Jednostka urojona - Polski Serwis Naukowy

Jednostka albo jedność urojona (łac. imaginarius, „urojony, zmyślony”) – w matematyce ustalona liczba zespolona $\scriptstyle i,$ której druga potęga jest równa $\scriptstyle -1.$ Symbol $\mathrm i$ zaproponował w 1777 roku Leonhard Euler, a rozpropagował począwszy od 1801 roku Carl Friedrich Gauss. W fizyce i zastosowaniach inżynierskich jednostkę urojoną oznacza się literą $\mathrm j$

Forma kwadratowa albo funkcjonał kwadratowy – w algebrze liniowej szczególna forma (funkcjonał) określona na danej przestrzeni liniowej (tzn. funkcja w ciało jej skalarów), mianowicie jednorodna stopnia 2 funkcja wielomianowa drugiego stopnia.
Inżynieria elektryczna jest działem inżynierii i zajmuje się badaniem i stosowaniem elektryczności i elektromagnetyzmu w różnych dziedzinach życia. Praktyków tej dziedziny nazywamy inżynierami elektrykami.

Interpretacje

Algebra abstrakcyjna

Z punktu widzenia algebry tworzące ciało liczby rzeczywiste $\scriptstyle \mathbb R,$ mimo swoich niewątpliwych zalet, są w pewien sposób niedoskonałe. Mianowicie nie są algebraicznie domknięte, tzn. istnieją wielomiany zmiennej rzeczywistej o współczynnikach rzeczywistych, które nie mają rzeczywistych rozwiązań (każdy taki wielomian można rozłożyć na czynniki liniowe i kwadratowe). Okazuje się, że dodając do $\scriptstyle \mathbb R$ pierwiastek kwadratowy z jedynki (zob. pierwiastkowanie), tj. jeden element oznaczający rozwiązanie równania

Rozdzielność działań jest własnością pierścienia (a więc i ciała) określającą powiązanie dwóch operatorów: addytywnego (nazywanego zwykle dodawaniem) i multiplikatywnego (zwykle mnożenie).
Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

$x^2 + 1 = 0,$

otrzymuje się strukturę liczb zespolonych, która ma wszystkie dobre własności liczb rzeczywistych, w tym bycie ciałem, a ponadto jest algebraicznie domknięta.

Liczby zespolone można wprowadzić dodając formalnie do $\scriptstyle \mathbb R$ element $i$ spełniający warunek $\scriptstyle i^2 = -1.$ Rozpatruje się wtedy formalne liczby postaci $\scriptstyle a + bi,$ gdzie $\scriptstyle a, b \in \mathbb R$ . Z własności działań arytmetycznych na liczbach rzeczywistych (przemienności i łączności dodawania oraz mnożenia, a także z rozdzielności mnożenia względem dodawania) wynikają wzory oraz wspomnianej własności elementu $\scriptstyle i$ wynikają wzory na

Wartość chwilowa przebiegu czasowego jest wartością przebiegu czasowego w dowolnym punkcie (chwili) czasu. Każdy rzeczywisty przebieg czasowy składa się z nieskończonej ilości następujących po sobie wartości chwilowych, których chronologiczne ułożenie powoduje powstanie całego przebiegu czasowego.
Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

dodawanie, $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,$

mnożenie $(a + bi)(c + id) = (ac - bd) + (ad + bc)i.$

Dowodzi się, że tak określony zbiór formalnych liczb postaci $a + bi$ z wyżej wspomnianymi działaniami dodawania i mnożenia tworzy ciało, które nazywane jest ciałem liczb zespolonych.

Układ współrzędnych

Jednostka urojona i w układzie współrzędnych

Przełomem w nauce o liczbach zespolonych był tak zwany diagram Arganda – interpretacja geometryczna liczb zespolonych wprowadzona po raz pierwszy nie tyle przez Szwajcara Jeana Roberta Arganda, ile przez norweskiego geodetę-kartografa Duńskiej Akademii Nauk Caspara Wessela w jego jedynej pracy matematycznej Próba analitycznego przedstawienia kierunku i jego zastosowań, przede wszystkim w rozwiązywaniu wielokątów płaskich i sferycznych. Zamiarem Wessela było stworzenie aparatu służącego do rozwiązywania zadań geodezyjnych.

Podprzestrzeń liniowa a. wektorowa – niepusty podzbiór przestrzeni liniowej, który sam jest przestrzenią liniową z działaniami dziedziczonymi z wyjściowej przestrzeni.
Aksjomaty i konstrukcje liczb – metody ścisłego definiowania liczb używane w matematyce. Aksjomaty liczb to warunki, jakie muszą spełniać pewne obiekty oraz działania na nich, aby mogły być uznane za liczby danego rodzaju (np. liczby naturalne, liczby wymierne itp.). Konstrukcje liczb są algebrami, tak utworzonymi, aby spełniały właściwe danym liczbom aksjomaty.

Bliska idei Wessela jest konstrukcja podana przez rosyjskiego matematyka Lwa Pontriagina, której ideę można streścić następująco:

na płaszczyźnie wprowadza się układ współrzędnych kartezjańskich (zwykle przedstawia się ją jako prostopadłe osie liczbowe przecinające się w tzw. początku układu, przy czym oś odciętych skierowana jest od lewej do prawej, a oś rzędnych – od dołu do góry);

tak jak liczbę rzeczywistą $r$ można utożsamiać z punktem $\scriptstyle \mathrm r$ o współrzędnej $\scriptstyle r$ na osi liczbowej, tak i liczbę zespoloną $\scriptstyle z = a + bi$ można utożsamiać z punktem $\scriptstyle \mathrm z$ o współrzędnych $\scriptstyle (a, b)$ płaszczyzny;

jednostkę urojoną $\scriptstyle i$ można wtedy utożsamiać z punktem $\scriptstyle \mathrm i$ o współrzędnych $\scriptstyle (0,\ 1).$

Przestrzenie unitarne i euklidesowe

Zapoznaj się również z: przestrzeń unitarna i przestrzeń euklidesowa.

Każdy punkt płaszczyzny można utożsamić jednoznacznie z jego wektorem wodzącym zaczepionym w początku układu współrzędnych; z kolei każdy wektor wodzący można utożsamić z wektorem swobodnym przez niego wyznaczonym. Formalnie mówienie o wektorach wodzących możliwe jest w przestrzeniach liniowych, z kolei układ współrzędnych kartezjańskich wymaga iloczynu skalarnego, czyli tzw. przestrzeni unitarnej (przestrzeni liniowej euklidesowej). O wektorach swobodnych mówić można w obecności struktury afinicznej, która dodana do przestrzeni unitarnej czyni z niej tzw. przestrzeń euklidesową (przestrzeni afinicznej euklidesowej).

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie.
Wektor – obiekt geometryczny w lub – zdaniem niektórych niepoprawnie – wartością), kierunek i zwrot określający orientację wzdłuż danego kierunku. Często przedstawia się go graficznie jako odcinek o określonym kierunku, lub jako strzałkę, łączącą początek bądź punkt zaczepienia oraz koniec wektora. Dla danych punktów początkowego A i końcowego B wektor oznacza się symbolem

W dwuwymiarowej przestrzeni unitarnej bądź euklidesowej $\scriptstyle E^2$ ze standardowym iloczynem skalarnym jednostka urojona $\scriptstyle \mathbf i = [0, 1]$ jest prostopadła do jednostki rzeczywistej $\scriptstyle \mathbf 1 = [1, 0],$ przy czym oba te wektory tworzą bazę ortonormalną wspomnianej przestrzeni.

Algebra Clifforda

Zapoznaj się również z: algebra Clifforda.

Dla jednowymiarowej przestrzeni liniowej $\scriptstyle \mathbb R \mathbf e$ nad ciałem liczb rzeczywistych rozpiętej na wektorze $\scriptstyle \mathbf e$ algebra Clifforda formy kwadratowej $\scriptstyle f\colon \mathbb R \mathbf e \times \mathbb R \mathbf e \to \mathbb R$ spełniającej $\scriptstyle f(\mathbf e,\, \mathbf e) = -1$ ma strukturę ciała liczb zespolonych (jest z nim izomorficzna), a $\scriptstyle \mathbf e$ jest w niej jednostką urojoną.

Algebra – jeden z najstarszych działów matematyki powstały już w starożytności. Zajmuje się on strukturami algebraicznymi i relacjami. Algebra elementarna zajmuje się takimi działaniami jak dodawanie i mnożenie; wprowadza pojęcie zmiennej i wielomianu razem z jego faktoryzacją i znajdowaniem ich pierwiastków, jednakże algebra jest działem bardziej ogólnym (patrz podział algebry).
Mnożenie – działanie dwuargumentowe będące jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Mnożone elementy to czynniki (określane również jako mnożna i mnożnik), a jego wynik to iloczyn. Może być ono traktowane jako zapis wielokrotnego dodawania elementu do siebie.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)