Koło - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy figury geometrycznej. Zapoznaj się również z: Koło - miasto oraz inne znaczenia tego słowa.

Brzeg koła (okrąg) z pokazaną średnicą, cięciwą i promieniem

Koło – zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od ustalonego punktu na tej płaszczyźnie (środka koła) nie przekracza pewnej wartości (promienia koła).

Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.

Cięciwa jest to element łuku, kuszy lub balisty służący do nadawania prędkości wystrzeliwanym pociskom. Cięciwa jest napinana ramionami łuku. Dawniej cięciwy wykonywano z włókien roślinnych, takich jak len, konopie czy jedwab oraz ze ścięgien, włosia końskiego lub jelit zwierzęcych, które do tego celu były suszone i wyprawiane.

Równoważna definicja: część płaszczyzny ograniczona przez pewien okrąg; okrąg ten zawiera się w kole i jest zarazem jego brzegiem.

Koło w kartezjańskim układzie współrzędnych jest opisane wzorem: $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2\leqslant r^2,$

gdzie $r>0\;$ - promień koła, $(x_0,\ y_0)$ - współrzędne środka koła.

Pojęcia związane z kołem

Koło otwarte to koło bez brzegu czyli ograniczającego je okręgu. Pojęcie to często pojawia się w analizie matematycznej w teorii funkcji zmiennej zespolonej. "Zwykłe" koło dla odróżnienia nazywa się wtedy kołem domkniętym.

Półokrąg oparty na odcinku AB jest to figura geometryczna składająca się z tego odcinka i łuku, który jest połową okręgu o średnicy AB o końcach wspólnych z końcami odcinka AB. Promień półokręgu równy jest promieniowi okręgu, którego wycinek stanowi. Odcinek AB nazywa się podstawą półokręgu.

Promień (oznaczany literą r od łacińskiego słowa radius) to w geometrii odcinek łączący środek koła, okręgu, kuli lub sfery z dowolnym punktem położonym na jej brzegu, a także długość tego odcinka. Długość promienia jest w tym przypadku zawsze równa połowie długości średnicy, co wyraża wzór

Cięciwa koła to odcinek o końcach na brzegu koła.

Promień koła to:

odcinek z jednym końcem na brzegu koła, a drugim w środku koła;

długość tego odcinka.

Średnica koła to:

cięciwa przechodząca przez środek koła;

długość tej cięciwy, czyli podwojona wartość promienia koła.

Podstawowe wzory

Wycinek i odcinek koła

W poniższych wzorach: $\pi=3,14159265\dots$ jest jedną ze stałych matematycznych, szerzej opisana w artykule Pi; $r\,$ to promień koła.

Pole powierzchni koła:

$S=\pi r^2 \approx 3,14\ r^2. \,$

Obwód koła:

$L=2\pi r \approx 6,28\ r. \,$

Pole wycinka koła o kącie środkowym α° lub φ radianów :

$S=\frac {\alpha}{360} \pi r^2 =\frac{r^2\varphi}{2}.$

Pole odcinka koła o kącie środkowym α° lub φ radianów :

$S=\frac {\alpha}{360} \pi r^2 -\frac{r^2 \sin\alpha^\circ}{2}=\frac{r^2 \varphi}{2} - \frac{r^2 \sin\varphi}{2}.$

Długość łuku okręgu, na którym wspiera się kąt środkowy α° lub φ radianów:

$L=\frac {\alpha\pi r}{180} = r\varphi.$

Dwuwymiarowe koło w przestrzeni trójwymiarowej

Koło o środku w punkcie $O(s_x,\ s_y,\ s_z)$ i promieniu $r$ , zanurzone w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej, może być zdefiniowane jako część wspólna kuli o środku w O i płaszczyzny przechodzącej przez O. Opisuje je układ:

Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

Długość krzywej – wielkość charakteryzująca krzywą; jeśli jest ona dobrze określona, to daną krzywą nazywa się prostowalną lub rektyfikowalną.

$\left\{ \begin{array}{*{35}l} A(x-s_{x})+B(y-s_{y})+C(z-s_{z})=0, \\ (x-s_{x})^{2}+(y-s_{y})^{2}+(z-s_{z})^{2}\leqslant r^{2}, \\ \end{array} \right.$

gdzie $r>0$ oraz A, B i C nie są równocześnie zerem.

Dwuwymiarowe koło w przestrzeni wielowymiarowej

Koło zanurzone w przestrzeni euklidesowej n-wymiarowej o środku w punkcie $O(s_1,s_2,...,s_n)$ i promieniu $r$ może być zdefiniowane jako część wspólna n-wymiarowej kuli o środku w O i $n-2$ hiperpłaszczyzn przechodzących przez O. Każde koło w przestrzeni wielowymiarowej może zatem być opisane układem $n-2$ równań i jednej nierówności:

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) - miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.

$\left\{ \begin{array}{*{35}l} a_{1,1} (x_{1}-s_{1})+a_{1,2} (x_{2}-s_{2})+\ldots +a_{1,n} (x_{n}-s_{n})=0 \\ a_{2,1} (x_{1}-s_{1})+a_{2,2} (x_{2}-s_{2})+\ldots +a_{2,n} (x_{n}-s_{n})=0 \\ \ldots \\ a_{n-2,1} (x_{1}-s_{1})+a_{n-2,2} (x_{2}-s_{2})+\ldots +a_{n-2,n} (x_{n}-s_{n})=0 \\ (x_{1}-s_{1})^{2}+(x_{2}-s_{2})^{2}+\ldots (x_{n}-s_{n})^{2}\leqslant r^{2} \\ \end{array} \right.$

Jednak nie każdy układ tej postaci generuje koło; np. jeśli dwa spośród tych równań będą liniowo zależne, zbiorem rozwiązań układu nie będzie koło, a np. trójwymiarowa kula.

Uogólnienie koła na przestrzenie metryczne

Pojęcie koła może być uogólnione na dowolną przestrzeń metryczną. Jest to wówczas zbiór elementów tej przestrzeni odległych od jakiegoś elementu przestrzeni zwanego środkiem koła nie bardziej niż na zadaną odległość (promień) zgodnie z obowiązującą w danej przestrzeni metryką.

Odcinek koła – figura geometryczna, część koła ograniczona cięciwą wyznaczającą kąt środkowy θ okręgu oraz łukiem okręgu ograniczonym przez ramiona tego kąta.

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

Dla dowolnych przestrzeni metrycznych: $K_{\bar{x}_{0}}(r) = \{ \bar{x}: \rho(\bar{x}_{0},\bar{x}) \leqslant r \},$

gdzie $\rho(\bar{x}_{0},\bar{x})$ - metryka przestrzeni.

Takie uogólnienie nazywamy kulą.

Zobacz też

Zobacz hasło koło w Wikisłowniku

kula

okrąg

półokrąg