Liczby niewymierne - Polski Serwis Naukowy

Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste nie będące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste których nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb: liczby całkowitej przez liczbę naturalną różną od zera.

Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe.

Historia

Liczby niewymierne odkryli Pitagorejczycy, w związku z twierdzeniem Pitagorasa. Zauważyli oni mianowicie, że przekątna kwadratu o boku 1 jest niewspółmierna z bokiem, co właśnie oznacza niewymierność liczby $\sqrt{2}$ . Ogólnie pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby naturalnej jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba ta jest kwadratem liczby naturalnej. Zatem na przykład $\sqrt{2}$ oraz $\sqrt{99992}$ są liczbami niewymiernymi (zobacz dowód niewymierności pierwiastka z 2).

Pitagoras (gr. Πυθαγόρας, Pythagoras), (ur. ok. 572 p.n.e. na Samos, zm. ok. 497 p.n.e. w Metaponcie) – grecki matematyk, filozof, mistyk kojarzony ze słynnym twierdzeniem matematycznym nazwanym jego imieniem.

Pierwiastkowanie – w matematyce operacja odwrotna względem potęgowania. Ponieważ często istnieje wiele liczb (tzw. pierwiastki algebraiczne), które podniesione do pewnej potęgi dają daną liczbę, to pierwiastkowanie nie może być w ogólności nazwane działaniem; często można jednak ograniczyć dziedzinę działania potęgowania tak, by możliwe było jego odwrócenie (dając tzw. pierwiastki arytmetyczne).

Inne przykłady

Każda liczba przestępna (np. π) jest niewymierna. Innym przykładem liczby niewymiernej jest 0,123456789101112131415... (zapisy dziesiętne kolejnych liczb naturalnych).

Łatwo udowodnić niewymierność wielu logarytmów, np. $\log_{2} 3$ jest niewymierny: Dowód nie wprost. Gdyby dla pewnych liczb całkowitych dodatnich $m$ oraz $n$ zachodziła równość $\log_{2} 3=\frac{m}{n}$ , to mielibyśmy $2^{\frac{m}{n}} = 3$ , i wobec tego także $2^{m}=3^{n}$ – ale ta równość jest fałszywa, gdyż lewa strona jest parzysta, a prawa nieparzysta, zatem $\log_23$ nie jest wymierny.

Podobnie $\log_{10} 2$ jest niewymierny.

Ułamki łańcuchowe

Każdą liczbę niewymierną można rozwinąć w nieskończony ułamek łańcuchowy; skończone ułamki łańcuchowe przedstawiają liczby wymierne.

Dowód nie wprost (dowód apagogiczny, dowód sokratejski, łac. reductio ad absurdum - sprowadzenie do sprzeczności), to forma dowodu logicznego, w którym z założenia o nieprawdziwości tezy wyprowadza się sprzeczność ze zdaniem prawdziwym (założenie nieprawdziwości twierdzenia prowadzi do sprzeczności), co pozwala przyjąć że zaprzeczenie tezy jest fałszywe, a sama teza prawdziwa. Inaczej sposób dowodzenia twierdzeń przez wykazanie sprzeczności między zaprzeczeniem dowodzonej tezy i przyjętymi założeniami.

Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

Zbiór liczb niewymiernych

Jako podprzestrzeń linii prostej $\mathbb R$ , zbiór liczb niewymiernych jest homeomorficzny z przestrzenią Baire'a, czyli ze zbiorem wszystkich funkcji $f: \mathbb N \to \mathbb N$ .

Zobacz też

liczby wymierne

liczby algebraiczne

niewspółmierność interteoretyczna