Liczby wymierne - Polski Serwis Naukowy

Definicja intuicyjna:
Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.

Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, gdzie druga jest różna od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem ${\mathbb Q}$ . Wobec tego: $\mathbb Q = \left\{ {m \over n} : m, n \in \mathbb Z, n \ne 0 \right\}$ .

Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy liczbą niewymierną. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. liczby całkowite i liczby naturalne.

Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.

Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.

Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób:

Niech w zbiorze par liczb całkowitych $(a,b) \in \mathbb Z \times \mathbb Z^*$ , których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności $(a,b) \sim (c,d)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $ad=bc$ .

W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania

$[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]$ ,

$[(a,b)] \cdot [(c,d)] = [(ac,bd)]$ .

Parę $(a, b)$ zapisuje się zwykle w postaci ułamka $\tfrac{a}{b}$ , bądź jeśli $b=1$ , to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą $a$ .

Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.

Zbiór gęsty – w przestrzeni topologicznej zbiór, którego domknięcie jest całą przestrzenią. Równoważnie, zbiór jest gęsty, jeżeli ma z każdym niepustym zbiorem otwartym co najmniej jeden punkt wspólny.

Własności

Liczby wymierne z dodawaniem, mnożeniem, zerem i jedynką określonymi w poprzedniej sekcji stanowią ciało.

Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, czyli jest to zbiór przeliczalny (co oznacza się $|\mathbb Q| = \aleph_0$ ).

Jako podzbiór przestrzeni liczb rzeczywistych ${\mathbb R}$ , liczby wymierne są gęste w ${\mathbb R}$ .

Zobacz też

Działanie dwuargumentowe (binarne) to w matematyce funkcja, która każdej parze uporządkowanej dwóch elementów danego zbioru X przypisuje określony element pewnego zbioru Y.

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.