Kwantyfikator - Polski Serwis Naukowy

Kwantyfikator – termin przyjęty w matematyce i logice matematycznej na oznaczenie zwrotów: dla każdego, istnieje takie i im pokrewnych, a także odpowiadającym im symbolom wiążacym zmienne w formułach. Są podstawowym elementem w rozwoju logiki pierwszego rzędu.

Kwantyfikatory odgrywają ważną rolę w formułowaniu twierdzeń i definicji matematycznych.

Forma preneksowa (ang. prenex form lub prenex normal form) to taka postać formuły logicznej, w której wszystkie kwantyfikatory przesunięte są na początek formuły. Inna jej nazwa to przedrostkowa postać normalna.
Logika modalna – teoria logiczna, która bada pojęcia możliwości, konieczności i ich wariantów. Niekiedy termin "logika modalna" rozumie się szerszej, włączając w jego obręb logiki epistemiczne, logiki temporalne, logiki deontyczne i logiki programów – niniejszy artykuł omawia jedynie logiki modalne w sensie wąskim (logiki modalne aletyczne) na przykładzie systemu S5.

Kwantyfikator ogólny i szczegółowy

Osobne artykuły: Kwantyfikator ogólny i Kwantyfikator egzystencjalny.

Zwrot dla każdego x nazywa się kwantyfikatorem ogólnym, kwantyfikatorem dużym lub kwantyfikatorem uniwersalnym wiążącym zmienną x. Kwantyfikator ogólny oznacza się symbolem $\forall x$ lub $\bigwedge_x$ , sporadycznie można spotkać również symbol (x) użyty w tym kontekście.

Logika matematyczna – dział matematyki, który wyodrębnił się jako samodzielna dziedzina na przełomie XIX i XX wieku, wraz z dążeniem do dogłębnego zbadania podstaw matematyki. Koncentruje się ona na analizowaniu zasad rozumowania oraz pojęć z nim związanych z wykorzystaniem sformalizowanych oraz uściślonych metod i narzędzi matematyki.
Twierdzenie to sformalizowana wypowiedź sądu, stosowana we wszystkich naukach ścisłych, składająca się z dwóch zbiorów zdań, które łączy relacja implikacji. Pierwszy zbiór zdań określa ściśle warunki dla których dane twierdzenie jest spełnione i nazywa się założeniem twierdzenia, a drugi zbiór zdań jest właściwym sądem, będącym istotną treścią wypowiadanego twierdzenia i zwany jest tezą twierdzenia.

Zwrot istnieje takie x, że... uważa się za równoważny zwrotowi: dla pewnego x i nazywa się kwantyfikatorem szczegółowym, kwantyfikatorem małym lub kwantyfikatorem egzystencjalnym wiążącym zmienną x. Kwantyfikator szczegółowy oznacza się symbolem $\exists x$ lub $\bigvee_x$ , rzadziej także symbolem (Ex).

Stosowany jest także kwantyfikator $\exists ! x$ a wypowiedź w tym przypadku brzmi " istnieje dokładnie jeden x". Formuły używające tego kwantyfikatora można zredukować do formuł odwołujących się tylko do $\forall,\exists$ . Np zdanie $(\exists ! x) P(x)$ jest równoważne

Rachunek predykatów pierwszego rzędu – (ang. first order predicate calculus) to system logiczny, w którym zmienna, na której oparty jest kwantyfikator, może być elementem pewnej wybranej dziedziny (zbioru), nie może natomiast być zbiorem takich elementów. Tak więc nie mogą występować kwantyfikatory typu "dla każdej funkcji z X na Y ..." (gdyż funkcja jest podzbiorem X × Y), "istnieje własność p, taka że ..." czy "dla każdego podzbioru X zbioru Z ...". Rachunek ten nazywa się też krótko rachunkiem kwantyfikatorów, ale często używa się też nazwy logika pierwszego rzędu (szczególnie wśród matematyków zajmujących się logiką matematyczną).
Skolemizacja to metoda pozwalająca na opuszczanie kwantyfikatorów egzystencjalnych lub też wszystkich kwantyfikatorów w formułach rachunku predykatów pierwszego rzędu zapisanych w formie preneksowej. Jej twórcą był norweski matematyk Thoralf Skolem.

$\Big(\exists x\Big)\Big(P(x)\ \wedge \big(\forall y\big)\big(P(y)\ \Rightarrow\ x=y\big)\Big)$ .

Zmienne związane

Zmienna występująca pod znakiem kwantyfikatora nazywa się zmienną związaną danym kwantyfikatorem. Natomiast zmienna występująca w wyrażeniu matematycznym, która nie jest związana żadnym kwantyfikatorem, nazywa się zmienną wolną. Wyrażenie następujące po kwantyfikatorze, objęte tym kwantyfikatorem, nazywa się zasięgiem kwantyfikatora.

Tautologia (wywodzi się od greckich słów ταυτος – ten sam i λογος – mowa) – wyrażenie, które jest prawdziwe na mocy swojej formy - budowy (dokładniej: które jest prawdziwe w każdej niepustej dziedzinie; zdanie zawsze prawdziwe). W logicznym znaczeniu zostało użyte po raz pierwszy przez Ludwika Wittgensteina (Tractatus logico-philosophicus 1922).
Funkcja zdaniowa (inaczej predykat lub forma zdaniowa) to wyrażenie językowe zawierające zmienne wolne, które w wyniku związania tych zmiennych kwantyfikatorami lub podstawienia za nie odpowiednich nazw staje się zdaniem.

Jeżeli w zasięgu kwantyfikatora znajdują się jakieś inne kwantyfikatory, to kwantyfikator początkowy wiąże tylko te zmienne, które nie są związane żadnym kwantyfikatorem zawartym w jego zasięgu. Stosując kwantyfikator do formy zdaniowej, otrzymuje się nową formę zdaniową lub zdanie. Działanie to, zwane kwantyfikowaniem, jest funkcją jednoargumentową określoną w zbiorze form zdaniowych, której wartościami są zdania lub formy zdaniowe.

Relacja – w teorii mnogości dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego skończonej liczby zbiorów; definicja ta oddaje intuicję pewnego związku, czy zależności między elementami wspomnianych zbiorów (elementy wspomnianych zbiorów pozostają w związku albo łączy je pewna zależność, czy też własność lub nie). Najważniejszymi relacjami są relacje dwuargumentowe, tj. między elementami pary zbiorów (opisane w osobnym artykule, w tym funkcje i działania jednoargumentowe); relacje jednoargumentowe to po prostu podzbiory pewnego zbioru.
Matematyka (. Ponieważ ścisłe założenia mogą dotyczyć najróżniejszych dziedzin myśli ludzkiej, a muszą być czynione w naukach ścisłych, technice a nawet w naukach humanistycznych, zakres matematyki jest szeroki i stale się powiększa.

Kwantyfikatory przekształcają formy zdaniowe jednej zmiennej w zdania prawdziwe lub fałszywe. Kwantyfikując formę zdaniową mającą więcej niż jedną zmienną wolną, otrzymuje się nową formę zdaniową

Kwantyfikatory ograniczone

Czasami używa się kwantyfikatorów w których zmienna jest ograniczona do jakiegoś zbioru, np $\forall x\in A$ , $\exists x\in A$ . Kwantyfikatory te nazywane są kwantyfikatorami ograniczonymi i czyta się je dla każdego elementu x ze zbioru A mamy że, istnieje element x w zbiorze A taki, że. Kwantyfikatory te są skrótami następujących zapisów:

$(\forall x\in A)P(x)$ to skrót na $\big(\forall x\big)\big(x\in A\ \Rightarrow\ P(x)\big)$

$(\exists x\in A)P(x)$ to skrót na $\big(\exists x\big)\big(x\in A\ \wedge\ P(x)\big)$ .

Zbiór A powyżej bywa nazywany dziedziną lub uniwersum kwantyfikatora. Należy zwrócić uwagę, że jeśli uniwersum kwantyfikatora jest puste, to wartość logiczna otrzymanego zdania nie zależy od formuły $P(x)$ . I tak, dla każdej formuły $P(x)$ (z jedną zmienną wolną x),

$\big (\forall x\in\emptyset\big)\big(P(x)\big)$ jest zdaniem prawdziwym, a

$\big (\exists x\in\emptyset\big)\big(P(x)\big)$ jest zdaniem fałszywym.

Aby przekonać się o słuszności powyższego stwierdzenia, wystarczy zauważyć iż pierwsze zdanie oznacza $\big(\forall x\big)\big(x\in \emptyset\ \Rightarrow\ P(x)\big)$ .

Stwierdzenie " $x\in\emptyset$ " jest zdaniem fałszywym (jakikolwiek wziąć x), zatem implikacja $x\in \emptyset\ \Rightarrow\ P(x)$ jest prawdziwa dla wszystkich x.

Rozważając zdanie " $\big (\exists x\in\emptyset\big)\big(P(x)\big)$ " zauważamy, że oznacza ono $\big(\exists x\big)\big(x\in \emptyset\ \wedge\ P(x)\big)$ .

Stwierdzenie " $x\in\emptyset$ " jest zdaniem fałszywym (jakikolwiek wziąć x), zatem koniunkcja $x\in \emptyset\ \wedge\ P(x)$ jest fałszywa dla wszystkich x.

Równoważnie, kwantyfikatory ograniczone można wprowadzić następująco.

Zdanie " $(\forall x\in A)P(x)$ " oznacza, że $\{x\in A:P(x)\}=A$ ,

zdanie " $(\exists x\in A)P(x)$ " oznacza, że $\{x\in A:P(x)\}\neq \emptyset$ .

Jeśli $A=\emptyset$ , to oba zbiory $\{x\in A:P(x)\}$ i $A$ są puste, a więc równe (bez względu na wybór formuły $P(x)$ . Czyli " $(\forall x\in \emptyset)P(x)$ " jest zawsze prawdziwe. Podobnie, " $(\exists x\in \emptyset)P(x)$ " jest fałszywe.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)