Krzywa Lissajous - Polski Serwis Naukowy

doświadczenie Lissajous z kamertonami

Krzywa Lissajous (wym. lisaʒu) bądź Bowditcha – w matematyce krzywa parametryczna opisująca drgania harmoniczne, dana wzorem $x(t) = A\sin(at + \delta),\quad y(t) = B\sin(bt).$

Nazwy pochodzą od nazwisk Nathaniela Bowditcha, który opisał rodzinę tych krzywych w 1899, oraz Jules'a Antoine'a Lissajous, który badał je używając do tego drgających kamertonów z umocowanymi do nich zwierciadełkami. Krzywe te nazywane są też figurami Lissajous.

Rodzaje

Kształt krzywych jest szczególnie uzależniony od współczynnika $\tfrac{a}{b}$ . Dla współczynnika równego 1, krzywa jest elipsą, ze specjalnymi przypadkami okrąg: $A = B, \delta = \tfrac{\pi}{2}$ (zob. pi i radian); oraz odcinek: $\delta = 0$ . Inne wartości współczynnika dają bardziej złożone krzywe, które są zamknięte, tylko gdy $\tfrac{a}{b}$ jest liczbą wymierną.

Oscyloskop — przyrząd elektroniczny służący do obserwowania, obrazowania i badania przebiegów zależności pomiędzy dwiema wielkościami elektrycznymi, bądź innymi wielkościami fizycznymi reprezentowanymi w postaci elektrycznej.

Elipsa (z gr. ἔλλειψις elleipsis – „brak, opuszczenie”) – w geometrii ograniczony przypadek krzywej stożkowej, czyli krzywej będącej częścią wspólną powierzchni stożkowej oraz przecinającej ją płaszczyzny. Jest to również miejsce geometryczne wszystkich tych punktów płaszczyzny, dla których suma odległości od dwóch ustalonych punktów jest stałą.

Występowanie

Jedną z metod uzyskiwania krzywych Lissajous jest podanie na wejścia oscyloskopu, pracującego w trybie XY, dwóch sygnałów sinusoidalnych o częstotliwościach pozostających w stosunku $\tfrac{a}{b}$ . Ciekawy efekt uzyskuje się również, gdy stosunek tych częstotliwości jest minimalnie różny od ilorazu dwóch niskich liczb naturalnych: dzięki płynnej zmianie fazy (parametru $\delta$ ) uzyskuje się iluzję trójwymiarowego obrotu krzywej. W najprostszym przypadku, gdy $a \approx b$ uzyskuje się efekt „obracającej monety”.

Jules Antoine Lissajous (czyt. /lisaʒu/; ur. 4 marca 1822 zm. 24 czerwca 1880) - francuski matematyk i fizyk. Na jego cześć nazwano krzywe Lissajous, których badaniem się zajmował.

Australian Broadcasting Corporation (ABC) – australijski, publiczny nadawca radiowy i telewizyjny, dostarczający kanały telewizyjne, radiowe, portal internetowy i usługi mobilne mieszkańcom Australii, a także serwisy dla zagranicy: Australia Network and Radio Australia.

Krzywe Lissajous są czasem wykorzystywane w projektach graficznych jako element logo (np. w Australian Broadcasting Corporation).

Przykłady

W Wikimedia Commons znajdują się multimedia związane z tematem:
Krzywe Lissajous

Poniżej zamieszczono przykłady krzywych Lissajous o parametrach $\delta = \tfrac{\pi}{2}$ , $a$ – nieparzyste, $b$ – parzyste, $|a - b| = 1$ .

a = 1, b = 2

Nathaniel Bowditch (ur. 26 marca 1733, zm. 16 marca 1838) - amerykański matematyk znany ze swojej pracy nad nawigacją oceaniczną. Jego książka "The New American Practical Navigator", opublikowana po raz pierwszy w 1802 roku, znajduje się na pokładzie każdego statku Marynarki Wojennej Stanów Zjednoczonych.

Odcinek – w geometrii część prostej zawarta pomiędzy dwoma jej punktami z tymi punktami włącznie. Odcinek w całości zawiera się wewnątrz tej prostej.

a = 3, b = 2

a = 3, b = 4

a = 5, b = 4

a = 5, b = 6

a = 9, b = 8

Linki zewnętrzne

Krzywa Lissajous (ang.) w encyklopedii MathWorld