Liczby - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy pojęcia liczby w matematyce. Zapoznaj się również z: inne znaczenia.

Zawieranie się zbiorów i ogólniej – klas liczbowych w sobie. Symbol $\mathbb{X}\subset \mathbb{Y}$ oznacza tu, że można skonstruować klasę liczb $\mathbb{X}$ tak, aby była podklasą klasy $\mathbb{Y}$ . Zbiory umieszczone na rysunku powyżej liczb zespolonych noszą wspólną nazwę liczb hiperzespolonych. Na niebiesko oznaczone są rodzaje liczb które nie tworzą zbiorów, lecz klasy właściwe. Liczby algebraiczne całkowite nie są szczególnym przypadkiem liczb algebraicznych rzeczywistych – to nie jest pomyłka. Zobacz sekcję Liczby algebraiczne.

Zobacz hasło liczba w Wikisłowniku

Liczba – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów (liczby naturalne), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań.

Moc zbioru – własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. Pojęcie mocy zbioru opiera się o pojęcie równoliczności dwóch zbiorów - zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B, innymi słowy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i "na") między zbiorami A i B. Zbiory równoliczne mają tę samą moc. Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi.
Wartość bezwzględna a. moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Przykładowo 3 jest wartością bezwzględną tak liczby 3 jak i − 3.

Określenie „liczba” bez żadnego przymiotnika jest nieścisłe, gdyż matematycy nie definiują „liczb”, lecz „liczby naturalne”, „liczby całkowite” itp. Poszczególne rodzaje liczb są definiowane za pomocą aksjomatów lub konstruowane z bardziej podstawowych pojęć, takich jak zbiór, czy typy liczb prostsze od konstruowanego.

Pauza oraz półpauza – dwa znaki typograficzne w postaci poziomej kreski usytuowanej w pobliżu średniej linii pisma lub nieco poniżej niej. Są graficzną prezentacją znaków pisarskich spełniających m.in. rolę myślnika lub separatora liczbowego.
Płaszczyzna zespolona (p. Arganda, Gaussa) – w matematyce, geometryczna reprezentacja współrzędnych zespolonych, tworzona przez oś rzeczywistą i oś urojoną. Można ją określić jako zmodyfikowany kartezjański układ współrzędnych, z częścią rzeczywistą reprezentowaną przez oś "x" i częścią urojoną reprezentowaną przez oś "y".

Zastosowania

Najprostsze rodzaje liczb, jak liczby naturalne czy rzeczywiste, są w powszechnym użyciu jako oznaczenia ilości przedmiotów (np. pięć jabłek) lub mnożnika pewnej jednostki miary (np. dwa i pół metra). Zapisy liczb naturalnych są używane także jako identyfikatory, np. numery telefonów, dróg, PESEL, ISBN.

Ada to strukturalny, kompilowany, imperatywny, statycznie typowany i obiektowy język programowania opracowany przez Jean Ichbiaha i zespół z CII Honeywell Bull w latach 70. XX wieku. Język ten wygrał konkurs zorganizowany przez Departament Obrony USA (U.S. Department of Defense – DoD), pokonując 19 innych projektów. Nazwa języka, nadana przez DoD, pochodzi od imienia lady Augusty Ady Lovelace, uważanej za pierwszą programistkę w historii.
Typ – w językach programowania opis rodzaju, struktury i zakresu wartości, jakie może przyjmować dany literał, zmienna, stała, argument, wynik funkcji lub wartość.

W matematyce nauczane w szkołach podstawowych liczby naturalne, wymierne i rzeczywiste zostały rozszerzone na takie abstrakcje, jak liczby zespolone, p-adyczne, kwaterniony, czy sedeniony. Liczby zespolone okazały się przydatne w wielu dziedzinach od grafiki komputerowej, przez elektronikę, teorię płynów, aż do fizyki kwantowej i teorii względności. Kwaterniony znalazły zastosowanie w grafice trójwymiarowej do prostego obliczania obrotów w przestrzeni (zob. współrzędne jednorodne). Liczby p-adyczne znalazły zastosowanie w kryptografii.

Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfina – stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejszą dodatnią wartość x, dla której sin(x) = 0.
Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.

Opis intuicyjny

Poniższe opisy w żadnym wypadku nie są ścisłymi definicjami. Liczby są jednak w matematyce definiowane ściśle, i definicje te są przedstawione w wydzielonym artykule. Poniżej podane są opisy tylko kilku najprostszych zbiorów liczbowych.

Liczby naturalne

Osobny artykuł: liczby naturalne.

Najczęściej używanymi liczbami są liczby naturalne. Wśród matematyków istnieją dwie szkoły:

Jedni uważają, że zero powinno zaliczać się do liczb naturalnych (a więc liczby naturalne to $0,1,2,3,4,\ldots$ ). Takie podejście jest związane z najbardziej „naturalnym” zastosowaniem liczb naturalnych – zliczaniem elementów skończonych zbiorów. W życiu codziennym używa się liczb naturalnych głównie w tym właśnie celu, aby określić liczbę przedmiotów w jakiejś grupie. Zero odpowiada wtedy liczności zbioru pustego.

Inni uznają, że liczby naturalne zaczynają się od jedynki. Liczba zero weszła do matematyki stosunkowo późno. Dopiero w XVII wieku zero było powszechnie rozpoznawane jako liczba w Europie, być może więc wydaje się „mniej naturalna” od pozostałych liczb naturalnych.

Z punktu widzenia aksjomatyki kwestia zaliczenia zera do liczb naturalnych jest czysto umowna i nie sprawia żadnych problemów pod warunkiem konsekwentnego trzymania się tej umowy podczas rozumowania.

Liczba algebraiczna to liczba rzeczywista (ogólniej zespolona), która jest pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych).
Liczebniki główne potęg tysiąca o wykładniku naturalnym (takie jak tysiąc, milion, miliard i wyższe) są w różnych językach świata tworzone według różnych reguł. Dwa najbardziej rozpowszechnione systemy takich liczebników to długa skala (fr. échelle longue) i krótka skala (fr. échelle courte). Systemy te posługują się analogicznymi (różniącymi się jedynie ortografią) nazwami w odniesieniu do różnych liczb. Na przykład słowo bilion, które w Polsce i w większości krajów europejskich oznacza milion milionów (1012), w krajach anglojęzycznych (ang. billion) określa tysiąc milionów (109). Wybór długiej lub krótkiej skali zależy od kraju, języka, a nawet dziedziny zastosowania danego liczebnika; bywało też, że władze decydowały o zmianie obowiązującej w danym państwie skali.

Liczby całkowite

Osobny artykuł: liczby całkowite.

Liczby ujemne to liczby mniejsze od zera. Dla każdej dodatniej liczby (czyli większej od zera) można wskazać liczbę do niej przeciwną, czyli liczbę ujemną leżącą na osi liczbowej w tej samej odległości od zera. Ich suma zawsze daje zero: jeśli na konto wpłynie 100 zł, to w rachunkach można ten fakt zaznaczyć jako 100, wypłatę 100 zł można wtedy oznaczać liczbą ujemną -100. Liczby naturalne $1, 2, 3, \ldots$ , zero oraz liczby przeciwne do naturalnych $-1,-2,-3,\ldots$ znane są właśnie jako liczby całkowite.

Komputer osobisty (ang. personal computer) – mikrokomputer przeznaczony przede wszystkim do użytku osobistego, spotyka się je zarówno w domach, jak i biurach. Mają zazwyczaj postać desktopów albo notebooków. Służą głównie do uruchamiania oprogramowania biurowego, dostępu do zasobów Internetu, prezentacji treści multimedialnych (tekst, obrazy, dźwięki, filmy i inne), jak i gier.
Grupa – jedna z prostszych struktur algebraicznych: niepusty zbiór, na którym określono pewne łączne i odwracalne działanie dwuargumentowe. Skrótowo możemy powiedzieć, że grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

Liczby wymierne

Osobny artykuł: liczby wymierne.

Liczby wymierne to intuicyjnie ułamki powstające przez podzielenie liczby całkowitej (zwanej licznikiem) przez liczbę całkowitą różną od zera (zwaną mianownikiem), np. $\tfrac{-3}{5}$ . Dzielenie przez zero jest operacją niewykonalną.

Ułamek $\tfrac{n}{m}$ dla $0 < n \leqslant m$ reprezentuje wielkość otrzymaną po podzieleniu całości na $m$ równych części, a następnie wybraniu $n$ spośród nich. Dwa różne ułamki mogą reprezentować tę samą liczbę wymierną, np. $\tfrac{1}{2} = \tfrac{2}{4}.$ Każdy ułamek można jednak skrócić, tzn. podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę całkowitą (ich największy wspólny dzielnik), tak aby dalsze dzielenie tych wielkości w zbiorze liczb całkowitych było już niemożliwe.

Plik (ang. file), jest to ciąg danych (inaczej zbiór danych), o skończonej długości, posiadający szereg atrybutów i stanowiący dla systemu operacyjnego całość. Nazwa pliku nie należy do niego, lecz jest przechowywana w systemie plików.
Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.

Jeśli licznik i mianownik są jednocześnie dodatnie lub jednocześnie ujemne, to reprezentowana przez ułamek liczba wymierna również jest dodatnia. Jeśli licznik jest zerem, to liczba wymierna jest zerem. Jeśli licznik ma znak przeciwny do znaku mianownika, to liczba wymierna nim wyrażona jest ujemna.

Jeśli $n, m > 0$ oraz $n>m$ , to ułamek reprezentuje liczbę większą od 1. Jeśli $n=km$ (gdzie $k$ jest liczbą całkowitą), to ułamek reprezentuje liczbę całkowitą $k$ .

Funkcja falowa to w mechanice kwantowej funkcja zmiennych konfiguracyjnych np. położenia, o wartościach zespolonych, będąca rozwiązaniem równania Schrödingera, opisująca czysty stan kwantowy cząstki. Wartość funkcji falowej dla danych parametrów nazywa się amplitudą prawdopodobieństwa, a kwadrat jej modułu jest proporcjonalny do gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie przestrzeni (jest to tzw. postulat Borna). Ścisła definicja matematyczna wymaga odniesienia się do własności przestrzeni Hilberta. Wg interpretacji kopenhaskiej funkcja falowa opisuje stan naszej wiedzy o układzie kwantowym i jako taka nie ma charakteru ontologicznego. Inne interpretacje często zakładają realne istnienie funkcji falowej.
Komputer (z ang. computer od łac. computare – obliczać, dawne nazwy używane w Polsce: mózg elektronowy, elektroniczna maszyna cyfrowa, maszyna matematyczna) – urządzenie elektroniczne służące do przetwarzania wszelkich informacji, które da się zapisać w formie ciągu cyfr albo sygnału ciągłego.

Liczby wymierne są uporządkowane liniowo (każde dwie liczby wymierne są porównywalne). Jest to porządek gęsty: pomiędzy dwiema różnymi liczbami można zawsze znaleźć trzecią (a nawet nieskończoną ich liczbę).

Liczby rzeczywiste

Osobny artykuł: liczby rzeczywiste.

Już starożytni pitagorejczycy odkryli, że istnieją liczby, których nie da się przedstawić w postaci ułamka $\tfrac{n}{m}$ (takie jak np. $\sqrt{2}$ , czyli długość przekątnej kwadratu o boku jednostkowym), a więc nie są liczbami wymiernymi. Pitagorejczycy czcili liczby jako doskonałość i to odkrycie było dla nich szokiem. Fakt istnienia liczb niewymiernych był ich najgłębiej skrywaną tajemnicą.

Kryptologia (z gr. κρυπτός – kryptos – "ukryty" i λόγος – logos – "słowo") – nauka o przekazywaniu informacji w sposób zabezpieczony przed niepowołanym dostępem. Współcześnie kryptologia jest uznawana za gałąź zarówno matematyki, jak i informatyki; ponadto jest blisko związana z teorią informacji, inżynierią oraz bezpieczeństwem komputerowym.
Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.

Liczby rzeczywiste to liczby wymierne oraz liczby niewymierne znajdujące się pomiędzy liczbami wymiernymi, lecz nie dające wyrazić się w postaci ułamka, takie jak $\sqrt{3}$ czy π. Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada punkt na prostej (tzw. oś liczbowa).

Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru liczb wymiernych i liczby wymierne są gęstym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych.

Liczby zespolone

Osobny artykuł: liczby zespolone.

Liczby urojone to liczby, których kwadraty są niedodatnimi liczbami rzeczywistymi. W szczególności jedną z nich jest tzw. jednostka urojona $i$ , dla której $i^2=-1$ . Żadna liczba urojona oprócz zera nie jest równocześnie liczbą rzeczywistą.

Majowie – grupa ludów indiańskich mówiących językami z rodziny maja, zamieszkujących południowo-wschodni Meksyk (półwysep Jukatan i stan Chiapas), Gwatemalę, Belize i zach. Honduras; w węższym znaczeniu nazwa „Majowie” odnosi się wyłącznie do grupy zamieszkującej półwysep Jukatan (tzw. Majowie jukatańscy).
Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Liczby zespolone to liczby powstające przez zsumowanie liczby rzeczywistej i liczby urojonej, np. $2+3i$ . W szczególności liczby rzeczywiste oraz liczby urojone także są liczbami zespolonymi (np. $5=5+0i$ ). Każdej liczbie zespolonej odpowiada punkt na płaszczyźnie (tzw. płaszczyzna zespolona), a dodawanie i mnożenie są interpretowane geometrycznie.

Tablica w informatyce to kontener danych dostępnych, w którym poszczególne komórki dostępne są za pomocą kluczy, które najczęściej przyjmują wartości numeryczne. Rozmiar tablicy jest albo ustalony z góry (tablice statyczne), albo może się zmieniać w trakcie wykonywania programu (tablice dynamiczne).
Promień (oznaczany literą r od łacińskiego słowa radius) to w geometrii odcinek łączący środek koła, okręgu, kuli lub sfery z dowolnym punktem położonym na jej brzegu, a także długość tego odcinka. Długość promienia jest w tym przypadku zawsze równa połowie długości średnicy, co wyraża wzór

Liczby zespolone są szczególnymi przypadkami kwaternionów, tessarinów i kokwaternionów dla $c=0$ i $d=0$

Liczby algebraiczne

Osobny artykuł: liczby algebraiczne.

Liczba algebraiczna to taka liczba zespolona, która podstawiona do jakiegoś wielomianu o wymiernych współczynnikach (np. $\tfrac{3}{5}x^5-4x^4+\tfrac{7}{8}x^3+\tfrac{1}{116}x-1$ ) da w wyniku zero. W szczególności każda liczba wymierna $\tfrac{p}{q}$ jest algebraiczna, bo jest pierwiastkiem wielomianu $qx-p$ .

Liczby przestępne

Osobny artykuł: liczby przestępne.

Liczby przestępne to liczby zespolone nie będące algebraicznymi. Słynnymi przykładami liczb przestępnych są π oraz e.

Aksjomaty i konstrukcje liczb – metody ścisłego definiowania liczb używane w matematyce. Aksjomaty liczb to warunki, jakie muszą spełniać pewne obiekty oraz działania na nich, aby mogły być uznane za liczby danego rodzaju (np. liczby naturalne, liczby wymierne itp.). Konstrukcje liczb są algebrami, tak utworzonymi, aby spełniały właściwe danym liczbom aksjomaty.
Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.

Liczby dualne

Osobny artykuł: liczby dualne.

Nilpotent $\epsilon$ to taki element, że $\epsilon^2=0$ .

Liczby dualne powstają analogicznie do liczb zespolonych poprzez zsumowanie części rzeczywistej i wielokrotności nilpotenta. Mają one postać $z=a+b\epsilon$ , gdzie a i b to liczby rzeczywiste.

Liczby podwójne

Osobny artykuł: liczby podwójne.

Przy konstrukcji liczb podwójnych używa się jednostki $\jmath$ niebędącej liczbą rzeczywistą. Różni się ona od jednostki urojonej $i$ w tym, że $\jmath^2 = +1$ .

Elektronika cyfrowa jest dziedziną elektroniki zajmującą się wytwarzaniem i przetwarzaniem sygnałów cyfrowych przy użyciu układów cyfrowych. Obecnie najczęściej stosowane są układy półprzewodnikowe TTL (ang. transistor-transistor logic) oraz CMOS (ang. complementary metal-oxide-semiconductor).
Asembler (z (ang.) assembler) – termin informatyczny związany z programowaniem i tworzeniem kodu maszynowego dla procesorów. W języku polskim oznacza on program tworzący kod maszynowy na podstawie kodu źródłowego (tzw. asemblacja) wykonanego w niskopoziomowym języku programowania bazującym na podstawowych operacjach procesora zwanym językiem asemblera, popularnie nazywanym również asemblerem. W tym artykule język programowania nazywany będzie językiem asemblera, a program tłumaczący – asemblerem.

Liczby podwójne powstają poprzez zsumowanie części rzeczywistej i wielokrotności jednostki $\jmath$ . Mają one postać $z = a + b\jmath$ , gdzie a i b to liczby rzeczywiste.

Liczby rzeczywiste są szczególnymi przypadkami liczb podwójnych, dla $b=0$ . Liczby podwójne są natomiast szczególnymi przypadkami tessarinów i kokwaternionów (ale nie kwaternionów).

Oznaczenia zbiorów liczbowych

W matematyce powszechnie przyjęte są pewne oznaczenia zbiorów liczbowych. W polskich gimnazjach i szkołach średnich korzysta się z symboli nawiązujących do polskich nazw zbiorów, jednak w szkołach wyższych i środowisku naukowym (a także tym i pozostałych artykułach Wikipedii) korzysta się z oznaczeń międzynarodowych.

Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.
Symetria (gr. συμμετρια, od συμ, podobny oraz μετρια, miara) – właściwość figury, bryły lub ogólnie dowolnego obiektu matematycznego (można mówić np. o symetrii równań), polegająca na tym, iż istnieje należące do pewnej zadanej klasy przekształcenie nie będące identycznością, które odwzorowuje dany obiekt na niego samego. Brak takiej właściwości nazywany jest asymetrią. W zależności od klasy dopuszczalnych przekształceń wyróżnia się rozmaite rodzaje symetrii. Tym samym pojęciem określa się nie tylko obiekty, ale też same przekształcenia.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)