Kwadratury Gaussa - Polski Serwis Naukowy

Kwadraturami Gaussa nazywamy metody całkowania numerycznego polegające na takim wyborze wag $w_1, w_2, \ldots, w_n$ i węzłów interpolacji $t_1, t_2, \ldots, t_n \in [a,b]$ aby wyrażenie $\sum_{i=1}^n w_i f(t_i)$

najlepiej przybliżało całkę $I(f) = \int\limits_a^b w(x) f(x) dx$

gdzie $f$ jest dowolną funkcją określoną na odcinku $[a,b]$ , a $w$ jest tzw. funkcją wagową spełniającą warunki

$w(x)\ge 0$ ,
$\forall_{k\in \mathbb{N}} \int\limits_a^b x^k w(x) dx$ jest skończona,
Jeżeli $p$ jest wielomianem takim, że $\forall_{x\in [a,b]}\;p(x)\ge 0$ , to jeśli $\int\limits_a^b w(x) p(x) dx=0$ , mamy wtedy $p\equiv0$ .

Określmy iloczyn skalarny z wagą

Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.

W analizie numerycznej wzory Newtona-Cotesa są zbiorem metod numerycznych całkowania, zwanego również kwadraturą. Nazwa pochodzi od Isaaca Newtona i Rogera Cotesa.

$\langle f,g \rangle_w = \int\limits_a^b w(x) f(x) g(x) dx.$

Powiemy, że dwa wielomiany są ortogonalne względem tego iloczynu skalarnego jeśli $\langle f,g \rangle_w =0$ .

Wszystkie kwadratury Gaussa wywodzą się z twierdzenia udowodnionego przez niego:

a) Jeżeli $t_1, t_2, \ldots, t_n \in [a,b]$ są pierwiastkami n-tego wielomianu ortogonalnego $p_n(x)$ oraz $w_1, w_2, \ldots, w_n$ są rozwiązaniami układu równań: $\left\{ \begin{matrix} p_0(t_1)w_1 + & \ldots & + p_0(t_n)w_n= & <p_0,p_0>_w\\ p_1(t_1)w_1 + & \ldots & + p_1(t_n)w_n= & 0\\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ p_{n-1}(t_1)w_1 + & \ldots & + p_{n-1}(t_n)w_n= & 0\\ \end{matrix}\right.$

to dla każdego wielomianu $p$ stopnia nie większego niż 2n-1 zachodzi

Twierdzenie to sformalizowana wypowiedź sądu, stosowana we wszystkich naukach ścisłych, składająca się z dwóch zbiorów zdań, które łączy relacja implikacji. Pierwszy zbiór zdań określa ściśle warunki dla których dane twierdzenie jest spełnione i nazywa się założeniem twierdzenia, a drugi zbiór zdań jest właściwym sądem, będącym istotną treścią wypowiadanego twierdzenia i zwany jest tezą twierdzenia.

Metody numeryczne – metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane tą drogą wyniki są na ogół przybliżone, jednak dokładność obliczeń może być z góry określona i dobiera się ją zależnie od potrzeb.

$\int\limits_a^b w(x) p(x) dx = \sum_{i=1}^n w_i p(t_i).\qquad (*)$

Ponadto $w_i > 0$ .

b) Jeżeli dla pewnego ciągu węzłów $x_1, x_2, \ldots, x_n \in [a,b]$ oraz ciągu wag $v_1, v_2, \ldots, v_n$ dla dowolnego wielomianu $p$ stopnia nie większego niż 2n-1 zachodzi warunek (*), to $x_i=t_i$ oraz $v_i=w_i$ z dokładnością do kolejności.

c) Dla dowolnego ciągu węzłów $x_1, x_2, \ldots, x_n \in [a,b]$ oraz ciągu wag $v_1, v_2, \ldots, v_n$ nie istnieje wielomian stopnia 2n, dla którego nie zachodzi warunek (*).

Najczęściej spotykane rodzaje kwadratur Gaussa

Kwadratury z przedziału $[-1,1]$ z wagą $w\equiv 1$ nazywamy kwadraturami Gaussa-Legendre'a

Odcinek – w geometrii część prostej zawarta pomiędzy dwoma jej punktami z tymi punktami włącznie. Odcinek w całości zawiera się wewnątrz tej prostej.

Całkowanie numeryczne – metoda numeryczna polegająca na przybliżonym obliczaniu całek oznaczonych. Termin kwadratura numeryczna, często po prostu kwadratura, jest synonimem całkowania numerycznego, w szczególności w odniesieniu do całek jednowymiarowych. Dwu- i wyżejwymiarowe całkowania nazywane są czasami kubaturami, choć wyraz kwadratura również niesie to znaczenie dla całkowania w wyższych wymiarach.

$I(f)=\int\limits_{-1}^1 f(x) dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(t_i),$

gdzie $t_i$ to pierwiastki n-tego wielomianu Legendre'a.

Kwadratury z wagą $w(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ nazywamy kwadraturami Gaussa-Czebyszewa $I(f)=\int\limits_{-1}^1 f(x) \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} \approx \sum_{i=1}^n w_i f(t_i),$

gdzie $t_i$ to pierwiastki n-tego wielomianu Czebyszewa.

Kwadratury z wagą $w(x)=e^{-x^2}$ nazywamy kwadraturami Gaussa-Hermite'a $I(f)=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2} f(x) dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(t_i),$

gdzie $t_i$ to pierwiastki n-tego wielomianu Hermite'a.

Kwadratury z wagą $w(x)=e^{-x}$ nazywamy kwadraturami Gaussa-Laguerre'a

Iloczyn skalarny – operator na przestrzeni liniowej przypisujący dwóm argumentom z tej przestrzeni rzeczywistą wartość skalarną. Czasami spotyka się również nazwę iloczyn wewnętrzny, jednak odnosi się ono zwykle do ogólniejszych iloczynów skalarnych w przestrzeniach unitarnych.

$I(f)=\int\limits_{0}^\infty e^{-x} f(x) dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(t_i),$

gdzie $t_i$ to pierwiastki n-tego wielomianu Laguerre'a.

Kwadratury z wagą $w(x)=(1-x)^\alpha(1+x)^\beta$ nazywamy kwadraturami Gaussa-Jacobiego $I(f)=\int\limits_{-1}^1 (1-x)^\alpha(1+x)^\beta f(x) dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(t_i)$ .

Zobacz też

Metody Newtona-Cotesa

Analiza numeryczna

Metoda numeryczna