Izomorfizm - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy algebry. Zapoznaj się również z: Izomorfizm (ujednoznacznienie).

Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) struktur − funkcja wzajemnie jednoznaczna z uniwersum struktury $\mathcal A$ w uniwersum struktury $\mathcal B$ , która zachowuje funkcje, relacje i wyróżnione elementy.

Grupa – jedna z prostszych struktur algebraicznych: niepusty zbiór, na którym określono pewne łączne i odwracalne działanie dwuargumentowe. Skrótowo możemy powiedzieć, że grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

Kategoria – pojęcie wyodrębniające szereg algebraicznych własności rodzin morfizmów między obiektami matematycznymi tego samego typu (zbiorów, przestrzeni topologicznych, przestrzeni liniowych, grup itp.) pod warunkiem, że te rodziny zawierają odwzorowanie tożsamościowe i są zamknięte względem kolejnego wykonywania superpozycji (lub iloczynu) odwzorowań. Pojęcie kategorii zostało wprowadzone w pracy Eilenberga i Mac Lane.

W konkretnych obiektach algebry uniwersalnej (takich jak grupy, pierścienie, moduły itp.) izomorfizmem nazywamy wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie $\displaystyle f$ takie, że $\displaystyle f$ i jego odwrotność $\displaystyle f^{-1}$ są homomorfizmami.

O strukturach $\mathcal A$ i $\mathcal B$ powiemy, że są izomorficzne, jeżeli istnieje izomorfizm z $\mathcal A$ w $\mathcal B$ . Oznacza to, że obiekty izomorficzne różnią się w gruncie rzeczy oznaczeniami, a ich struktury mogą być uważane za identyczne. W ten sposób w klasie wszystkich obiektów danego rodzaju wprowadzana jest relacja równoważności.

Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.

Homomorfizm – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorowa) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr.

Przykłady

Osobne artykuły: homomorfizmy grup i homomorfizmy pierścieni.

Izomorfizm z grupy $(A,\circ)$ w grupę $(B,\bullet)$ to funkcja wzajemnie jednoznaczna $f: A \to B$ zachowująca działanie grupowe, czyli taka, że $\forall_{a, b \in A}\; f(a \circ b)=f(a) \bullet f(b)$ .

Izomorfizm z ciała $(K,\circ, +)$ w ciało $(L,\bullet, \Diamond)$ to bijekcja $g: K \to L$ taka, że $\forall_{a, b \in K}\; g(a \circ b)=g(a) \bullet g(b) \and g(a + b)=g(a) \;\Diamond\; g(b)$ .

Izomorfizm z częściowego porządku $\displaystyle (P, <)$ w częściowy porządek $(Q, \triangleleft)$ to funkcja wzajemnie jednoznaczna $h: P \to Q: \forall_{a, b \in P}\; a < b \iff h(a) \triangleleft h(b)$ .

Teoria kategorii

Morfizm $f\colon X \to Y$ nazywa się izomorfizmem, jeżeli istnieje morfizm $g\colon Y \to X$ taki, że $f \circ g = \operatorname{id}_Y$ oraz $g \circ f = \operatorname{id}_X$ .

Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.

Struktura matematyczna - zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system. Często można się spotkać z innymi nazwami struktury matematycznej, na przykład: model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu.

Jeżeli morfizm posiada lewą i prawą odwrotność i są one równe, to $\displaystyle f$ jest izomorfizmem, zaś $\displaystyle g$ nazywane jest po prostu odwrotnością $\displaystyle f$ . Morfizm odwrotny do danego, jeżeli istnieje, jest dokładnie jeden. Odwrotność $\displaystyle g$ jest także izomorficzna z odwrotnością $\displaystyle f$ . O dwóch obiektach, między którymi istnieje izomorfizm, mówi się, iż są izomorficzne lub równoważne.

Moduł – struktura algebraiczna będąca uogólnieniem przestrzeni liniowej. Ponieważ grupy abelowe można postrzegać jako moduły nad pierścieniem liczb całkowitych, to teoria modułów znajduje zastosowanie w wielu działach algebry i innych dziedzinach matematyki.

Algebra uniwersalna – dział matematyki zajmujący się badaniem ogólnych struktur algebraicznych. Algebra uniwersalna wraz z teorią kategorii stanowią matematyczne podstawy teorii specyfikacji algebraicznych.

Własności

Każdy izomorfizm jest monomorfizmem i epimorfizmem.
Morfizmy identycznościowe są izomorfizmami.

Przykłady

W Set izomorfizmami są bijekcje.

W Grp izomorfizmami są izomorfizmy grup.

W VecK izomorfizmami są bijektywne przekształcenia liniowe.

W Top izomorfizmami są homeomorfizmy.

W Met izomorfizmami są izometrie.

W Pos izomorfizmami są izomorfizmy porządków.

Przypisy

Bucur, Deleanu, op. cit., s.13
Bucur, Deleanu, op. cit., s.13-14

Zobacz też

Bibliografia

Fritz Reinhardt: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, s. 41.
Andrzej Mostowski: Elementy algebry wyższej. Wyd. 7. Warszawa: PWN, 1974, s. 49, seria: BM 16.
Steven George Krantz: Dictionary of algebra, arithmetic, and trigonometry. CRC Press, 2000, s. 162. ISBN 1-58488-052-X, ISBN 978-1-58488-052-3. [dostęp 5 maja 2009]. (ang.)
Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.
Gabriel P., Zisman M.: Calculus of Fractions and Homotopy Theory (tłum. ros.). Москва: Мир, 1971.
Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.