Liczby rzeczywiste - Polski Serwis Naukowy

Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

Continuum - w topologii ogólnej, niepusta przestrzeń topologiczna, która jest zarazem zwarta i spójna. Teoria continuów jest gałęzią topologii zajmującą się studiowaniem własności continuów i odwzorowań między nimi. Continua dzieli się zasadiczo na dwie klasy:

Typ – w językach programowania opis rodzaju, struktury i zakresu wartości, jakie może przyjmować dany literał, zmienna, stała, argument, wynik funkcji lub wartość.

Pitagorejczycy zauważyli, że długość przekątnej kwadratu o boku długości 1 nie daje się wyrazić przy pomocy ilorazu dwóch liczb całkowitych (zob. dowód niewymierności pierwiastka z 2). Podobnie liczba pi, którą można definiować jako stosunek długości dowolnego okręgu do jego średnicy nie jest liczbą wymierną. Zbiór liczb rzeczywistych jest więc uzupełnieniem zbioru liczb wymiernych o tego rodzaju luki. Klasycznym jego modelem jest tzw. prosta rzeczywista, czy inaczej oś liczbowa. Liczby rzeczywiste tworzą ciało i z punktu widzenia algebry są one rozszerzeniem ciała liczb wymiernych.

Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfina – stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejszą dodatnią wartość x, dla której sin(x) = 0.

Liczba algebraiczna to liczba rzeczywista (ogólniej zespolona), która jest pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych).

Oś liczbowa jako interpretacja geometryczna zbioru liczb rzeczywistych

Definicje

Zobacz więcej w artykule Aksjomaty i konstrukcje liczb, w sekcji Liczby rzeczywiste.

Zbiór liczb rzeczywistych oznaczany jest symbolem $\mathbb R$ lub $\mathbf R$ . Istnieją trzy klasyczne sposoby konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych:

Komputer (z ang. computer od łac. computare – obliczać, dawne nazwy używane w Polsce: mózg elektronowy, elektroniczna maszyna cyfrowa, maszyna matematyczna) – urządzenie elektroniczne służące do przetwarzania wszelkich informacji, które da się zapisać w formie ciągu cyfr albo sygnału ciągłego.

Aksjomaty i konstrukcje liczb – metody ścisłego definiowania liczb używane w matematyce. Aksjomaty liczb to warunki, jakie muszą spełniać pewne obiekty oraz działania na nich, aby mogły być uznane za liczby danego rodzaju (np. liczby naturalne, liczby wymierne itp.). Konstrukcje liczb są algebrami, tak utworzonymi, aby spełniały właściwe danym liczbom aksjomaty.

za pomocą przekrojów Dedekinda,

za pomocą ciągów Cauchy'ego liczb wymiernych,

definicja aksjomatyczna.

Niektóre własności

Naturalna topologia

Naturalną metryką w zbiorze liczb rzeczywistych jest tzw. metryka euklidesowa, czyli wartość bezwzględna różnicy dwóch elementów. Prosta rzeczywista wyposażona w tę metrykę jest zupełną przestrzenią metryczną. Ponadto, jest ona także przestrzenią ośrodkową (ośrodkiem jest np. zbiór liczb wymiernych).

Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

Rodzinę zbiorów otwartych (topologię) na prostej można opisać warunkiem - zbiór $A\subseteq \mathbb{R}$ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{x \in A}\ \exists_{\varepsilon > 0}\ (x - \varepsilon; x + \varepsilon) \subseteq A$ ,

to znaczy gdy wraz z każdym jego punktem zawiera pewien przedział otwarty.

Bazą tej topologii jest, na przykład, rodzina przedziałów otwartych o końcach wymiernych, skąd prosta rzeczywista spełnia drugi aksjomat przeliczalności. Przestrzeń ta jest ponadto spójna i lokalnie zwarta.

Ważnymi kontrprzykładami w topologii ogólnej są tzw. prosta Sorgenfreya i prosta Michaela, to znaczy zbiór liczb rzeczywistych wyposażony w inne, niestandardowe topologie.

Pitagorejczycy – wyznawcy doktryny rozwiniętej przez Pitagorasa i jego następców w szkole religijno-filozoficznej, którą założył w Krotonie w Wielkiej Grecji, w południowych Włoszech. Symbolem szkoły miała być pięcioramienna gwiazda (pentagram) - współczesne godło Republiki Włoskiej. Część z poglądów może być jedynie przypisywana Pitagorasowi, natomiast szereg innych osób związanych ze szkołą opublikowało własne dzieła lub przeszło do historii z powodu swych osiągnięć.

Aksjomaty przeliczalności – w topologii ogólnej własności topologiczne służące klasyfikacji przestrzeni topologicznych względem rozmiarów ich charakteru i ciężaru. W tym przypadku nazwa „aksjomat” ma charakter wyłącznie historyczny, dlatego nie powinna być rozumiana w sensie dosłownym.

Teoria mnogości

Moc zbioru liczb rzeczywistych nazywana jest continuum i oznaczana symbolem $\mathfrak{c}$ . Jest ona większa, na przykład, od mocy zbioru liczb wymiernych (zobacz też: rozumowanie przekątniowe) czy zbioru liczb algebraicznych - odpowiednio, zbiory liczb niewymiernych i przestępnych mają również moc continuum.

Naturalny porządek (relacja mniejszości) liczb rzeczywistych spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów (ccc).

Reprezentacja w urządzeniach cyfrowych

Przybliżoną, komputerową reprezentacją liczby rzeczywistej jest liczba zmiennoprzecinkowa i typ zmiennoprzecinkowy.

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste nie będące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste których nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb: liczby całkowitej przez liczbę naturalną różną od zera.

Zobacz też