Liczby przestępne - Polski Serwis Naukowy

Liczba przestępna to taka liczba rzeczywista lub ogólniej zespolona $z \,$ , która nie jest pierwiastkiem żadnego niezerowego wielomianu jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych, tzn. $z \,$ jest liczbą przestępną, gdy: $\bigwedge\limits_{n \in \mathbb{N^{+}}} \ \bigwedge\limits_{(a_n, a_{n-1}, \dots , a_1, a_0) \in \mathbb{Q}^{n+1}} a_n \neq 0 \implies a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z + a_0 \not = 0$

Inaczej: liczba nie będąca liczbą algebraiczną. Uogólnieniem pojęcia liczby przestępnej jest element przestępny.

Przykłady liczb przestępnych:

Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfina – stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejszą dodatnią wartość x, dla której sin(x) = 0.

Liczba algebraiczna to liczba rzeczywista (ogólniej zespolona), która jest pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych).

π – udowodnił to Ferdinand Lindemann w 1882 roku,

e – udowodnił to Charles Hermite w 1873 roku.

Istnienie liczb przestępnych wykazał francuski matematyk Joseph Liouville w 1844 roku. Podał też przykłady liczb przestępnych, tzw. liczb Liouville'a.

Jeśli $a \,$ jest liczbą algebraiczną różną od zera, to $e^a \,$ jest liczbą przestępną. Jeśli $a \,$ jest liczbą algebraiczną różną od zera i od jeden oraz $b \,$ jest liczbą niewymierną algebraiczną, to $a^b \,$ jest liczbą przestępną (fakt ten wyraża twierdzenie Gelfonda-Schneidera).

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

Joseph Liouville (ur. 24 marca 1809 r. w Saint Omer, zm. 8 września 1882 w Paryżu), francuski matematyk, który wniósł istotny wkład w teorię liczb, teorię funkcji eliptycznych i liczb zespolonych.

Zbiór wszystkich liczb przestępnych jest zbiorem mocy continuum. Dowód: zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach wymiernych jest zbiorem przeliczalnym. Ponieważ każdy taki wielomian ma skończenie wiele pierwiastków, istnieje co najwyżej przeliczalnie wiele liczb algebraicznych. Ale zbiór wszystkich liczb rzeczywistych ma moc continuum, zatem zbiór liczb przestępnych również musi mieć moc continuum.

Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste nie będące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste których nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb: liczby całkowitej przez liczbę naturalną różną od zera.

Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.