeniem świata rzeczywistego w skali makroskopowej, to iloczyn skalarny w niej określony znajduje zastosowanie fizyce klasycznej, np. mechanice klasycznej (branie rzutów wektora siły wypadkowej jest tego przykładem); z kolei w mechanice kwantowej rozpatruje się (nieskończeniewymiarowe) przestrzenie Hilberta, czyli przestrzenie liniowe (nieskończonego wymiaru) z iloczynem skalarnym i dodatkową strukturą topologiczną (zob. Uogólnienia). Przykładowo praca mechaniczna $\scriptstyle W$ to wielkość fizyczna wyrażająca się jako iloczyn skalarny siły $\scriptstyle \mathbf F$ oraz przemieszczenia $\scriptstyle \mathbf r.$

Mechanika klasyczna – dział mechaniki w fizyce opisujący ruch ciał (kinematyka), wpływ oddziaływań na ruch ciał (dynamika) oraz badaniem równowagi ciał materialnych (statyka). Mechanika klasyczna oparta jest na prawach ruchu (zasadach dynamiki) sformułowanych przez Isaaca Newtona, dlatego też jest ona nazywana "mechaniką Newtona" (Principia). Mechanika klasyczna wyjaśnia poprawnie zachowanie się większości ciał w naszym otoczeniu.
Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii, będącej działem matematyki, zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).

W artykule opisano iloczyn skalarny określony na rzeczywistych przestrzeniach współrzędnych $\scriptstyle \mathbb R^n$ oraz $\scriptstyle \mathrm{Mat}_{n \times 1}(\mathbb R)$ wymiaru $\scriptstyle n,$ wraz z ortonormalną bazą standardową, nazywany też zwykłym, standardowym (w przestrzeniach afinicznych nazywa się go także euklidesowym); niżej określenia te będą pomijane (użyto notacji ustalonej w artykule o przestrzeniach współrzędnych). Uogólnienia opisano w oddzielnej sekcji.

Definicja i własności

Zapoznaj się również z: forma dwuliniowa.

Standardowy iloczyn skalarny definiuje się wzorem

Prostopadłość – cecha geometryczna dwóch prostych lub płaszczyzn (albo prostej i płaszczyzny), które tworzą przystające kąty przyległe. Zgodnie z rys. 1 prosta AB jest prostopadła do CD w punkcie B.
Geometria syntetyczna - czyli geometria czysta - dział geometrii, w którym nie używa się metod algebraicznych i obliczeniowych do dowodzenia twierdzeń i rozwiązywania problemów. Wybitnymi znawcami geometrii syntetycznej byli między innymi Euklides, Apoloniusz z Pergi, Michel Chasles i Jakob Steiner.

$\mathbf a \cdot \mathbf b = a_1 b_1 + \dots + a_n b_n,$

w przypadku macierzowym (wykorzystując własności mnożenia macierzy) można go zapisać w postaci $\mathbf A \cdot \mathbf B = \mathbf A^\mathrm T \mathbf B,$

gdzie $\scriptstyle \mathbf M^\mathrm T$ oznacza transpozycję macierzy $\scriptstyle \mathbf M.$ Wzór ten jest użyteczny także w ogólnym przypadku, lecz w przypadku przestrzeni liniowych wzór ten opisuje formę dwuliniową, tj. funkcję $\scriptstyle \mathbb R^n \times \mathbb R^n \to \mathbb R,$ mającą szereg własności, które służą często jako abstrakcyjna, tzn. niezależna od współrzędnych, definicja iloczynu skalarnego (zob. przestrzeń unitarna). Wśród najważniejszych można wymienić:

Fizyka klasyczna – określenie wszystkich gałęzi fizyki, które w swych badaniach z rozmaitych względów nie uwzględniają efektów kwantowych. Obejmuje między innymi:
Forma półtoraliniowa albo funkcjonał półtoraliniowy – w algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej przekształcenie półtoraliniowe danej zespolonej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli dwuargumentowy funkcjonał, który jest liniowy ze względu na jeden parametr (zob. funkcjonał liniowy) i antyliniowy ze względu na drugi.

przemienność (symetryczność), $\mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf b \cdot \mathbf a,$

rozdzielność względem dodawania wektorów (dwuaddytywność), $\mathbf a \cdot (\mathbf b + \mathbf c) = \mathbf a \cdot \mathbf b + \mathbf a \cdot \mathbf c,$ $(\mathbf a + \mathbf b) \cdot \mathbf c = \mathbf a \cdot \mathbf c + \mathbf b \cdot \mathbf c,$

zgodność z mnożeniem przez skalar (dwujednorodność), $(r\mathbf a) \cdot \mathbf b = \mathbf a \cdot (r\mathbf b) = r(\mathbf a \cdot \mathbf b),$

niezdegenerowanie, $\mathbf a \cdot \mathbf a = 0 \mbox{ oznacza, że } \mathbf a = \mathbf 0,$

dodatnia określoność, $\mathbf a \cdot \mathbf a > 0 \mbox{ dla } \mathbf a \ne \mathbf 0.$

Jeśli $\scriptstyle \mathbf a \cdot \mathbf b = 0,$ to wektory wektory $\scriptstyle \mathbf a$ oraz $\scriptstyle \mathbf b$ nazywa się ortogonalnymi. Wprost z definicji wynika, że jeśli choć jeden czynnik jest wektorem zerowym, to iloczyn skalarny również jest zerowy; może się jednak zdarzyć, iż $\scriptstyle \mathbf a \cdot \mathbf b = 0,$ choć $\scriptstyle \mathbf a \ne \mathbf 0$ oraz $\scriptstyle \mathbf b \ne \mathbf 0$ (zob. Przykłady); mówi się wtedy czasem o prostopadłości tych wektorów. Wektory zerowe są więc jedynym elementem odróżniającym ortogonalność od prostopadłości (geometrycznie wektor zerowy odpowiada punktowi, można więc uważać, że dowolny punkt jest prostopadły do wektora, odcinka, czy prostej); w oznaczeniach nie odróżnia się zwykle jednego pojęcia od drugiego oznaczając oba symbolem $\scriptstyle \mathbf a \perp \mathbf b.$

Odwzorowanie równokątne, wiernokątne lub konforemne – w matematyce funkcja zachowująca kąty. Zwykle jest to funkcja między obszarami płaszczyzny zespolonej.
Funkcjonał liniowy (forma liniowa, kowektor) – funkcjonał określony na przestrzeni liniowej, czyli przekształcenie liniowe z przestrzeni liniowej nad pewnym ciałem o wartościach w tym ciele.

Wynika stąd, że iloczyn skalarny, w przeciwieństwie do mnożenia liczb, nie spełnia prawa skracania (tj. z równości $\scriptstyle xy = xz$ nie wynika $\scriptstyle y = z,$ o ile tylko $\scriptstyle x \ne 0$ ). Otóż jeśli $\scriptstyle \mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf a \cdot \mathbf c,$ to z prawa rozdzielności zachodzi $\scriptstyle \mathbf a \cdot (\mathbf b - \mathbf c) = 0,$ co jest możliwe wtedy, gdy są ortogonalne (tj. jeden z tych wektorów jest zerowy: $\scriptstyle \mathbf a = \mathbf 0$ lub $\scriptstyle \mathbf b = \mathbf c$ , bądź są one prostopadłe, tzn. $\scriptstyle \mathbf a \perp (\mathbf b - \mathbf c)$ ).

Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.
Macierz przekształcenia liniowego – macierz będąca wygodnym zapisem przekształcenia liniowego dwóch skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem. Zachodzący izomorfizm sprawia, że mnożeniu macierzy oraz domnażaniu wektorów odpowiada składanie przekształceń i obliczanie wartości przekształcenia na wspomnianym wektorze.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)