Kres dolny - Polski Serwis Naukowy

Kres (kraniec) dolny (również łac. infimum) oraz kres (kraniec) górny (także łac. supremum) – w matematyce pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją.

Zbiory liczbowe

Najczęściej oba te terminy są używane w odniesieniu do zbiorów liczbowych.

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

Definicje

Przypuśćmy, że zbiór $A\subseteq \mathbb R$ jest niepusty.

Powiemy, że $s$ jest ograniczeniem górnym (dolnym) zbioru $A$ , jeżeli $s \geqslant a\; (s \leqslant a)$ dla wszystkich elementów $a \in A$ .

Kresem górnym zbioru $A$ nazwiemy taką liczbę $s \in \mathbb R$ , która jest najmniejszym ograniczeniem górnym tego zbioru, tj. taką, że:

$s$ jest ograniczeniem górnym zbioru $A$ ;

jeśli $s' \in \mathbb R$ jest ograniczeniem górnym zbioru $A$ , to $s \leqslant s'\;$ .

Symetrycznie, kresem dolnym zbioru nazywamy największe ograniczenie dolne tego zbioru.

Aksjomat ciągłości (pewnik Dedekinda) – aksjomat zbioru liczb rzeczywistych sformułowany przez Richarda Dedekinda w 1872. Aksjomat ten postuluje, że każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ma kres górny.

Porządek liniowy – częściowy porządek będący zarazem łańcuchem, czyli taki, w którym każde dwa elementy rozpatrywanego zbioru są porównywalne.

Kres górny zbioru $A$ oznaczamy $\sup(A)$ , kres dolny $\inf(A)$ . Zapisy $\inf(A) = -\infty$ oraz $\sup(A) = \infty$ oznaczają, iż $A$ jest nieograniczony odpowiednio z dołu lub z góry (zob. rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych).

Własności

Każdy niepusty podzbiór $\mathbb R$ ograniczony z góry ma kres górny, a ograniczony z dołu ma kres dolny. Tą własność nazywa się zupełnością zbioru liczb rzeczywistych (zob. aksjomat ciągłości).

Jeżeli w danym zbiorze istnieje liczba największa/najmniejsza, to jest ona jego kresem górnym/dolnym.

Przypuśćmy że $A\subseteq \mathbb R$ jest niepustym zbiorem oraz $s \in \mathbb R$ , wówczas $s = \sup(A)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{a \in A}\; a \leqslant s$ oraz $\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{a \in A}\; a > s - \varepsilon$ ; $s = \inf(A)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{a \in A}\; a \geqslant s$ oraz $\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{a \in A}\; a < s + \varepsilon$ .

Jeżeli $A \subseteq \mathbb R$ oraz oznaczymy $-A := \{x \in \mathbb R\colon -x \in A\}$ , to: $\inf(-A) = -\sup(A)$ , $\sup(-A) = -\inf(A)$ .

Przykłady

Jeśli $A=[0, 3]$ , to:

$\inf(A)=0$ ponieważ 0 jest najmniejszą liczbą zbioru A, więc jest jego kresem dolnym.

$\sup(A)=3$ ponieważ 3 jest największą liczbą zbioru A, więc jest jego kresem górnym.

Niech $B=(0, 3)$ . Wówczas:

$\inf(B)=0$ . Choć zbiór B nie ma liczby najmniejszej, jego kresem dolnym jest 0, bowiem żadna liczba większa od 0 nie jest mniejsza od dowolnej z liczb zbioru B.

$\sup(B)=3$ . Mimo że w zbiorze B nie ma liczby największej, kresem górnym jest 3, ponieważ nie istnieje liczba mniejsza od 3, która byłaby większa od jakiejkolwiek liczby ze zbioru B.

Niech $C=\{0, 1, 4\}$ . Wówczas podobnie jak dla zbioru $A$ , $\inf(C)=0$ oraz $\sup(C)=4$ :

Połóżmy $D=\{1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, \ldots\}$ . Jest $\sup(D)=1$ , bo każda liczba zbioru D jest mniejsza od 1, a jednocześnie żadna liczba mniejsza od 1 nie jest większa od wszystkich liczb ze zbioru D.

Porządki częściowe

Pojęcia kresu dolnego i kresu górnego są zdefiniowane tylko przy użyciu porządku i mogą być wprowadzone jako dużo ogólniejsze niż w sekcji powyżej.

Definicja intuicyjna: Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.

Matematyka (. Ponieważ ścisłe założenia mogą dotyczyć najróżniejszych dziedzin myśli ludzkiej, a muszą być czynione w naukach ścisłych, technice a nawet w naukach humanistycznych, zakres matematyki jest szeroki i stale się powiększa.

Definicja

Niech $(X,\sqsubseteq)$ będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Przypuśćmy też, że $A\subseteq X$ i $s\in X$ .

Element $s\,$ nazywamy elementem największym w zbiorze $A\,$ wtedy i tylko wtedy, gdy: $s \in A \and \forall_{a \in A} \; a \sqsubseteq s$ .

Element $s\,$ nazywamy elementem najmniejszym w zbiorze $A\,$ wtedy i tylko wtedy, gdy: $s \in A \and \forall_{a \in A} \; s \sqsubseteq a$ .

Element $s\,$ nazywamy ograniczeniem górnym zbioru $A\,$ wtedy i tylko wtedy, gdy: $\forall_{a \in A} \; a \sqsubseteq s$ .

Element $s\,$ nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru $A\,$ wtedy i tylko wtedy, gdy:

Łacina (łac. lingua Latina, język łaciński) – język indoeuropejski z podgrupy latynofaliskiej języków italskich, wywodzący się z Lacjum (łac. Latium), krainy w starożytnej Italii, na północnym skraju której znajduje się Rzym. Łacina była językiem ojczystym Rzymian. Stała się z czasem językiem urzędowym całego Imperium Rzymskiego, wypierając inne wcześniej używane na tym obszarze języki (takie jak oskijski czy umbryjski).

Zbiór ograniczony – termin w matematyce używany na określenie zbiorów w pewnym sensie małych. Dokładna definicja tego pojęcia zależy od kontekstu w którym jest ono wprowadzane.

$\forall_{a \in A} \; s \sqsubseteq a$ .

Element $s\,$ jest kresem górnym (supremum) zbioru $A\,$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest elementem najmniejszym w zbiorze wszystkich ograniczeń górnych $A\,$ .

Element $s\,$ jest kresem dolnym (infimum) zbioru $A\,$ , wtedy i tylko wtedy, gdy jest elementem największym w zbiorze wszystkich ograniczeń dolnych $A\,$ .

Każdy element zbioru X jest zarówno ograniczeniem dolnym jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego. Zatem kres dolny zbioru pustego musi być największym elementem zbioru $X$ , a kres górny zbioru pustego - najmniejszym elementem zbioru $X$ .

Jeśli każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór $X$ ma kres górny, to porządek $(X,\sqsubseteq)$ nazywa się zupełnym.

Własności i przykłady

Kres górny zbioru nie musi istnieć. Na przykład, jeśli rozważymy zbiór liczb wymiernych ${\mathbb Q}$ z porządkiem naturalnym i zbiór $A=\{q\in {\mathbb Q}:q^2<2\}$ , to nie ma żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem dolnym, ani żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem górnym. (Oczywiście ten sam zbiór ma kres dolny i kres górny w liczbach rzeczywistych.)

Każdy podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego może mieć co najwyżej jeden kres dolny i jeden kres górny. Dlatego też kres dolny i kres górny można oznaczać symbolami odpowiednio $\inf(A)$ i $\sup(A)$ .

Jeśli $(X,\sqsubseteq)$ jest porządkiem liniowym, to istnieje zupełny porządek liniowy $(Y,\leqslant)$ taki że $X\subseteq Y$ i obcięcie $\leqslant \upharpoonright X$ zgadza się z $\sqsubseteq$ , oraz $X$ jest gęstym podzbiorem $Y$ . Porządek $(Y,\leqslant)$ jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.

Jeśli $(X,\sqsubseteq)$ jest zupełnym porządkiem liniowym (tzn każdy ograniczony niepusty podzbiór $X$ ma kres górny), to każdy ograniczony z dołu niepusty podzbiór $X$ ma kres dolny.

Niech $({\mathbb B},+,\cdot,\sim,0,1)$ będzie algebrą Boole'a i niech $\leqslant$ będzie porządkiem boole'owskim na ${\mathbb B}$ (tzn. dla $a\leqslant b$ wtedy i tylko wtedy gdy $a\cdot b=a$ ).

Kres górny niepustego zbioru $A\subseteq {\mathbb B}$ (jeśli istnieje) jest oznaczany przez $\sum A$ i bywa nazywany sumą zbioru $A$ . Algebry w których każdy zbiór ma kres górny (tzn takie dla których porządek boole'owski $\leqslant$ jest zupełny) są nazywane zupełnymi algebrami Boole'a. Algebry zupełne są szczególnie ważne w teorii forsingu.

Kres dolny niepustego zbioru $A\subseteq {\mathbb B}$ (jeśli istnieje) jest oznaczany przez $\prod A$ i bywa nazywany produktem (iloczynem) zbioru $A$ . Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole'a ${\mathbb B}$ : każdy niepusty podzbiór ${\mathbb B}$ ma kres górny (tzn sumę), każdy niepusty podzbiór ${\mathbb B}$ ma kres dolny (tzn produkt).

Warto też zauważyć że (zakładając istnienie odpowiednich kresów, np. zupełność algebry), jeśli $\varnothing \neq A \subseteq \mathbb B$ , to $\sum A=\sim\prod\{\sim a\colon a\in A\}$ oraz $\prod A=\sim\sum\{\sim a\colon a\in A\}.$