Liczba mierzalna - Polski Serwis Naukowy

Liczba mierzalna – nieprzeliczalna liczba kardynalna $\kappa$ na której istnieje $\kappa$ -zupełny niegłówny ultrafiltr. Liczba rzeczywiście mierzalna to nieprzeliczalna liczba kardynalna $\kappa$ na której istnieje $\kappa$ -addytywna miara która znika na punktach i która mierzy wszystkie podzbiory $\kappa$ .

Liczby mierzalne są punktem wyjściowym dla części hierarchii dużych liczb kardynalnych związanej z zanurzeniami elementarnymi V w model wewnętrzny M.

Gra nieskończona – wyimaginowany proces, w którym dwie osoby podejmują szereg (zwykle naprzemiennych) wyborów ponumerowanych elementami pewnej nieskończonej liczby porządkowej. Po zakończeniu procesu pewne zadane z góry kryterium używane jest do rozstrzygnięcia, który z graczy odniósł zwycięstwo.

Hipoteza continuum (skr. CH, od ang. continuum hypothesis) – postawiona przez Georga Cantora hipoteza teorii mnogości dotycząca mocy zbiorów liczb naturalnych i liczb rzeczywistych.

Rys historyczny

W 1905, Giuseppe Vitali podał przykład podzbioru liczb rzeczywistych ${\mathbb R}$ który nie może być mierzalny względem żadnej przeliczalnie addytywnej miary niezmienniczej na przesunięcia (zbiór Vitalego).

Stefan Banach sformułował następujący problem: Czy istnieje przeliczalnie addytywna miara μ mierząca wszystkie podzbiory ${\mathbb R}$ i znikająca na punktach.

W 1929, Stefan Banach i Kazimierz Kuratowski wykazali, że przy założeniu CH taka miara nie istnieje.

W 1930, Stanisław Ulam wykazał, że każda rzeczywiście mierzalna liczba kardynalna jest (słabo) nieosiągalna. W tym samym artykule Ulam rozważał miary o wartościach w $\{0,1\}$ wprowadzając tak pojęcie liczby mierzalnej.

Definicje

Niech $\kappa$ będzie liczbą kardynalną.

Liczba nieosiągalna - regularna graniczna liczba kardynalna. Regularne silnie graniczne liczby kardynalne nazywane są liczbami silnie nieosiągalnymi. Liczby nieosiągalne są najprostszymi przykładami tzw. dużych liczb kardynalnych.

Aksjomatyka Zermelo-Fraenkla (skr. ZF) – powszechnie przyjmowany system aksjomatów zaproponowany przez Ernsta Zermelo w 1904 r., który został później uzupełniony przez Abrahama A. Fraenkela. System ten i opartą na nim teorię zbiorów nazywa się teorią mnogości ZF. Aksjomatyka ZF uzupełniona o aksjomat wyboru nazywana jest teorią mnogości ZFC.

$\kappa$ -addytywna miara na $\kappa$ to funkcja $\mu:{\mathcal P}(\kappa)\longrightarrow [0,1]$ taka, że

(a) $\mu(\kappa)=1$ ale $\mu(\{x\})=0$ dla każdego $x\in \kappa$ , oraz (b) jeśli $\{A_\alpha:\alpha<\lambda\}\subseteq {\mathcal P}(\kappa)$ jest rodziną parami rozłącznych podzbiorów $\kappa$ oraz $\lambda<\kappa$ , to $\mu\left(\bigcup\limits_{\alpha<\lambda}A_\alpha\right)=\sum\limits_{\alpha<\lambda}\mu(A_\alpha):=\sup\Bigg\{\sum_{i\in I}\mu(A_i): I$ jest skończonym podzbiorem $\lambda\Bigg\}$ .

Filtr $F$ podzbiorów zbioru $S$ jest

(i) $\kappa$ -zupełny jeśli przekrój mniej niż $\kappa$ zbiorów z $F$ należy do $F$ , (ii) filtrem głównym jeśli $F=\{X\subseteq S:A\subseteq X\}$ dla pewnego zbioru $A\subseteq S$ .

Nieprzeliczalna liczba kardynalna $\kappa$ jest liczbą rzeczywiście mierzalną jeśli istnieje $\kappa$ -addytywna miara na $\kappa$ . Nieprzeliczalna liczba kardynalna $\kappa$ jest liczbą mierzalną jeśli istnieje $\kappa$ -addytywna miara na $\kappa$ o wartościach w $\{0,1\}$ .

Stanisław Marcin Ulam (ur. 13 kwietnia 1909 we Lwowie, zm. 13 maja 1984 w Santa Fe) – polski i amerykański matematyk (w 1943 przyjął obywatelstwo amerykańskie), przedstawiciel lwowskiej szkoły matematycznej. Współtwórca amerykańskiej bomby termojądrowej Projekt Teller-Ulam.

Robert M. Solovay – amerykański matematyk specjalizujący się w logice matematycznej. Emerytowany profesor matematyki na Uniwersytecie Kalifornijskim w Berkeley. Znany głównie za wkład w teorię mnogości. Członek Amerykańskiej Akademii Sztuki i Nauki (j.ang. American Academy of Arts and Sciences).

Należy zauważyć, że jeśli $\mu:{\mathcal P}(\kappa)\longrightarrow \{0,1\}$ jest $\kappa$ -addytywną miarą na $\kappa$ , to $U=\{A\subseteq\kappa:\mu(A)=1\}$ jest $\kappa$ -zupełnym niegłównym ultrafiltrem na $\kappa$ . Każdy taki ultrafiltr wyznacza też odpowiednią miarę. Zatem nieprzeliczalna liczba kardynalna $\kappa$ jest mierzalna wtedy i tylko wtedy gdy istnieje $\kappa$ -zupełny niegłówny ultrafiltr podzbiorów $\kappa$ . (To ostatnie sformułowanie jest najczęściej używaną definicją liczby mierzalnej.)

Zbiory analityczne - podzbiory przestrzeni polskiej które są ciągłymi obrazami zbiorów borelowskich. Dopełnienia zbiorów analitycznych to zbiory koanalityczne.

Zbiór nieprzeliczalny – zbiór, który nie jest przeliczalny. Inaczej: zbiór nieskończony, który nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (zatem ma większą moc). Pojęcie zbioru nieprzeliczalnego pochodzi od Georga Cantora.

Przykładowe własności

Każda liczba mierzalna jest rzeczywiście mierzalna.

W ZFC, każda liczba rzeczywiście mierzalna jest granicą liczb słabo nieosiągalnych a każda liczba mierzalna jest liczbą silnie nieosiągalną. Zatem nie można udowodnić w ZFC że istnieją liczby rzeczywiście mierzalne. Natomiast jeśli ZF jest niesprzeczne, to także teoria "ZFC + nie istnieją liczby rzeczywiście mierzalne" jest niesprzeczna.

Zakładając ZF+AD:

$\aleph_1$ jest liczbą mierzalną (a nawet filtr generowany przez cluby jest ultrafiltrem) oraz
$\aleph_2$ jest liczbą mierzalną.

Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na analityczne podzbiory ${\mathcal N}$ są zdeterminowane.

Robert M. Solovay udowodnił, że

(i) Jeśli $\kappa$ jest liczbą mierzalną, to pewne pojęcie forsingu ${\mathbb P}$ forsuje że $2^{\aleph_0}=\kappa$ i $\kappa$ jest rzeczywiście mierzalna. (ii) Jeśli $\kappa$ jest liczbą rzeczywiście mierzalną, to $\kappa$ jest mierzalna w pewnym modelu wewnętrznym ZFC.

Jeśli $\kappa$ jest liczbą mierzalną oraz $2^\lambda=\lambda^+$ dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej $\lambda<\kappa$ , to również $2^\kappa=\kappa^+$ .

Jeśli istnieje liczba mierzalna, to każda przestrzeń Banacha ma własność Lebesgue-PIP.

Zobacz też

teoria mnogości

duże liczby kardynalne

liczba nieosiągalna

Przypisy

Banach, S.; Kuratowski, C.: Sur une généralisation du problème de la mesure. "Fundamenta Mathematicae"14 (1929), s. 127-131.
Ulam, S.: Zur Maßtheorie in der allgemeinen Mengenlehre. "Fundamenta Mathematicae" 16 (1930), s. 140-150.
Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. "Fundamenta Mathematicae" 66 (1969/1970), s. 287-291.
Solovay, R.M.: Real-valued measurable cardinals. "Axiomatic set theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967)", Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1971, s. 397-428.