Lemat Kuratowskiego-Zorna - Polski Serwis Naukowy

Lemat Kuratowskiego-Zorna – twierdzenie teorii mnogości, nazywane zwyczajowo lematem, dające pewien warunek dostateczny istnienia elementu maksymalnego w danym zbiorze częściowo uporządkowanym; znajduje ono wiele zastosowań w pozostałych działach matematyki, gdzie wykorzystywane jest w dowodach istnienia różnych obiektów (gdy szukany element, którego istnienie jest postulowane, jest maksymalnym w pewnym zbiorze z częściowym porządkiem).

Aksjomat wyboru (ozn. AC) – jeden z aksjomatów teorii mnogości. Używa się różnych jego równoważnych sformułowań. Najczęściej spotykane jest następujące:

Aksjomatyka Zermelo-Fraenkla (skr. ZF) – powszechnie przyjmowany system aksjomatów zaproponowany przez Ernsta Zermelo w 1904 r., który został później uzupełniony przez Abrahama A. Fraenkela. System ten i opartą na nim teorię zbiorów nazywa się teorią mnogości ZF. Aksjomatyka ZF uzupełniona o aksjomat wyboru nazywana jest teorią mnogości ZFC.

Lemat ten został sformułowany przez Kazimierza Kuratowskiego w 1922 roku oraz niezależnie przez Maxa Zorna w 1935; na świecie wynik ten jest znany jako lemat Zorna, jedynie w Polsce i Rosji nazywany jest lematem Kuratowskiego-Zorna. Jest on równoważny aksjomatowi wyboru – każdy z nich można udowodnić przy pomocy drugiego (z użyciem aksjomatów Zermelo-Fraenkela teorii mnogości) – przy czym jest to jedna z bardziej użytecznych jego postaci (zob. pozostałe). Istnieją również dowody wykorzystujące równoważniki aksjomatu wyboru, np. twierdzenie Zermelo, czy twierdzenie Hausdorffa o łańcuchu maksymalnym.

Max August Zorn (ur. 6 czerwca 1906 w Krefeld, Niemcy, zm. 9 marca 1993 w Bloomington) - amerykański matematyk pochodzenia niemieckiego. Niezależnie od Kazimierza Kuratowskiego dowiódł słuszności lematu zwanego lematem Kuratowskiego-Zorna.

Twierdzenie to sformalizowana wypowiedź sądu, stosowana we wszystkich naukach ścisłych, składająca się z dwóch zbiorów zdań, które łączy relacja implikacji. Pierwszy zbiór zdań określa ściśle warunki dla których dane twierdzenie jest spełnione i nazywa się założeniem twierdzenia, a drugi zbiór zdań jest właściwym sądem, będącym istotną treścią wypowiadanego twierdzenia i zwany jest tezą twierdzenia.

Wprowadzenie

Zapoznaj się również z: porządek częściowy, porządek liniowy, łańcuch, ograniczenie górne i element maksymalny.

Zbiór $\scriptstyle P$ nazywa się częściowo uporządkowanym przez (dwuargumentową) relację $\scriptstyle \preccurlyeq$ (tzw. częściowy porządek), jeśli jest ona zwrotna ( $\scriptstyle x \preccurlyeq x$ ), antysymetryczna ( $\scriptstyle x \preccurlyeq y$ oraz $\scriptstyle y \preccurlyeq x$ pociągają $\scriptstyle x = y$ ) i przechodnia ( $\scriptstyle x \preccurlyeq y$ oraz $\scriptstyle y \preccurlyeq z$ pociągają $\scriptstyle x \preccurlyeq z$ ); jeśli $\scriptstyle x \preccurlyeq y,$ to element $\scriptstyle y$ nazywa się późniejszym od $\scriptstyle x$ (a element $\scriptstyle x$ nazywa się wcześniejszym od $\scriptstyle y$ ).

Twierdzenie Hausdorffa o łańcuchu maksymalnym - twierdzenie w teorii mnogości ZFC mówiące, że każdy niepusty zbiór częściowo uporządkowany zawiera łańcuch maksymalny w sensie inkluzji (to znaczy taki łańcuch, który nie jest zawarty w sposób właściwy w żadnym innym łańcuchu).

Twierdzenie Zermelo – twierdzenie matematyczne mówiące o tym, że każdy zbiór daje się dobrze uporządkować. Spotyka się również inną nazwę tego twierdzenia, bardziej oddającą jego treść: twierdzenie o dobrym uporządkowaniu. Twierdzenie to jest równoważne pewnikowi wyboru; korzysta się z niego w dowodzie lematu Kuratowskiego-Zorna.

Podzbiór $\scriptstyle C$ zbioru $\scriptstyle P$ nazywa się liniowo uporządkowanym, jeżeli dowolne jego dwa elementy można porównać za pomocą relacji $\scriptstyle \preccurlyeq;$ zbiór $\scriptstyle C$ nazywa się wtedy łańcuchem w $\scriptstyle P.$ Element $\scriptstyle u \in P$ nazywa się ograniczeniem górnym łańcucha $\scriptstyle C,$ jeśli element $\scriptstyle u$ jest późniejszy od jakiegokolwiek innego elementu tego łańcucha.

Warunek wystarczający a. dostateczny — każdy warunek, z którego dany fakt wynika. Jeżeli warunek wystarczający zachodzi (wystarczy, by zachodził), wówczas zachodzi dany fakt.

Porządek liniowy – częściowy porządek będący zarazem łańcuchem, czyli taki, w którym każde dwa elementy rozpatrywanego zbioru są porównywalne.

Zbiór częściowo uporządkowany, w którym w którym każdy łańcuch ma ograniczenie górne, nazywa się łańcuchowo zupełnym; element $\scriptstyle m$ nazywa się maksymalnym w zbiorze $\scriptstyle P,$ jeśli $\scriptstyle m \preccurlyeq x$ pociąga $\scriptstyle x = m$ dla dowolnego $\scriptstyle x \in P.$

Twierdzenie

W dowolnym niepustym zbiorze łańcuchowo zupełnym istnieje (co najmniej jeden) element maksymalny. Wniosek W dowolnej niepustej rodzinie zbiorów częściowo uporządkowanej relacją zawierania, do której należy suma każdego jej niepustego łańcucha, istnieje element maksymalny.

Bibliografia

Krzysztof Ciesielski, Set Theory for the Working Mathematician. Cambridge University Press, 1997. ISBN 0-521-59465-0

Przypisy

Jeśli $\scriptstyle \mathcal L$ jest łańcuchem w rodzinie $\scriptstyle \mathcal S$ jak w założeniu, to $\scriptstyle \bigcup \mathcal L$ zawiera każdy ze zbiorów tego łańcucha; stąd jeśli $\scriptstyle \bigcup \mathcal L \in \mathcal S,$ to zbiór ten jest ograniczeniem górnym łańcucha $\scriptstyle \mathcal L$ w $\scriptstyle \mathcal S.$ W ten sposób spełnione są założenia lematu Kuratowskiego-Zorna: ograniczeniem górnym dowolnego niepustego łańcucha $\scriptstyle \mathcal S$ jest jego suma, zaś pustego – przez dowolny element $\scriptstyle \mathcal S,$ czyli w rodzinie $\scriptstyle \mathcal S$ istnieje element maksymalny.