Kula - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zapoznaj się również z: inne znaczenia słowa kula.

Definicja intuicyjna:
Kula to zbiór punktów oddalonych nie bardziej niż pewna zadana odległość (promień kuli) od wybranego punktu (środek kuli)

Kula w danej przestrzeni metrycznej $(X,\rho)\,$ jest zbiorem elementów tej przestrzeni, zdefiniowanym jako $\bar{K} _{\bar{o},r} = \{ \bar{p}: \rho(\bar{p},\bar{o}) \leqslant r \}$

dla pewnych $\bar{o}\in X,\ r>0,\,$ które nazywamy odpowiednio środkiem i promieniem kuli.

Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfina – stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejszą dodatnią wartość x, dla której sin(x) = 0.

Przestrzeń trójwymiarowa - potoczna nazwa przestrzeni euklidesowej o trzech wymiarach, lub równoważnej jej przestrzeni kartezjańskiej. Przymiotnik "trójwymiarowa" oznacza, że każdemu punktowi tej przestrzeni odpowiada trójka uporządkowana liczb rzeczywistych, zwanych współrzędnymi. Każdej trójce liczb rzeczywistych także odpowiada punkt tej przestrzeni.

Informacja ogólna

Kula w przestrzeni euklidesowej

Intuicyjnie rozumiana kula – w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej dla metryki euklidesowej – jest to część przestrzeni, ograniczona sferą (sfera jest powierzchnią (brzegiem) kuli i również się w niej zawiera).

Taką kulę można wówczas opisać wzorem jako zbiór punktów, których współrzędne $(x,y,z)$ spełniają nierówność:

Alfabet łaciński (łacinka), tzw. alfabet rzymski – alfabet, system znaków służących do zapisu większości języków europejskich oraz wielu innych. Jest najbardziej rozpowszechnionym alfabetem na świecie – posługuje się nim ok. 35% ludzkości. Wywodzi się z systemu służącego do zapisu łaciny.

Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2\leqslant r^2,$

gdzie $(x_0,y_0,z_0)$ są współrzędnymi środka kuli, a $r\,$ oznacza jej promień.

W $n\,$ -wymiarowej przestrzeni euklidesowej wzór ten ma natychmiastowe uogólnienie – kula o środku w punkcie $(s_1, s_2, \ldots, s_n)$ i promieniu $r\,$ to zbiór punktów $x=(x_1, x_2, \ldots, x_n),$ których współrzędne spełniają nierówność: $(x_1-s_1)^2+(x_2-s_2)^2+\ldots+(x_n-s_n)^2\leqslant r^2.$

Nietrudno zauważyć, że w dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej kulą jest koło, zaś w jednowymiarowej – odcinek.

Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.

Rozmaitość topologiczna – w matematyce przestrzeń topologiczna Hausdorffa wyglądająca lokalnie jak przestrzeń euklidesowa w sensie zdefiniowanym niżej. Rozmaitości topologiczne stanowią ważną klasę przestrzeni topologicznych o wielorakich zastosowaniach w matematyce.

Kula o środku P(2; 1,5) i promieniu r=1 w metryce miejskiej na zbiorze $\Bbb{R}^2$ .

Dla innych metryk kula wyglądać będzie inaczej. Przykładowo, w przestrzeni $\Bbb{R}^2$ o metryce miejskiej do kuli należą punkty, spełniające nierówność: $\left|x_1 - x_2\right| + \left|y_1 - y_2\right| \leqslant r.$

Natomiast w przestrzeni liter alfabetu łacińskiego, gdzie metryką byłaby odległość między poszczególnymi literami w szyku alfabetu, kulą jest np. zbiór {G, H, I} – promień tej kuli wynosi 1, a jej środkiem jest H.

Związane pojęcia

Cięciwa kuli to odcinek o końcach na brzegu kuli.

Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) - miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.

Warstwa kulista – podzbiór kuli złożony z punktów znajdujących się między dwiema równoległymi płaszczyznami odległymi od środka kuli o nie więcej niż promień R, wraz z częścią wspólną kuli i tych płaszczyzn.

Średnica kuli to cięciwa przechodząca przez środek kuli. Termin ten oznacza również długość tej cięciwy – równą podwojonej długości promienia kuli. Termin ten został uogólniony na wszelkie zbiory w przestrzeni metrycznej - zobacz Średnica zbioru.

Koło wielkie kuli to koło o promieniu tej kuli, o środku w jej środku.

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

Koło wielkie – największe koło, jakie można wpisać w kulę. Jego średnica jest równa średnicy kuli, a samo koło dzieli ją na dwie symetryczne połowy zwane półkulami.

Wzory dla kuli w przestrzeni euklidesowej

Objętość n-wymiarowej kuli (hiperkuli) o promieniu r dana jest wzorem $V_{n}=\frac { \pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma (\frac{n}{2}+1)}\cdot r^{n} = \begin{cases} \displaystyle {\pi^k\over k!}\cdot r^n & \mbox{dla }n=2k, \\[2ex] \displaystyle {2^k \pi^{k-1}\over n!!}\cdot r^n & \mbox{dla } n=2k-1, \end{cases}$

"Pole" (n−1)-wymiarowe jej (hiper)powierzchni $S_n = \frac n r \, V_n.$

Objętość 3-wymiarowej kuli: $V=\frac{4}{3}\pi r^3 \approx 4{,}19\ r^3.$

Pole powierzchni 3-wymiarowej kuli: $S=4\pi r^2 \approx 12{,}6\ r^2.$

W powyższych wzorach $\pi \approx 3{,}14159265$ jest jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych, szerzej opisaną w artykule Pi, zaś $\Gamma\,$ oznacza funkcję gamma.

Koło – zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od ustalonego punktu na tej płaszczyźnie (środka koła) nie przekracza pewnej wartości (promienia koła).

Ziemia (łac. Terra) − trzecia licząc od Słońca, a piąta co do wielkości planeta Układu Słonecznego. Pod względem średnicy, masy i gęstości jest to największa planeta skalista Układu.

Uwaga: Brzegiem n-wymiarowej kuli jest (n−1)-wymiarowa sfera.

Uogólnienie topologiczne

W topologii kulę definiujemy jako rozmaitość topologiczną, homeomorficzną z kulą geometryczną, zdefiniowaną jak powyżej.

Zobacz też

Zobacz hasło kula w Wikisłowniku

Sfera

Hiperkula

Czasza kuli (odcinek kuli)

Warstwa kulista

Wycinek kuli

Kula ziemska