Leonhard Euler - Polski Serwis Naukowy

Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii.

Dokonał licznych odkryć w tak różnych gałęziach matematyki jak rachunek różniczkowy i całkowy oraz teoria grafów. Wniósł duży wkład w rozwój terminologii i notacji matematycznej, szczególnie trwały w dziedzinie analizy matematycznej. Jako pierwszy w historii użył na przykład pojęcia i oznaczenia funkcji. Opublikował wiele ważnych prac z zakresu mechaniki, optyki i astronomii.

Teoria grafów dział w matematyce i informatyce zajmujący się badaniem własności grafów. Informatyka rozwija także algorytmy wyznaczające pewne właściwości grafów. Algorytmy te stosuje się do rozwiązywania wielu zadań praktycznych, często w dziedzinach na pozór nie związanych z grafami.
Petersburski Uniwersytet Państwowy (Санкт-Петербургский Государственный Университет, СПбГУ), znajduje się w Sankt Petersburgu, w Rosji. Jest jednym z najstarszych rosyjskich uniwersytetów. Posiada 19 wydziałów, 13 instytutów naukowo-badawczych. Budynki uniwersytetu znajdują się w różnych rejonach miasta. Obecnie na uniwersytecie uczy się ponad 20 tysięcy studentów w trybie dziennym i 9 tysięcy studentów w trybie zaocznym.

Euler jest uważany za czołowego matematyka XVIII wieku i jednego z najwybitniejszych w całej historii. Oto przypisywane Laplace'owi zdanie wyrażające wpływ Eulera na matematykę:

Uczony ten należy do grona najbardziej twórczych – jego dzieła zapełniłyby 60-80 tomów kwarto.

Podobizna Eulera widnieje na szwajcarskim banknocie10-frankowym szóstej serii; uczonego uwieczniono też na wielu szwajcarskich, niemieckich i rosyjskich (radzieckich) znaczkach pocztowych. Na jego cześć jedna z asteroid zyskała miano "2002 Euler".

Francuska Akademia Nauk (fr. Académie des sciences) – korporacja uczonych założona w roku 1666 przez Ludwika XIV. Bezpośrednim inicjatorem jej utworzenia był Jan Baptysta Colbert, którego zamysłem było pobudzenie i wsparcie badań naukowych we Francji. Założenie tej akademii było prekursorskim posunięciem w dziedzinie organizacji nauki w XVII i XVIII wieku – była ona jedną z pierwszych tego rodzaju instytucji.
Królestwo Prus (niem. Königreich Preußen) – oficjalny tytuł państwa prusko-brandenburskiego po roku 1701 wraz z pozostałymi domenami dynastii Hohenzollernów w latach 1701-1918, od 1871 roku wchodzące w skład Cesarstwa Niemieckiego.

Biografia

Dzieciństwo i młodość

Szwajcarski banknot 10-frankowy, na cześć Eulera, najznakomitszego szwajcarskiego matematyka w historii

Leonard Euler urodził się w Bazylei w rodzinie Paula Eulera, pastora Kościoła Reformowanego (patrz: kalwinizm), i Marguerite Brucker, której ojciec był także pastorem. Miał dwie młodsze siostry: Annę Marię i Marię Magdalenę. Wkrótce po przyjściu syna na świat Eulerowie przenieśli się z Bazylei do pobliskiej miejscowości Riehen, gdzie Leonard spędził większą część dzieciństwa. Podstawową wiedzę, w tym matematyczną, przekazał swojemu synowi Paul Euler, który szykował Leonarda do stanu duchownego. Pastor Euler był przyjacielem rodziny Bernoullich, m.in. Johanna Bernoulliego, wówczas czołowego szwajcarskiego matematyka (wywarł on znaczący wpływ na życie Leonarda). Formalna edukacja Eulera rozpoczęła się w Bazylei, w tamtejszym gimnazjum łacińskim.

Teologia (gr. θεος, theos, "Bóg", + λογος, logos, "nauka") dyscyplina zajmująca się badaniem natury boskiej oraz stosunkami, jakie zachodzą pomiędzy istotą boską a światem, ze szczególnym uwzględnieniem relacji między istotą boską a ludźmi. Etymologicznie teologia oznacza naukę (racjonalny dyskurs) dotyczącą Boga.
Piotr I Aleksiejewicz Wielki, Пётр I Алексеевич (ur. 30 maja/9 czerwca 1672 w Moskwie, zm. 28 stycznia/8 lutego 1725 w Sankt Petersburgu). Syn Aleksego (1645-1676), z dynastii Romanowów.

20 października 1720 roku, w wieku trzynastu lat, rozpoczął studia na Uniwersytecie Bazylejskim. Sobotnimi popołudniami brał prywatne lekcje u Johanna Bernoulliego, który szybko odkrył wielki talent matematyczny swojego ucznia. W roku 1723 młody Euler, przedłożywszy końcową rozprawę, w której porównywał systemy filozoficzne Kartezjusza i Newtona, otrzymał stopień magistra filozofii.

Język rosyjski (русский язык, russkij jazyk; dawniej też język wielkoruski) – język należący do grupy oraz jest jednym z pięciu języków oficjalnych a jednocześnie jednym z sześciu języków konferencyjnych Organizacji Narodów Zjednoczonych. Posługuje się pismem zwanym grażdanką, graficzną odmianą cyrylicy powstałą na skutek jej upraszczania.
Kometa – małe ciało niebieskie poruszające się w układzie planetarnym, które na krótko pojawia się w pobliżu gwiazdy centralnej. Ciepło tej gwiazdy powoduje, że wokół komety powstaje koma, czyli gazowa otoczka. W przestrzeń kosmiczną jądro komety wyrzuca materię, tworzącą dwa warkocze kometarne – gazowy i pyłowy, skierowane pod różnymi kątami do kierunku ruchu komety. Gazowy warkocz komety jest zawsze zwrócony w kierunku przeciwnym do gwiazdy, co spowodowane jest oddziaływaniem wiatru słonecznego, który "wieje" zawsze od gwiazdy. Pyłowy warkocz składa się z drobin zbyt masywnych, by wiatr słoneczny mógł znacząco zmienić kierunek ich ruchu.

Od tego momentu, za namową ojca, który nadal widział w Leonardzie przyszłego pastora, rozpoczął studia nad teologią, greką i językiem hebrajskim. Pastor Euler zmienił zdanie co do zawodu Leonarda wskutek interwencji Johanna Bernoulliego; uczony przekonał go, że przeznaczeniem jego syna jest stać się wielkim matematykiem. W roku 1726 Euler ukończył swoją rozprawę doktorską na temat rozchodzenia się dźwięku, De Sono. W roku następnym stanął do corocznego konkursu o prestiżową, ufundowaną przez Francuską Akademię Nauk Wielką Nagrodę Akademii Paryskiej (ang. Paris Academy Prize Problem), ze swoim opracowaniem zagadnienia optymalnego rozmieszczenia okrętowych masztów. Zajął drugie miejsce, przegrywając jedynie z Piotrem Bouguerem znanym jako "ojciec nauki o architekturze okrętów". Łącznie, w ciągu całego życia Euler wygrywał tę doroczną nagrodę dwunastokrotnie.

Mechanika klasyczna – dział mechaniki w fizyce opisujący ruch ciał (kinematyka), wpływ oddziaływań na ruch ciał (dynamika) oraz badaniem równowagi ciał materialnych (statyka). Mechanika klasyczna oparta jest na prawach ruchu (zasadach dynamiki) sformułowanych przez Isaaca Newtona, dlatego też jest ona nazywana "mechaniką Newtona" (Principia). Mechanika klasyczna wyjaśnia poprawnie zachowanie się większości ciał w naszym otoczeniu.
Frank szwajcarski, waluta Szwajcarii i Liechtensteinu, oznaczenie wg ISO 4217: "CHF" (z łac. Confoederatio Helvetica Franc). Jeden frank szwajcarski dzieli się na 100 centymów (wg nazewnictwa francuskiego - fr. centimes) lub 100 rappów (określanych tak w części niemieckojęzycznej, od niem. Rappen). Obok dolara amerykańskiego, euro, jena japońskiego i funta szterlinga, jedna z podstawowych walut wymienialnych świata. Do roku 1967 monety o nominałach 1/2, 1, 2 i 5 Franków były wykonane ze srebra; od roku 1968 zaprzestano bicia srebnych monet obiegowych. Banknoty występują w nominałach 10, 20, 50, 100, 200 i 1000 franków.

Petersburg

Kiedy Euler kończył studia, dwaj synowie Johanna Bernoulliego – Daniel i Mikołaj (II) – pracowali dla Petersburskiej Akademii Nauk. Gdy w lipcu 1726 roku Mikołaj po roku spędzonym w Rosji zmarł na zapalenie wyrostka robaczkowego, Daniel, objąwszy po bracie funkcję na wydziale matematyczno-fizycznym, zarekomendował Eulera na wakujące po swoim odejściu stanowisko na fizjologii. W listopadzie 1726 roku Euler zaakceptował tę ofertę, wstrzymał się jednak z wyjazdem do Rosji do wiosny roku następnego – starał się w tym czasie bez powodzenia o objęcie katedry fizyki na Uniwersytecie w Bazylei.

W matematyce, wzór Eulera-Maclaurina daje silne połączenie między całkami (zobacz rachunek różniczkowy i całkowy) a sumami. Może być użyty do przybliżania całek przez skończone sumy lub odwrotnie, do szacowania skończonych sum i nieskończonych szeregów przez całki. Wzór został odkryty niezależnie przez Leonharda Eulera i Colina Maclaurina około 1735. Euler potrzebował go do obliczenia wolno zbiegających nieskończonych szeregów, podczas gdy Maclaurin wykorzystał go do przybliżonego obliczania całek.
Johann Bernoulli ( ur. 27 lipca 1667 w Bazylei, zm. 1 stycznia 1748 , tamże) – matematyk i fizyk szwajcarski. Pochodził ze znanej rodziny matematyków – Bernoullich. Jego synem był Daniel Bernoulli, bratem – Jacob. Był profesorem uniwersytetów w Groningen (Holandia) od 1695 i Bazylei od 1705 roku. Zajmował się rachunkiem różniczkowym, całkowym i wariacyjnym oraz liniami geodezyjnymi. Sformułował i rozwiązał niezależnie od brata Jakoba zagadnienie brachistochrony.

Znaczek byłego Związku Radzieckiego wydany w 1957 r. dla uczczenia 250. rocznicy urodzin Eulera. Tekst mówi: 250 lat od urodzenia wielkiego matematyka i akademika, Leonarda Eulera.

Do stolicy Rosji Euler przybył 17 maja 1727 roku. Z posady na wydziale medycznym został awansowany na stanowisko na odpowiedniejszym dla niego wydziale matematycznym. Zamieszkał razem z Danielem Bernoullim, z którym poza tym często ściśle współpracował. Euler doskonalił swoją znajomość języka rosyjskiego i osiadł na dobre w petersburskim życiu; dodatkowo zaangażował się do pracy w służbie medycznej rosyjskiej marynarki wojennej.

Prawo wzajemności reszt kwadratowych – twierdzenie teorii liczb, które pozwala rozstrzygnąć, czy dana kongruencja stopnia 2 ma rozwiązanie. Prawo wzajemności udowodnił Gauss, choć znali je już Euler i Legendre.
Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfina – stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejszą dodatnią wartość x, dla której sin(x) = 0.

Petersburski Uniwersytet Państwowy, założony przez cara Piotra I (zwanego później Wielkim), stawiał sobie za zadanie poprawienie stanu edukacji w Rosji i zmniejszenie dystansu jaki w nauce dzielił ten kraj od zachodniej Europy. W związku z powyższym celem petersburska uczelnia stwarzała cudzoziemskim uczonym takim jak Euler szczególnie atrakcyjne warunki; źródła finansowania akademii były zasobne, jej biblioteka zaś – złożona z księgozbiorów samego Piotra I i rosyjskiej arystokracji – wszechstronnie zaopatrzona. A, jako że studentów na uczelni nie było zbyt wielu, uczeni nieobciążeni pracą dydaktyczną mogli się skupić na badaniach naukowych. Okolicznością im sprzyjającą była także zasada całkowitej swobody badań.

Zez (łac. strabismus, gr. Strabismus (z Greki: στραβισμός strabismos, od στραβίζειν strabizein "mrużyć," od στραβός strabos "mrużenie, zmrużone-oko")) jest wadą oczu objawiającą się osłabieniem mięśni ocznych, co powoduje zmianę kąta patrzenia jednego oka względem drugiego. Efektem zeza jest zaburzenie widzenia stereoskopowego.
Planetoida (planeta + gr. eídos postać), asteroida (gr. asteroeidés – gwiaździsty), planetka (ang. minor planet) – ciało niebieskie o małych rozmiarach - od kilku metrów do czasem ponad 1000 km, obiegające gwiazdę centralną (w Układzie Słonecznym - Słońce), posiadające stałą powierzchnię skalną lub lodową, bardzo często – przede wszystkim w przypadku asteroid mniejszych i mało masywnych – o nieregularnym kształcie, często noszącym znamiona kolizji z innymi podobnymi obiektami.

W dniu przybycia Eulera do Petersburga zmarła dobrodziejka Akademii, wdowa po Piotrze I, jego następczyni na tronie – cesarzowa Katarzyna I, która usiłowała kontynuować nowoczesne dzieło swego zmarłego męża. Z chwilą jej śmierci i nastaniem panowania dwunastoletniego Piotra II wzrosło znaczenie rosyjskiej arystokracji – wielce podejrzliwej w stosunku do cudzoziemskich naukowców; wydarzenia te były przyczyną cięć funduszy przeznaczonych dla akademii i licznych trudności, wobec których stanął Euler i jego koledzy z uczelni.

Rekurencja albo rekursja (ang. recursion, z łac. recurrere, przybiec z powrotem) to w logice, programowaniu i w matematyce odwoływanie się np. funkcji lub definicji do samej siebie. Wbrew próbom rozróżnienia terminów [potrzebne źródło] rekursja i rekurencja w rzeczywistości słowa te mają identyczne znaczenie[potrzebne źródło].
Pamięć ejdetyczna (gr. είδος - to, co jest widziane), pamięć fotograficzna, wyobraźnia ejdetyczna to zdolność odtwarzania złożonych obrazów, dźwięków i innych obiektów z bardzo dużą dokładnością, którą według niektórych badań dysponują nieliczne osoby. Pamięć ejdetyczna była badana przez takich psychologów jak Erich Jaensch i Aleksander Łuria, opisywana przez Habera.

Warunki poprawiły się nieco po śmierci Piotra II; Euler przechodząc różne uczelniane stanowiska szybko awansował, by w 1731 roku zostać profesorem fizyki. Dwa lata później Daniel Bernoulli, który miał dosyć panującej w Rosji cenzury i wrogości, z którą spotykał się w Petersburgu, wrócił do Bazylei. Euler objął po nim wydział matematyki.

Richard Phillips Feynman [ˈɹɪtʃɝd ˈfɪlɪps ˈfaɪnmən] (ur. 11 maja 1918 w Nowym Jorku, zm. 15 lutego 1988 w Los Angeles) – amerykański fizyk teoretyk.
Chrześcijaństwo, chrystianizm ( ludzi (1/3 ludności świata), biorąc pod uwagę wszystkie odłamy wchodzące w jej skład. Zgodnie z Dziejami Apostolskimi (11,26) "W Antiochii po raz pierwszy nazwano uczniów chrześcijanami" (gr. Χριστιανός).

7 stycznia 1734 r. ożenił się z Katarzyną Gsell, córką artysty malarza z petersburskiego gimnazjum, pochodzącą podobnie jak Euler z rodziny szwajcarskiej. Młodzi małżonkowie kupili dom nad Newą. Doczekali się w sumie trzynaściorga potomstwa, z których tylko pięcioro przeżyło lata dziecięce.

Berlin

Znaczek byłej NRD, wydany dla uczczenia 200. rocznicy śmierci Eulera. Pośrodku – jeden ze wzorów Eulera.

Euler zaniepokojony przeciągającym się w Rosji wrzeniem rozważał opuszczenie Petersburga. W końcu zaakceptował złożoną jakiś czas wcześniej przez Fryderyka II Hohenzollerna propozycję przeniesienia się do Berlina i objęcia stanowiska w Pruskiej Akademii Nauk. Wyjechał z Petersburga 19 czerwca 1741 roku i przez 25 lat mieszkał w Berlinie. Tam napisał ponad 380 artykułów i opublikował dwie spośród swoich prac, które w największym stopniu rozsławiły jego imię. Były to: praca poświęcona funkcjom – Introductio in analysin infinitorum i dzieło dotyczące rachunku różniczkowego – Institutiones calculi differentialis.

Paralaksa – efekt niezgodności różnych obrazów tego samego obiektu obserwowanych z różnych kierunków. W szczególności paralaksa odnosi się do jednoczesnego obserwowania obiektów leżących w różnych odległościach od obserwatora lub urządzenia obserwującego, a objawia się tym, że obiekty te na obu obrazach są oddalone od siebie o odmienną odległość kątową lub też nachodzą na siebie na tych obrazach w odmiennym stopniu.
Język grecki albo greka — język indoeuropejski z grupy helleńskiej, w starożytności ważny język basenu Morza Śródziemnego. W cywilizacji Zachodu zaadaptowany obok łaciny jako język terminologii naukowej, wywarł wpływ na wszystkie współczesne języki europejskie, a także część pozaeuropejskich i starożytnych. Od X wieku p.n.e. zapisywany jest alfabetem greckim. Obecnie, jako język nowogrecki, pełni funkcję języka urzędowego w Grecji i Cyprze. Jest też jednym z języków oficjalnych Unii Europejskiej. Po grecku mówi współcześnie około 15 milionów ludzi.

W czasie pobytu w Berlinie Euler został poproszony o udzielanie prywatnych lekcji księżniczce Anhalt-Dessau, siostrzenicy Fryderyka. Napisał do niej ponad 200 listów, co zaowocowało późniejszym wydaniem ich w formie drukowanej pod postacią bardzo dobrze się sprzedających Listów do księżniczki niemieckiej. Zawierają one przystępne Eulerowskie naświetlenie różnych tematów związanych z matematyką i fizyką, dają także – wartościowe z dzisiejszego punktu widzenia – wyobrażenie o osobowości uczonego i o jego poglądach na wiarę. Książka ta, czytana częściej niż którekolwiek z dzieł matematycznych Eulera, stała się – według dzisiejszej terminologii – bestsellerem; była szeroko znana – opublikowano ją w Europie i Stanach Zjednoczonych. Popularność Listów świadczy o rzadkiej wśród naukowców zajmujących się badaniami zdolności Eulera do przekazywania treści naukowych laikom.

2002 Euler – planetoida z pasa głównego asteroid okrążająca Słońce w ciągu 3 lat i 278 dni w średniej odległości 2,42 j.a. Została odkryta 29 sierpnia 1973 roku w Crimean Astrophysical Observatory w Nauchnij na Krymie przez Tamarę Smirnową. Nazwa planetoidy pochodzi od Leonharda Eulera, szwajcarskiego matematyka i fizyka. Przed nadaniem nazwy planetoida nosiła oznaczenie tymczasowe (2002) 1973 QQ1.
Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z Elei

Mimo ogromnego udziału Eulera w znacznym ówcześnie prestiżu Akademii, uczony został w końcu zmuszony do opuszczenia Berlina. Przyczyną był, przynajmniej częściowo, osobisty konflikt Eulera z Fryderykiem. Fryderyk z upływem czasu zaczął uważać Eulera za człowieka prostego, zwłaszcza gdy porównywał go do uczonych z kręgu filozofów, których on – król Prus – sprowadził do Akademii. Był wśród nich Wolter i to on cieszył się uprzywilejowaną pozycją w towarzystwie skupionym wokół króla. Euler, zwyczajny religijny człowiek, niewolniczo oddany swojej pracy, był bardzo konwencjonalny w swoich przekonaniach i gustach. Pod wieloma względami stanowił wprost przeciwieństwo Woltera. Jego przygotowanie retoryczne było bardzo ograniczone, przy tym miał skłonność do brania udziału w dyskusjach na tematy, w których nie był zbyt biegły, co czyniło z niego częsty cel dowcipów Woltera. Poza tym Fryderyk wyrażał niezadowolenie z praktycznych zdolności inżynierskich Eulera:

Newa (ros: Нева) – rzeka w europejskiej części Rosji, największa w zlewisku Morza Bałtyckiego; długość 74 km; wypływa z jeziora Ładoga i uchodzi do Zatoki Fińskiej w Sankt Petersburgu.
Pierre Bouguer (polska wersja imienia – Piotr); (ur. 16 lutego 1698, zm. 15 sierpnia 1758) – francuski matematyk, astronom i geodeta. Nazywany jest "ojcem nauki o architekturze okrętów".

Pogorszanie się wzroku

Portret Eulera z roku 1753, autorstwa Emanuela Handmanna. Widać na nim zez i problemy Eulera z powieką prawego oka. Lewe oko wygląda na zdrowe, choć później zostało zniszczone przez kataraktę. Wzrok Eulera pogarszał się przez cały czas jego kariery matematyka.

Trzy lata po przejściu niemal śmiertelnej gorączki, która dotknęła go w roku 1735 Euler prawie całkowicie stracił wzrok w prawym oku, ale obarczał winą za ten stan rzeczy swoją drobiazgową pracę kartografa, którą wykonywał dla Akademii Petersburskiej. Wzrok w tym oku pogorszył się Eulerowi w ciągu jego pobytu w Niemczech tak bardzo, że Fryderyk mawiał o nim "Cyklop". W późniejszym okresie Euler cierpiał na kataraktę w drugim, dotychczas zdrowym oku; doprowadziła go ona już w kilka tygodni po jej odkryciu do niemal całkowitej ślepoty. Mimo tych kłopotów zdrowotnych wydajność Eulera w jego pracy spadła tylko w niewielkim stopniu – kłopoty ze wzrokiem kompensował swoją fotograficzną pamięcią i umiejętnościami dokonywania obliczeń pamięciowych. Był na przykład zdolny do powtórzenia bez najmniejszego wahania słowo w słowo Eneidy Wergiliusza, co więcej: był w stanie wskazać jakim wersem zaczyna się i jakim kończy dowolna stronica tej książki.

Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną (rozróżnia się je zwykle z kontekstu).
Szereg Fouriera – w matematyce szereg, pozwalający rozłożyć funkcję okresową, spełniającą warunki Dirichleta, na sumę funkcji trygonometrycznych. Nauka na temat szeregów Fouriera jest gałęzią analizy Fouriera. Szeregi Fouriera zostały wprowadzone w 1807 roku przez Josepha Fouriera w celu rozwiązania równania ciepła dla metalowej płyty. Doprowadziło to jednak do przewrotu w matematyce i wprowadzenia wielu nowych teorii. Dziś mają one wielkie znaczenie między innymi w fizyce, teorii drgań, przetwarzaniu sygnałów, obrazów a nawet w muzyce (kompresja mp3 i jpeg).

Ostatni etap życia

Sytuacja w Rosji poprawiła się po objęciu tronu przez Katarzynę II (1762) i w 1766 roku Euler zaakceptował zaproszenie do powrotu do Akademii w Petersburgu i w mieście tym spędził resztę życia. Na jego drugim pobycie w stolicy Rosji zaciążyły tragiczne wydarzenia; w 1771 roku pożar, który wybuchł w Petersburgu, strawił dom Eulera i jego samego kosztował niemal życie. Dwa lata później stracił żonę, z którą przeżył prawie 40 lat. Trzy lata po jej śmierci ożenił się ponownie.

Teoria muzyki – ogólne zasady i zagadnienia związane z muzyką (na ogół poważną) wyrażone w sposób czysto teoretyczny. W skład teorii muzyki wchodzi m.in. notacja muzyczna (zapis muzyczny), elementy dzieła muzycznego - skróty i oznaczenia, praktyka wykonawcza, harmonia, kontrapunkt.
Jean Antoine Nicolas Caritat markiz de Condorcet (ur. 17 września 1743 w Ribemont, zm. 29 marca 1794 w Bourg-la-Reine) – francuski filozof-racjonalista, matematyk, ekonomista i polityk. Jako jeden z pierwszych w historii głosił liberalizm w ekonomii, powszechną i bezpłatną edukację, konstytucjonalizm i równouprawnienie kobiet i ludzi wszystkich ras.

18 września 1783 roku w Petersburgu Euler zmarł, doznawszy wylewu krwi do mózgu; pochowano go w ławrze Aleksandra Newskiego. Dorobek życia Eulera, wraz z listą jego prac, został opisany przez jego zięcia, Nicolausa von Fussa, sekretarza Cesarskiej Akademii Nauk i Sztuk Pięknych w Petersburgu. Pośmiertną mowę pochwalną na cześć Eulera skierowaną do Akademii Francuskiej napisał matematyk i filozof francuski markiz de Condorcet, który takimi słowami skomentował fakt śmierci Eulera:

Ateizm – odrzucenie lub stanowisko, że . W najszerszym znaczeniu jest to brak wiary w istnienie bóstw. Słowo ateizm pochodzi od greckiego ἄθεος – ἀ- (a-, “nie”) + θεός (theos, “bóg”). Określenie to było przypisywane każdemu, kogo uznano za wierzącego w fałszywych bogów, żadnych bogów lub doktryny wchodzące w konflikt z ówczesnymi religiami.
Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej przy pomocy wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora, od nazwiska angielskiego matematyka, Sir Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte o tę własność może przyjąć postać szeregu, zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest nieco uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych.

Wkład do matematyki

Euler wniósł wkład do niemal wszystkich ówczesnych dziedzin matematyki – geometrii, rachunku różniczkowego i całkowego, trygonometrii, algebry, teorii liczb. W dziedzinie fizyki zajmował się m.in. ciałem stałym, w astronomii – teorią księżyca. Waga jego dokonań w matematyce nie może być przeceniona: gdyby wydać drukiem wszystkie jego dzieła, z których wiele ma fundamentalne znaczenie, zajęłyby od 60 do 80 woluminów oprawionych in quarto. Za jedynego matematyka równie płodnego może być uważany XX-wieczny uczony węgierski, Paul Erdős.

Analiza zespolona - dziedzina matematyki, w szczególności analizy matematycznej, obejmująca swą tematyką teorię funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej i zespolonej, jednej i wielu zmiennych - w tym bardzo rozbudowane teorie funkcji analitycznych, funkcji eliptycznych czy odwzorowań konforemnych. Jej zastosowania sięgają teorii liczb, teorii fraktali, matematyki stosowanej, a także pewnych dziedzin fizyki.
Niemiecka Republika Demokratyczna w skrócie NRD (niem. Deutsche Demokratische Republik, DDR) - państwo powstałe 7 października 1949 na terenie byłej sowieckiej strefy okupacyjnej (niem. Sowjetische Besatzungszone in Deutschland, SBZ). 3 października 1990 NRD przyłączyła się do RFN.

Notacja matematyczna

Euler, dzięki swoim licznym i szeroko rozpowszechnionym podręcznikom, zainicjował i spopularyzował kilka konwencji zapisu; w szczególności, wprowadził pojęcie funkcji i jako pierwszy zastosował zapis $f(x)$ dla oznaczenia funkcji $f$ argumentu $x$ . Był też autorem nowoczesnego oznaczania funkcji trygonometrycznych, litery $e$ jako podstawy logarytmu naturalnego (obecnie znanej także jako liczba Eulera), zastosowania greckiej litery Σ dla oznaczania sumy i litery $i$ do wyrażenia jednostki urojonej. Użycie greckiej litery π dla oznaczenia stosunku obwodu okręgu do jego średnicy nie było wprawdzie jego autorstwa, ale zostało przez niego rozpropagowane.

Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.
Kartezjusz (fr. René Descartes, łac. Renatus Cartesius, ur. 31 marca 1596 r. w La Haye-en-Touraine w Turenii, zm. 11 lutego 1650 r. w Sztokholmie) – francuski matematyk, filozof i fizyk, jeden z najwybitniejszych uczonych XVII wieku, uważany za prekursora nowożytnej kultury umysłowej.

Analiza matematyczna

Rozwój rachunku różniczkowego był jednym z najważniejszych prądów badawczych matematyki XVIII wieku i to dzięki Bernoullim – rodzinie zaprzyjaźnionej z Eulerami – dokonał się na tym polu wielki postęp. Ich wpływ spowodował, że analiza znalazła się w centrum zainteresowań Eulera. Chociaż niektóre z przeprowadzonych przez niego dowodów są nie do zaakceptowania z punktu widzenia obecnych rygorów dowodzenia twierdzeń, idee Eulera zapoczątkowały wielki postęp w tej dziedzinie.

Belka – w budownictwie poziomy lub ukośny element konstrukcyjny przyjmujący obciążenia z powierzchni poziomych i przenoszący je na podpory (ściany, słupy, filary, kolumny). Belka pracuje na zginanie i ścinanie (w belkach, zwłaszcza w elementach ukośnych występują także naprężenia rozciągające lub ściskające). Może być wykonana z drewna, stali, betonu, żelbetu, czasem z kamienia. Belką nazywamy także element prętowy zakrzywiony w planie. Nie jest belką element przenoszący obciążenia tylko wzdłuż jej osi.
Znaczek pocztowy – znak pocztowy, służący jako środek uiszczenia opłaty za usługi pocztowe. Przeważnie jest w postaci małego papierowego prostokąta przyklejanego do koperty.

Jest bardzo dobrze znany z częstego używania w analizie szeregów potęgowych; przyczynił się do ich znacznego rozwoju; był m.in. prekursorem wyrażania rozmaitych funkcji jako sumy nieskończenie wielu składników szeregu potęgowego, np.: $e^x = \sum_{n=0}^\infty {x^n \over n!} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{0!} + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right).$

W szczególności odkrył rozwinięcie za pomocą tego rodzaju szeregu funkcji arcus tangens i liczby $e$ . Jego odważne – choć, według obecnych standardów, technicznie niepoprawne – użycie szeregów potęgowych, umożliwiło mu w 1735 roku rozwiązanie słynnego problemu bazylejskiego: $\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{\pi ^2}{6}.$

Geometryczna interpretacja wzoru Eulera

Euler zaczął używać w dowodach analitycznych funkcji wykładniczej i logarytmów. Znalazł sposób ujmowania różnych funkcji logarytmicznych w postaci szeregów potęgowych; udało mu się również zdefiniować logarytm dla argumentów ujemnych i zespolonych, co znacznie rozszerzyło zakres ich zastosowania w matematyce. Euler zdefiniował też funkcję wykładniczą dla liczb zespolonych i odkrył relacje łączące ją z funkcjami trygonometrycznymi. Równość Eulera stwierdza, że dla dowolnej liczby rzeczywistej φ zespolona funkcja wykładnicza daje się wyrazić w postaci:

Uniwersytet Bazylejski (niem.: Universität Basel) – najstarsza uczelnia Szwajcarii (rok zał. 1460). Akt założycielski w formie bulli papieża Piusa II pochodzi z 12 listopada 1459 roku; oficjalna uroczystość otwarcia miała miejsce 4 kwietnia roku następnego.
Nicolaus II Bernoulli [znany też jako Niklaus Bernoulli, Nikolaus Bernoulli, Mikołaj II Bernoulli] (ur. 6 lutego 1695 w Bazylei, zm. 31 lipca 1726 w Petersburgu) –

$e^{i\phi} = \cos \phi + i\sin \phi \,.$

Szczególnym przypadkiem powyższej równości jest tożsamość: $e^{i \pi} +1 = 0 \,$

nazwana przez Richarda Feynmana "najniezwyklejszym wzorem w matematyce", który łączy w sobie znaki: dodawania, mnożenia, potęgowania, równości, a przy tym angażuje pięć najważniejszych stałych matematycznych: 0, 1, $e$ , $i$ oraz $\pi$ .

Euler opracował też teorię funkcji specjalnych, wprowadzając funkcję Г; zaproponował także nową metodę rozwiązywania równań czwartego stopnia. Znalazł sposób obliczania całek o granicach zespolonych, zapoczątkowując tym rozwój nowoczesnej analizy zespolonej. Dał początki rachunkowi wariacyjnemu z najbardziej znanym wynikiem tych rozważań – równaniem Eulera-Lagrange'a.

Trygonometria – dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki miarowe między bokami i kątami trójkątów oraz funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie w związku z zagadnieniami pomiarów na powierzchni Ziemi oraz potrzebami żeglugi morskiej (określenia położenia i kierunku przy pomocy ciał niebieskich). Na rozwój trygonometrii miały też znaczący wpływ badania astronomiczne.
Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

Euler był też pionierem użycia metod analitycznych w rozwiązywaniu problemów teorii liczb. Tym sposobem połączył w jedną nową dziedzinę analitycznej teorii liczb dwie zasadniczo odmienne gałęzie matematyki. Niejako przy okazji stworzył podwaliny pod teorię szeregów hipergeometrycznych, funkcji hiperbolicznych i analityczną teorię ułamków łańcuchowych. A oto przykład zastosowania przez niego metod analizy w teorii liczb: używając twierdzenia o rozbieżności szeregu harmonicznego dowiódł nie tylko, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, ale także, że szereg ich odwrotności jest rozbieżny; użył też metod analizy dla zrozumienia w jaki sposób rozmieszczone są liczby pierwsze. Prace Eulera w tej dziedzinie doprowadziły do rozwoju twierdzenia o liczbach pierwszych.

Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfina – stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejszą dodatnią wartość x, dla której sin(x) = 0.
Google Książki (Google Book Search) – wyszukiwarka książek wykorzystująca technologię OCR. Wyszukiwanie obejmuje książki znajdujące się w największych księgarniach i bibliotekach na świecie. Niektóre książki znajdujące się w serwisie można przeczytać w całości, do większości jednak jest dostępny jedynie podgląd strony tytułowej i spisu treści bądź wglądu w ogóle nie ma. Pierwotnie usługa została nazwana Google Print, lecz 17 listopada 2005 zmieniła nazwę.

Teoria liczb

W wielkim zainteresowaniu, jakim Euler darzył teorię liczb, zauważalny jest wpływ znanego mu z akademii petersburskiej Krystiana Goldbacha. Wiele z wczesnych prac Eulera w tej dziedzinie matematyki bazowało na dokonaniach Piotra Fermata; między innymi, obalił hipotezę Fermata o pierwszości liczb Fermata $F(n) := 2^{2^n} + 1$ , rozkładając $F(5) = 641*6700417$ .

Pierre de Fermat (ur. 17 sierpnia 1601 w Beaumont-de-Lomagne, zm. 12 stycznia 1665 w Castres) – matematyk (samouk) francuski, z wykształcenia prawnik i lingwista, od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa sądu) w Tuluzie. Większość jego prac opublikował dopiero po jego śmierci syn (1679). Dokonał wielu odkryć w teorii liczb, m.in. sformułował słynne wielkie twierdzenie Fermata i jeszcze przed Kartezjuszem opracował i stosował metodę współrzędnych w geometrii. Wykazał, że wszystkie krzywe drugiego stopnia da się uzyskać przez odpowiednie przecinanie płaszczyzną powierzchni stożka; podał metodę znajdowania ekstremum funkcji. Jego prace stworzyły też podstawy pod późniejszy rozwój rachunku prawdopodobieństwa.
Udar mózgu (dawniej także apopleksja, z gr. ἀποπληξία = "paraliż"; łac. apoplexia cerebri, insultus cerebri, ang. cerebro-vascular accident, CVA) – zespół objawów klinicznych związanych z nagłym wystąpieniem ogniskowego lub uogólnionego zaburzenia czynności mózgu, powstały w wyniku zaburzenia krążenia mózgowego i utrzymujący się ponad 24 godziny.

Euler odkrył związek między teorią liczb i analizą matematyczną. Udowodnił, że suma odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżna, przez sformułowanie wzoru Eulera, dla wprowadzonej przez siebie (dla argumentów rzeczywistych) funkcji dzeta Riemanna, w terminach liczb pierwszych.

Euler udowodnił tożsamości Newtona (wzory rekurencyjne wiążące sumy potęg wszystkich pierwiastków wielomianu z jego współczynnikami), małe twierdzenie Fermata, twierdzenie Fermata o sumie dwóch kwadratów i wniósł znaczący wkład do twierdzenia Lagrange'a o sumie czterech kwadratów. Odkrył też funkcję funkcję φ (zw. funkcją φ Eulera), przyporządkowującą każdej dodatniej liczbie całkowitej $n$ liczbę mniejszą od $n$ , która informuje ile jest liczb względnie pierwszych z $n$ . Korzystając z właściwości tej funkcji Euler uogólnił małe twierdzenie Fermata w postaci znanej obecnie pod nazwą twierdzenia Eulera o liczbach względnie pierwszych. Uzyskał znaczne wyniki o liczbach doskonałych, które fascynowały ludzi od niepamiętnych czasów, a co najmniej matematyków od czasów Euklidesa - podstawowe twierdzenie o parzystych liczbach doskonałych jest pewną równoważnością, dowiedzioną w jedną stronę przez Euklidesa, a w drugą przez Eulera. Duży postęp poczynił w kierunku twierdzenia o liczbach pierwszych i domyślał się istnienia prawa wzajemności reszt kwadratowych. Te dwa ostatnie pomysły są uważane za fundamentalne dla teorii liczb; utorowały drogę przyszłym pracom Karola Gaussa.

Teoria liczb jest dziedziną matematyki, zajmującą się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, i do dziś dla wielu specjalistów są one szczególnie atrakcyjne.
Dźwięk – wrażenie słuchowe spowodowane falą akustyczną rozchodzącą się w ośrodku sprężystym (ciele stałym, płynie, gazie). Częstotliwości fal, które są słyszalne dla człowieka, zawarte są w paśmie między wartościami granicznymi od ok. 16-20 Hz do ok. 16-20 kHz.

Przed rokiem 1772 Euler dowiódł, że liczba $2^{31}-1 = 2\, 147\, 483\, 647$ jest liczbą pierwszą Mersenne'a. Pozostawała ona największą znaną liczbą pierwszą do roku 1867.

Teoria grafów

Zapoznaj się również z: Zagadnienie mostów królewieckich.

Mapa Królewca z czasów Eulera ukazuje ówczesny układ siedmiu mostów (kolorami zaznaczone: mosty na Pregole i sama rzeka)

W roku 1736 Euler rozwiązał problem znany jako zagadnienie mostów królewieckich. Królewiec w Prusach (obecnie Kaliningrad w Rosji) leży nad rzeką Pregołą na dwóch dużych wyspach, które w czasach Eulera były połączone – wzajemnie ze sobą i ze stałym lądem – siedmioma mostami. Pytanie brzmiało: czy jest możliwe przejście wszystkich siedmiu mostów tylko jeden raz. Odpowiedź, którą znalazł Euler, brzmi: nie; Euler dowiódł, że tzw. ścieżka Eulera przebiegająca raz i tylko raz przez wszystkie krawędzie grafu istnieje tylko wtedy, gdy liczba węzłów o nieparzystej liczbie krawędzi jest równa 0 lub 2. Rozwiązanie tego problemu jest uważane za pierwsze twierdzenie teorii grafów. Euler wprowadził też oznaczenie znane dziś pod nazwą charakterystyki Eulera powierzchni i dodatkowo wzór pokazujący że dla dowolnego wielościanu wypukłego wynosi ona 2 (twierdzenie Eulera dla wielościanów). Studia nad tym wzorem – zwłaszcza Cauchy'ego i L'Huilliera – i jego uogólnienie to początki topologii.

Sir Isaac Newton (ur. 4 stycznia 1643 w Woolsthorpe-by-Colsterworth, zm. 31 marca 1727 w Kensington) – angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof, historyk, badacz Biblii i alchemik.
Katarzyna I Aleksiejewna, Екатерина I Алексеевна właściwie Marta Helena Skowrońska (ur. 15 kwietnia 1683 lub 1684 r. w Jēkabpils w Inflantach, zm. 17 maja 1727 w Petersburgu) – cesarzowa Rosji w latach 1725 - 1727, żona Piotra I Wielkiego (1672-1725).

Matematyka stosowana

Niektóre z największych sukcesów Eulera wiążą się z użyciem metod analizy matematycznej w rozwiązywaniu problemów realnego świata; opisał liczne zastosowania: liczb Bernoulliego, szeregów Fouriera, liczb Eulera (związanych z rozwinięciem w wzór Taylora funkcji sekans i sekans hiperboliczny), stałych – e i π, ułamków łańcuchowych i całek. Zintegrował rachunek różniczkowy Leibniza z metodą fluksji Newtona i rozwinął narzędzia, które ułatwiły obliczenia fizyczne. Uczynił wiele dla rozwoju całkowania numerycznego, odkrywając metodę znaną dzisiaj pod postacią aproksymacji Eulera. Godnymi uwagi w dziedzinie aproksymacji są: metoda Eulera i wzór Eulera-Maclaurina. Ułatwił też używanie równań różniczkowych, zwłaszcza przez wprowadzenie stałej Eulera-Mascheroniego (γ):

Kąty Eulera (od nazwiska szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera) — układ trzech kątów, za pomocą których można jednoznacznie określić wzajemną orientację dwu kartezjańskich układów współrzędnych o jednakowej skrętności w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.
Optyka to dział fizyki, zajmujący się badaniem natury światła, prawami opisującymi jego emisję, rozchodzenie się, oddziaływanie z materią oraz pochłanianie przez materię. Optyka wypracowała specyficzne metody pierwotnie przeznaczone do badania światła widzialnego, stosowane obecnie także do badania rozchodzenia się innych zakresów promieniowania elektromagnetycznego - podczerwieni i ultrafioletu - zwane światłem niewidzialnym.

$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln(n) \right).$

Jednym z najniezwyklejszych zainteresowań Eulera było stosowanie idei matematycznych w muzyce. W roku 1739 napisał Tentamen novae theoriae musicae, mając nadzieję zespolić teorię muzyki z matematyką. Ta część jego pracy nie spotkała się z nazbyt wielką uwagą – wręcz ujęcie to zostało nazwane kiedyś zbyt matematycznym dla muzyków i zbyt muzycznym dla matematyków.

Liczby względnie pierwsze – liczby całkowite, które nie mają innych poza jedynką wspólnych dzielników w rozkładzie na czynniki pierwsze lub, równoważnie, ich największym wspólnym dzielnikiem jest jedność; te, w których żadna para nie ma wspólnych dzielników w rozkładzie poza jedynką lub, równoważnie, których największy wspólny dzielnik dla dowolnej pary wynosi jeden, nazywa się parami względnie pierwszymi.
Katarzyna II (właściwie: Sophie Friederike Auguste zu Anhalt-Zerbst, ros. Екатерина II Алексеевна: Jekaterína II Alekséjewna), znana jako Katarzyna Wielka (ur. 2 maja 1729 w Szczecinie, zm. 17 listopada 1796 w Petersburgu) – cesarzowa (Imperatrica) Rosji, żona cara Piotra III (zm. 1762).

Fizyka i astronomia

Euler rozwinął model belki nazwany później modelem Bernoulliego-Eulera; stanowił on kamień węgielny nowoczesnej myśli inżynierskiej. Obok pomyślnego stosowania własnych narzędzi analitycznych w rozwiązywaniu problemów mechaniki klasycznej, Euler używał ich do rozwiązywania problemów astronomii sferycznej. Jego praca w dziedzinie astronomii znajdowała uznanie w paryskiej akademii, której nagrody wielokrotnie otrzymywał. Oto niektóre z astronomicznych osiągnięć Eulera: określanie z wielką dokładnością orbit komet i innych ciał niebieskich, wyjaśnienie natury komet i wyliczenie paralaksy Słońca. Jego obliczenia przyczyniły się do zwiększenia dokładności tabel długości geograficznej.

Kartografia – dziedzina nauki o mapach (w tym o atlasach, globusach, modelach plastycznych – mapach plastycznych itp.), teorii map, metodach ich sporządzania i użytkowania; jak również dziedzina działalności organizacyjnej i usługowej, związanej z opracowywaniem, reprodukcją i rozpowszechnianiem map.
Euklides z Aleksandrii (gr. Εὐκλείδης, Eukleides, ur. ok. 365 r. p.n.e., zm. ok. 300 r. p.n.e.) – matematyk grecki pochodzący z Aten, przez większość życia działający w Aleksandrii.

Euler wniósł też ważny wkład do rozwoju optyki. W swojej pracy Optyka nie zgadzał się z ówcześnie obowiązującą korpuskularną teorią światła Newtona. Jego praca z roku 1740 w dziedzinie optyki sprawiła, iż falowa teoria światła zaproponowana przez Huygensa stała się dominującym paradygmatem aż do czasu rozwinięcia kwantowej teorii światła, łączącej obydwa te podejścia.

Cyklop (Kiklop, gr. Κύκλωπες Kýklōpes, łac. Cyclopes, "okrągłoocy") – w mitologii greckiej cyklopi to olbrzymy z jednym okiem pośrodku czoła, zajmujące się pasterstwem i budową ogromnych murów (cyklopowe mury). Pracowali też u Hefajstosa w kuźni i kuli pioruny dla Zeusa.
Sigma (st.gr. σῖγμα, nw.gr. σίγμα, pisana Σσ lub ς) jest osiemnastą literą współczesnego alfabetu greckiego, przy czym "Σ" to majuskuła, "σ" to minuskuła pisana w środku wyrazu, zaś "ς" na jego końcu. W dawnym greckim systemie liczbowym używano jej również do oznaczania liczby 200.

Logika

Euler jest uznawany za autora użycia krzywych zamkniętych dla zilustrowania sylogistycznego rozumowania (1768). Diagramy te stały się znane pod nazwą diagramów Eulera.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)