Liczby podwójne - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy liczb. Zapoznaj się również z: liczba podwójna – pojęcie w morfologii.

Liczby podwójne – w algebrze wyrażenia postaci $a + b\jmath$ , gdzie $a,b \in \mathbb{R}$ , $\jmath \not\in \mathbb{R}$ oraz $\jmath^2 = 1$ .

Liczby podwójne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych tj. $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ z następującymi dwoma działaniami: $(a,b)\oplus(c,d)=(a+c,b+d)$ , $(a,b)\otimes(c,d)= (ac+bd,ad+bc)$ .

Para $(1,0)$ jest elementem neutralnym mnożenia $\otimes$ oraz $(0,1)^2 = (1,0)$ .

Algebra – jeden z najstarszych działów matematyki powstały już w starożytności. Zajmuje się on strukturami algebraicznymi i relacjami. Algebra elementarna zajmuje się takimi działaniami jak dodawanie i mnożenie; wprowadza pojęcie zmiennej i wielomianu razem z jego faktoryzacją i znajdowaniem ich pierwiastków, jednakże algebra jest działem bardziej ogólnym (patrz podział algebry).

Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) struktur - funkcja wzajemnie jednoznaczna z uniwersum struktury A w uniwersum struktury B, która zachowuje funkcje, relacje i wyróżnione elementy.

Jest to więc pierścień przemienny z jedynką i z dzielnikami zera. Dzielniki zera mają postać $(a,a)\,$ lub $(a,-a)\,$ , bowiem dla dowolnych $x,y$ : $(x,x)\otimes (y,-y)=(y,-y)\otimes (x,x)=(0,0)$ .

Ponieważ $(1,0)$ i $(0,1)$ są niewspółmierne, więc analogicznie do liczb zespolonych otrzymać można następującą postać kanoniczną: $(a,b) = (a,0)+(0,b) = a +b\jmath$ gdzie $\jmath=(0,1)$ .

Dla liczby dualnej niebędącej dzielnikiem zera tj. $c+d\jmath,\quad c^2-d^2 \neq 0$ istnieje odwrotność:

Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

Liczba podwójna to występująca w niektórych językach kategoria gramatyczna, dzięki której rzeczowniki oznaczające dwa przedmioty lub dwie osoby przyjmowały odrębną formę (por. dwie niewieście i dwie niewiasty, dwaj kmiecia i dwaj kmiecie, dwie głowie i dwie głowy, dwie słowie i dwa słowa) – w przeciwieństwie do form rzeczowników występujących w liczbach: pojedynczej i mnogiej. Rzeczowniki występujące w języku polskim w liczbie podwójnej miały trzy formy przypadkowe, np. dwa kmiecia (mianownik, biernik i wołacz), dwu kmieciu (dopełniacz i miejscownik), dwoma kmiecioma (celownik i narzędnik).

$(c+d\jmath)^{-1} = \frac{1}{c+d\jmath} = {-c+d\jmath \over -c^2+d^2}$ .

Pierścień liczb podwójnych można zanurzyć izomorficznie w pierścieniu macierzy stopnia 2: $a + b\jmath \leftrightarrow \begin{pmatrix}a & b \\ b & a \end{pmatrix}$ ,

w szczególności $\jmath \leftrightarrow \begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \end{pmatrix}$ .

Przykłady

$(12 + 7\jmath) + (36 + 43\jmath) = 48 + 50\jmath$

$(5 + 3\jmath) \cdot (6 + 4\jmath) = 42 + 38\jmath$

Zobacz też

liczby zespolone,

liczby dualne.

Przypisy

ang. Split-complex numbers
Z tego względu określenie "liczby podwójne" jest nieco mylące - w algebrze najczęściej liczbami określa się podzbiory (podciała) ciała liczb zespolonych.