Kostka Mengera - Polski Serwis Naukowy

Kostka Mengera po 4 iteracjach IFS

Kostka Mengera, gąbka Mengera – bryła fraktalna, trójwymiarowy odpowiednik zbioru Cantora i dywanu Sierpińskiego. Wymiar fraktalny kostki Mengera wynosi: log320 = ln 20 / ln 3 ≈ 2,726833.

Konstrukcja kostki została podana przez austriackiego matematyka Karla Mengera w roku 1927.

Konstrukcja

Kostka Mengera powstaje w następujący sposób:

MathWorld - encyklopedia matematyczna online, sponsorowana przez Wolfram Research, twórcę i producenta programu Mathematica; współsponsorem jest National Science Foundation (National Science Digital Library).

Sześcian (właściwie sześcian foremny, inaczej heksaedr) to wielościan foremny o sześciu bokach w kształcie identycznych kwadratów. Posiada dwanaście krawędzi i osiem wierzchołków. Ścinając w pewny sposób wierzchołki sześcianu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie sześcian ścięty.

Dany jest sześcian
Tniemy go na 27 sześcianów równej wielkości płaszczyznami równoległymi do ścian
Usuwamy wszystkie sześciany przyległe do środków ścian pierwotnego sześcianu oraz sześcian znajdujący się w jego środku
Do każdego z 20 pozostałych sześcianów stosujemy poprzednią procedurę

Po nieskończonej liczbie powtórzeń opisanych operacji otrzymujemy kostkę Mengera.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który:

Pseudokodem nazywany jest taki sposób zapisu algorytmu, który, zachowując strukturę charakterystyczną dla kodu zapisanego w języku programowania, rezygnuje ze ścisłych reguł składniowych na rzecz prostoty i czytelności. Pseudokod nie zawiera szczegółów implementacyjnych (jak np. inicjalizacja zmiennych, alokacja pamięci), często też opuszcza się w nim opis działania podprocedur (jeśli powinien być on oczywisty dla czytelnika), zaś nietrywialne kroki algorytmu opisywane są z pomocą formuł matematycznych lub zdań w języku naturalnym.

Poniższy pseudokod, będący rekurencyjną implementacją kostki Mengera, wykorzystywany jest często w wielu językach programowania, przy czym:

n - złożoność - liczba całkowita nieujemna,

x,y,z - współrzędne środka,

d - długość krawędzi:

Menger(n,x,y,z,d):
 jeżeli n=0
  to utwórzSześcian(x,y,z,d)
  w przeciwnym przypadku
   dla i={-1,0,1}
    dla j={-1,0,1}
     dla k={-1,0,1}
      jeżeli (i*i+j*j)*(i*i+k*k)*(j*j+k*k)>0
       to Menger(n-1,x+i*d/3,y+j*d/3,z+k*d/3,d/3)

Własności

Każda ściana kostki jest dywanem Sierpińskiego. Przekątna kostki jest zbiorem Cantora. Kostka jest zwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej, a jej miara Lebesgue'a jest równa 0.

Język programowania – zbiór zasad określających, kiedy ciąg symboli tworzy program (czyli ciąg symboli opisujący obliczenia) oraz jakie obliczenia opisuje.

Karl Menger (ur. 13 stycznia 1902 r. w Wiedniu, zm. 5 października 1985 r. w Chicago w stanie Illinois (stan w USA) w USA), austriacki matematyk, jeden z twórców teorii wymiaru, znany z konstrukcji kostki Mengera.

Definicje formalne

Definicja rekurencyjna

Precyzyjne określenie kostki Mengera jest następujące: $M := \bigcap_{n\in\mathbb{N}} M_n$

gdzie M0 oznacza sześcian {(x,y,z) : 0 ≤ x,y,z ≤ 1} $M_{n+1} := \left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3: \ { \exists i,j,k\in\{0,1,2\}: (3x-i,3y-j,3z-k)\in M_n \atop \mbox{ i co najwyzej jedna z liczb }i,j,k\mbox{ jest rowna 1 }} \right\}$

Definicja nierekurencyjna

Kostkę Mengera można też zdefiniować w równoważny sposób nie używając rekurencji:
Kostka Mengera to domknięcie zbioru punktów (x,y,z) takich, że 0 ≤ x,y,z ≤ 1 i w nieskończonych rozwinięciach współrzędnych x,y,z w trójkowym systemie liczbowym nigdzie na tej samej pozycji cyfra 1 nie występuje więcej niż jeden raz.

Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3) mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów.

Trójkowy system liczbowy – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 3. Do zapisu liczb są potrzebne 3 cyfry: 0, 1 i 2. Cyfry trójkowe często nazywa się tritami na podobieństwo bitów w systemie binarnym.

Zobacz też

Wikimedia Commons ma galerię ilustracji związaną z tematem:
Kostka Mengera

piramida Sierpińskiego

Linki zewnętrzne

Kostka Mengera (ang.) w encyklopedii MathWorld

Prosty model kostki Mengera