Liczby całkowite - Polski Serwis Naukowy

Liczby całkowite – intuicyjnie definiując są to: liczby naturalne dodatnie $\mathbb{N}_{+}=\{1, 2, 3, \dots\}$ oraz liczby przeciwne do nich $\{-1, -2, -3, \dots\}$ a także liczba zero. Liczby całkowite są szczególnym przypadkiem liczb wymiernych i tym samym liczb rzeczywistych, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.

Aksjomaty i konstrukcje liczb – metody ścisłego definiowania liczb używane w matematyce. Aksjomaty liczb to warunki, jakie muszą spełniać pewne obiekty oraz działania na nich, aby mogły być uznane za liczby danego rodzaju (np. liczby naturalne, liczby wymierne itp.). Konstrukcje liczb są algebrami, tak utworzonymi, aby spełniały właściwe danym liczbom aksjomaty.

Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.

Definicja formalna

Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako zbiór klas abstrakcji zbioru $\mathbb N \times \mathbb N$ relacji równoważności $(a,\; b) \sim (c,\; d) \iff a+d = b+c$ .

Intuicyjnie $(a,\; b)$ reprezentuje różnicę $a-b$ .

Wówczas dodawanie i mnożenie definiuje się jako: $[(a,\; b)] + [(c,\; d)] = [(a+c,\; b+d)]$ , $[(a,\; b)] \cdot [(c,\; d)] = [(ac+bd,\; ad+bc)]$ ,

gdzie $[(a,\;b)]$ oznacza klasę abstrakcji odpowiadającą $(a,\; b)$ .

Wtedy $[(a,\; b)]$ oznacza się przez

Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.

Równanie diofantyczne (od matematyka Diofantosa) to równanie, którego rozwiązania szuka się w zbiorze liczb całkowitych lub liczb naturalnych. Zwykle rozważa się równania diofantyczne o dwóch lub więcej niewiadomych – równania z jedną niewiadomą dają się rozwiązać metodami algebraicznymi.

$\begin{cases} n, & \mbox{dla } a \ge b \\ -n, & \mbox{dla } a < b, \end{cases}$ ,

gdzie $n = |a-b|\;$ .

Zbiór liczb całkowitych oznaczamy w matematyce symbolem $\mathbb Z$ (od niem. Zahlen – liczby). W Polsce w szkołach podstawowych i średnich stosuje się jednak oznaczenie $\mathbf C$ , żeby ułatwić skojarzenie z polską nazwą.

Liczność

Zbiór liczb całkowitych $\mathbb Z$ jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych $\mathbb N$ , gdyż istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna $f: \mathbb Z \to \mathbb N$ dana wzorem przypisująca każdej liczbie całkowitej dokładnie jedną liczbę naturalną, np.: $f(x)= \begin{cases} 2x, & \mbox{gdy } x > 0 \\ -2x+1, & \mbox{gdy } x \le 0 \end{cases}$ .

Zobacz też

liczba, liczby całkowite (zapis komputerowy)

aksjomaty i konstrukcje liczb

równanie diofantyczne