Język - logika - Polski Serwis Naukowy

Język w logice matematycznej to pewien zbiór symboli, przy użyciu których można tworzyć bardziej złożone wyrażenia (na przykład formuły, zdania) według ściśle określonych reguł syntaktycznych. Przyjmuje się, że w danym języku L mogą występować (w dowolnej ilości) symbole funkcyjne, relacyjne oraz symbole stałych. Zdania napisane przy użyciu języków tego typu wystarczają do opisu większości własności dowolnych struktur matematycznych oraz do wyrażenia twierdzeń mówiących o tych strukturach.

Logika matematyczna – dział matematyki, który wyodrębnił się jako samodzielna dziedzina na przełomie XIX i XX wieku, wraz z dążeniem do dogłębnego zbadania podstaw matematyki. Koncentruje się ona na analizowaniu zasad rozumowania oraz pojęć z nim związanych z wykorzystaniem sformalizowanych oraz uściślonych metod i narzędzi matematyki.

Język formalny – jest to podzbiór zbioru wszystkich słów nad skończonym alfabetem. Język formalny jest kluczowym pojęciem w informatyce, logice matematycznej i językoznawstwie. Język formalny nie jest uściśleniem pojęcia języka naturalnego i nie powinien być z nim mylony.

Język a syntaktyka

Wyrażenia języka L to termy oraz formuły tego języka. Są to ciągi symboli, które powstają według ściśle określonych reguł z symboli języka L, symboli logicznych (takich jak spójnik koniunkcji czy alternatywy), zmiennych oraz kwantyfikatorów.

Zbiór termów języka L to najmniejszy zbiór T o własnościach:

Logika (gr. λόγος, logos - rozum) nauka normatywna, analizująca źródła poznania pod względem prawomocności czynności poznawczych z nimi związanych. Zajmuje się badaniem ogólnych praw, według których przebiegają wszelkie poprawne rozumowania, w szczególności wnioskowania. Logika, jako dyscyplina normatywna, nie tylko opisuje jak faktycznie przebiegają rozumowania, ale także formułuje twierdzenia normatywne, mówiące o tym, jak rozumowania powinny przebiegać.

Teoria modeli (nazywana też czasem semantyką logiczną) to dział logiki matematycznej zajmujący się badaniem własności modeli teorii aksjomatycznych i zależności między nimi. Dziedzina ta jest w znacznym stopniu powiązana z algebrą i teorią mnogości, ale ma też mocno rozbudowany własny aparat pojęciowy i w swojej współczesnej postaci jest w pełni samodzielną dziedziną wiedzy.

stałe z języka L należą do T

zmienne (na przykład x0, y5, z, v) należą do T

jeśli t1, ... ,tn należą do T, zaś f jest symbolem funkcji n-argumentowej z języka L, to f(t1, ... ,tn) również należy do T.

Zbiór formuł języka L to najmniejszy zbiór F o własnościach:

jeśli t1, t2 są termami języka L, to wyrażenie t1 = t2 należy do F

jeśli t1, ... ,tn są termami języka L, zaś P symbolem relacji n-arnej z języka L, to wyrażenie P(t1, ... ,tn) należy do F

jeśli f1, f2 należą do F, to wyrażenia "f1 i f2", "f1 lub f2" i "nieprawda, że f1" również należą do F

jeśli x jest zmienną, zaś f należy do F, to wyrażenia "dla każdego x f" oraz "istnieje takie x, że f" należą do F.

Zdanie to formuła języka L, w której nie występują zmienne wolne. Ze zdań możemy budować teorie, a następnie badać różne własności tych teorii (na przykład takie jak zupełność, rozstrzygalność czy kategoryczność).

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

Rachunek predykatów pierwszego rzędu – (ang. first order predicate calculus) to system logiczny, w którym zmienna, na której oparty jest kwantyfikator, może być elementem pewnej wybranej dziedziny (zbioru), nie może natomiast być zbiorem takich elementów. Tak więc nie mogą występować kwantyfikatory typu "dla każdej funkcji z X na Y ..." (gdyż funkcja jest podzbiorem X × Y), "istnieje własność p, taka że ..." czy "dla każdego podzbioru X zbioru Z ...". Rachunek ten nazywa się też krótko rachunkiem kwantyfikatorów, ale często używa się też nazwy logika pierwszego rzędu (szczególnie wśród matematyków zajmujących się logiką matematyczną).

Język a semantyka

Mówimy, że M jest strukturą (modelem) dla języka L, jeśli M jest zbiorem, w którym zinterpretowane zostały wszystkie symbole z języka L. Oznacza to, że:

jeśli f jest symbolem funkcji n-argumentowej z języka L, to istnieje funkcja f(M) z n-tej potęgi kartezjańskiej zbioru M w zbiór M, która jest interpretacją f w modelu M

jeśli P jest symbolem relacji n-argumentowej z języka L, to istnieje relacja n-arna P(M) na zbiorze M (czyli po prostu pewien podzbiór n-tej potęgi kartezjańskiej zbioru M), która jest interpretacją P w modelu M

jeśli c jest stałą z języka L, to w M istnieje element c(M), który jest interpretacją c w modelu M.

Jeśli M jest modelem dla języka L, to możemy określić, które zdania napisane w języku L są prawdziwe w modelu M lub - inaczej mówiąc - spełniane przez model M. Definicję spełniania zdania przez model jako pierwszy podał wybitny polski logik i matematyk Alfred Tarski, powszechnie uważany za twórcę semantyki logicznej (utożsamianej zwykle z teorią modeli).

W logice matematycznej teorią nazywamy niesprzeczny zbiór zdań. Dokładniej, niech T będzie zbiorem zdań zapisanych w pewnym języku L. Wtedy T jest teorią, jeśli nie istnieje zdanie napisane w języku L takie że T dowodzi zarówno tego zdania, jak i jego zaprzeczenia. Zbiór zdań T dowodzi zdania X, jeśli można przeprowadzić formalny dowód zdania X przy użyciu zdań ze zbioru T oraz aksjomatów i reguł dowodzenia klasycznego rachunku logicznego.

Relacja – w teorii mnogości dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego skończonej liczby zbiorów; definicja ta oddaje intuicję pewnego związku, czy zależności między elementami wspomnianych zbiorów (elementy wspomnianych zbiorów pozostają w związku albo łączy je pewna zależność, czy też własność lub nie). Najważniejszymi relacjami są relacje dwuargumentowe, tj. między elementami pary zbiorów (opisane w osobnym artykule, w tym funkcje i działania jednoargumentowe); relacje jednoargumentowe to po prostu podzbiory pewnego zbioru.

Zbiór tych wszystkich zdań napisanych w języku L, które są prawdziwe w modelu M dla języka L, tworzy teorię modelu M w języku L. Teoria ta jest teorią zupełną. Badanie zależności między modelami i ich teoriami to główny przedmiot badań obszernego działu logiki matematycznej jakim jest teoria modeli.

Zobacz też

rachunek predykatów pierwszego rzędu

język formalny