Implikacja materialna - Polski Serwis Naukowy

Implikacja materialna — zdanie logiczne powstałe przez połączenie dwóch zdań $P$ (poprzednik implikacji) i $Q$ (następnik implikacji) spójnikiem implikacji $P \Rightarrow Q, P \rightarrow Q$ lub $P \subset Q$ .

Implikacja materialna jest często mylona z wynikaniem (implikacją logiczną).

Podczas wartościowania implikacja materialna przyjmuje wartości w zależności od wartości logicznych łączonych zdań. Tablica prawdy (matryca logiczna) implikacji, gdzie 1 to prawda, 0 to fałsz:

Implikacja spełnia poniższą równoważność:

Prawda to jedna z dwóch podstawowych wartości logicznych. Drugą jest fałsz. W logice matematycznej prawda jest jedynie symbolem i nie ma żadnego głębszego znaczenia, czym różni się od swojego potocznie używanego odpowiednika. Wyrażenie zawsze prawdziwe, z powodu swojej konstrukcji logicznej, to tautologia.

Implikacja logiczna (wynikanie) - relacja (lub w innym ujęciu symbol relacyjny) pomiędzy teoriami (zbiorami zdań logicznych) T i B spełniona, gdy każdy model teorii T jest także modelem teorii B. Często mylona z implikacją materialną, będącą szczególnym przypadkiem zdania.

$(P \Rightarrow Q) \iff (\neg Q \Rightarrow \neg P)$

która nazywana jest zasadą kontrapozycji. Zasada ta jest podstawą dowodu nie wprost. Definicja klasyczna Znak "<" przyjęto nazywać znakiem implikacji, od łac. implico – wplatam, dla zaznaczenia, ze następnik jest niejako wpleciony, wwikłany w poprzednik, skoro w prawdziwej implikacji poprzednik nie może być prawdziwy bez prawdziwości następnika. Samo zaś zdanie postaci "p < q", czyli zdanie warunkowe, nazywa się częstokroć wprost implikacją. (T. Kotarbiński, Elementy teorii poznania, logiki formalnej i metodologii nauk, Warszawa, PWN, 1986 (1929), str. 140)

Przykłady

Intuicja: implikację można traktować jako obietnicę: "obiecuję, że jeśli dostanę dwójkę z matematyki to zacznę odrabiać zadania". Jeśli rzeczywiście tak się stanie (poprzednik implikacji będzie prawdziwy), to muszę odrabiać zadania (1⇒1), bo inaczej obietnica zostanie złamana (1⇒0 fałsz!). W każdym innym przypadku implikacja będzie prawdziwa, bo obietnica zostanie spełniona (dostałam piątkę, mogę albo odrabiać zadania albo sobie odpuścić).

Tadeusz Marian Kotarbiński (ur. 31 marca 1886 w Warszawie, zm. 3 października 1981 w Aninie) – jeden z czołowych polskich filozofów, logików i etyków, przedstawiciel szkoły lwowsko-warszawskiej. Syn Miłosza Kotarbińskiego – malarza i Ewy Koskowskiej – pianistki.

Fałsz – jedna z dwóch podstawowych wartości logicznych. Drugą jest prawda. Fałsz jest niezgodnością treści sądu (zdania) z tym do czego się odnosi.

Zdanie "Z tego, że Rzym jest stolicą Włoch wynika, że Warszawa jest stolicą Francji" jest fałszywe, zarówno w interpretacji intuicjonistycznej (bo jedno z drugiego w żaden sposób nie wynika) jak i klasycznej (bo poprzednik jest prawdziwy, zaś następnik fałszywy).

Zdanie "Z tego, że księżyc jest z sera wynika, że Warszawa jest stolicą Francji" jest w interpretacji intuicjonistycznej fałszywe (bo jedno z drugim nie ma żadnego związku), natomiast w interpretacji klasycznej prawdziwe, bo poprzednik jest fałszywy, więc wynika z niego wszystko.

Zdanie "Jeśli n jest podzielne przez 4, to jest podzielne przez 2" jest prawdziwe w obu interpretacjach dla dowolnego n.

Zobacz też

Zobacz podręcznik na Wikibooks: Matematyka dla liceum - Logika

rachunek zdań

prawa rachunku zdań

alternatywa

alternatywa wykluczająca