Liczby zespolone - Polski Serwis Naukowy

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną $i$ , tj. pierwiastek wielomianu $x^2+1$ (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie $i^2 = -1$ ). Każda liczba zespolona $z$ może być zapisana w postaci $z=a + bi$ , gdzie $a, b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby $z$ .

Moc zbioru – własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. Pojęcie mocy zbioru opiera się o pojęcie równoliczności dwóch zbiorów - zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B, innymi słowy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i "na") między zbiorami A i B. Zbiory równoliczne mają tę samą moc. Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi.
Przekształcenie lub odwzorowanie liniowe – w algebrze liniowej odwzorowanie między przestrzeniami liniowymi zachowujące ich strukturę (tzw. homomorfizm), a więc działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar. Dokładniej, jest to każda funkcja addytywna i jednorodna.

Postać algebraiczna (kanoniczna)

Liczby zespolone mogą być przedstawione jako współrzędne wektora na płaszczyźnie zespolonej

Każdą liczbę zespoloną $z$ można zapisać w postaci $z=a+bi$ ,

gdzie $a$ i $b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi oraz $i$ jest tzw. jednostką urojoną, tj. $i$ jest jednym z dwóch elementów zbioru liczb zespolonych, spełniającym warunek $i^2=-1$ (drugim elementem jest $-i$ ). Spotyka się czasami zapis $i=\sqrt{-1}$ , który nie jest formalnie poprawny ze względu na fakt, że również $(-i)^2=-1$ , jest on jednak uznawany za pewien skrót myślowy i powszechnie akceptowany.

Wartość bezwzględna a. moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Przykładowo 3 jest wartością bezwzględną tak liczby 3 jak i − 3.
Płaszczyzna zespolona (p. Arganda, Gaussa) – w matematyce, geometryczna reprezentacja współrzędnych zespolonych, tworzona przez oś rzeczywistą i oś urojoną. Można ją określić jako zmodyfikowany kartezjański układ współrzędnych, z częścią rzeczywistą reprezentowaną przez oś "x" i częścią urojoną reprezentowaną przez oś "y".

Postać $z=a+bi$ nazywana jest postacią algebraiczną (albo kanoniczną) liczby zespolonej $z$ .

Dla liczby $z=a+bi$ definiuje się jej

część rzeczywistą jako $\mathrm{re}\;z = a$ (inne oznaczenia: $\Re z,\, \operatorname{Re}\, z$ ),

część urojoną jako $\mathrm{im}\;z = b$ (inne oznaczenia: $\Im z,\, \operatorname{Im}\, z$ ).

Przykładowo liczba $7 - 5i$ jest liczbą zespoloną, której część rzeczywista wynosi $7$ , a część urojona $-5$ . Liczby rzeczywiste są utożsamiane z liczbami zespolonymi o części urojonej równej $0$ .

Liczby postaci $z = 0 + bi$ nazywa się liczbami urojonymi.

Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.
Liczba algebraiczna to liczba rzeczywista (ogólniej zespolona), która jest pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych).

Zapis alternatywny

W zastosowaniach fizycznych, elektrycznych, elektrotechnicznych itp. zapis $z = a + bi\;$ może okazać się mylący z powodu wykorzystywania w tych dziedzinach litery $i\;$ do innych celów, np. chwilowego natężenia prądu elektrycznego. Dlatego też stosuje się zapis niepowodujący podobnych kłopotów, mianowicie $z = a + jb$ , w którym to $j$ oznacza jednostkę urojoną.

Zasadnicze (podstawowe) twierdzenie algebry – twierdzenie algebry i analizy zespolonej mówiące, że każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma pierwiastek (w ciele liczb zespolonych). Konsekwencją zasadniczego twierdzenia algebry i twierdzenia Bézout jest następujące twierdzenie (często zwane również Zasadniczym twierdzeniem algebry):
Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) - układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany biegunem oraz półprostą OS o początku w punkcie O zwaną osią biegunową.

Wykres funkcji
$f(x)=\tfrac{(x^2-1)(x-2-i)^2}{x^2+2+2i}$
wykonany za pomocą techniki kolorowania dziedziny. Odcień oznacza argument funkcji, zaś nasycenie reprezentuje jej moduł.

Równość

Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są sobie równe. Innymi słowy, liczby zespolone postaci $a + bi\;$ oraz $c + di\;$ są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy $a = c\;$ oraz $b = d\;$ .

Charakterystyka – w algebrze dla danego pierścienia z jedynką najmniejsza liczba elementów neutralnych mnożenia pierścienia (tzw. jedynek), które należy do siebie dodać, aby uzyskać element neutralny dodawania (tzn. zero); mówi się, że pierścień ma charakterystykę zero, jeżeli taka liczba nie istnieje. Innymi słowy jest to najmniejsza dodatnia liczba całkowita n, która spełnia
Elektrotechnika - dział nauki zajmujący się podstawami teoretycznymi i zastosowaniem zjawisk fizycznych z dziedziny elektryczności i magnetyzmu w różnych gałęziach gospodarki.

Działania

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonuje się tak samo jak odpowiednie operacje na wyrażeniach algebraicznych, przy czym $i^2 = -1:\;$ $(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i\;$ $(a + bi)(c + di) = ac + (bc + ad)i + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i\;$ .

Aby podzielić przez siebie dwie liczby zespolone, wystarczy pomnożyć dzielną i dzielnik przez liczbę sprzężoną do dzielnika (analogicznie do usuwania niewymierności z mianownika w wyrażeniach algebraicznych): ${a + bi \over c + di} = {(a + bi)(c - di) \over {(c + di)(c - di)}} = {(ac + bd) + (bc - ad)i \over c^2 + d^2}$

Płaszczyzna zespolona

Osobny artykuł: płaszczyzna zespolona.

Płaszczyzna zespolona

Liczbom zespolonym można przyporządkować wzajemnie jednoznacznie wektory na płaszczyźnie (zob. sekcję formalna konstrukcja), podobnie jak utożsamia się wektory na prostej z liczbami rzeczywistymi (w obu przypadkach można utożsamiać również same punkty, gdyż wspomniane wektory zaczepia się w początku układów współrzędnych).

Inżynieria elektryczna jest działem inżynierii i zajmuje się badaniem i stosowaniem elektryczności i elektromagnetyzmu w różnych dziedzinach życia. Praktyków tej dziedziny nazywamy inżynierami elektrykami.
Wyznacznik – w algebrze liniowej, funkcja przyporządkowująca każdej macierzy kwadratowej M, o współczynnikach z pierścienia przemiennego R (w szczególności, ciała liczb rzeczywistych czy zespolonych), pewien element tego pierścienia (oznaczany symbolem detM), która spełnia następujące warunki:

Każdej więc liczbie zespolonej $z = a + bi\;$ można przyporządkować wektor $\vec z = (a, b)$ i odwrotnie. Działania dodawania i mnożenia w liczbach zespolonych odpowiadają następującym działaniom na wektorach:

$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)\;$ ,

$(a, b)(c, d) = (ac - bd, bc + ad)\;$ .

Tak określoną płaszczyznę określa się mianem płaszczyzny zespolonej. Interpretacja ta, dla której w specjalny sposób określono mnożenie, znana była już pod koniec XVIII wieku Wesselowi, mimo to przez długi czas jej autorstwo przypisywało się Argandowi, stąd też wspomnianą płaszczyzną nazywa się również płaszczyzną Arganda. Inną spotykaną nazwą jest też płaszczyzna Gaussa.

Pierścień topologiczny – w matematyce pierścień z określoną na nim strukturą przestrzeni topologicznej tak, że zarówno działanie dodawania, jak i mnożenia są funkcjami ciągłymi w sensie topologii produktowej.
Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Moduł

Osobny artykuł: moduł liczby zespolonej.

Zauważmy, iż długość wektora $\vec z$ jest równa z twierdzenia Pitagorasa $|\vec z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Dla liczby $z$ moduł definiujemy jako $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} \geqslant 0$ . Moduł liczby zespolonej ma analogiczne własności do wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej spełniając przy tym definicję normy.

Argument

Osobny artykuł: argument liczby zespolonej.

Niech $\varphi$ oznacza kąt, który wektor $\vec z$ tworzy z prostą $\operatorname{Re}$ , oznaczmy go przez $\arg z$ . Jest to tzw. argument. Widać, iż $\sin \varphi = \tfrac{b}{|z|}$ i $\cos \varphi = \tfrac{a}{|z|}$ . Liczba zespolona różna od zera ma nieskończenie wiele argumentów, choć tylko jeden moduł.

Analiza zespolona - dziedzina matematyki, w szczególności analizy matematycznej, obejmująca swą tematyką teorię funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej i zespolonej, jednej i wielu zmiennych - w tym bardzo rozbudowane teorie funkcji analitycznych, funkcji eliptycznych czy odwzorowań konforemnych. Jej zastosowania sięgają teorii liczb, teorii fraktali, matematyki stosowanej, a także pewnych dziedzin fizyki.
Aksjomaty i konstrukcje liczb – metody ścisłego definiowania liczb używane w matematyce. Aksjomaty liczb to warunki, jakie muszą spełniać pewne obiekty oraz działania na nich, aby mogły być uznane za liczby danego rodzaju (np. liczby naturalne, liczby wymierne itp.). Konstrukcje liczb są algebrami, tak utworzonymi, aby spełniały właściwe danym liczbom aksjomaty.

Argument liczby $z$ spełniający nierówność $0 \leqslant \arg z < 2\pi$ (czasami też równoważnie $-\pi < \arg z \leqslant \pi$ ) oznacza się przez $\operatorname{Arg}\ z$ i nazywa argumentem głównym (wartością główną argumentu). W ten sposób $\operatorname{Arg}$ jest już funkcją na jeden z powyższych zbiorów nieokreśloną jedynie dla $z = 0 \iff |z| = 0$ . Dla liczb rzeczywistych argument główny jest równy zeru dla liczb dodatnich oraz $\pi$ dla ujemnych.

Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.
Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.

Postać trygonometryczna

Osobny artykuł: współrzędne biegunowe.

Liczba zespolona może być zatem wyrażona przez długość jej wektora (moduł) oraz jego kąt skierowany (argument): $z = a + bi = |z|\tfrac{a}{|z|} + |z|\tfrac{b}{|z|}i = |z|(\cos \varphi + i\sin \varphi)$ .

Powyższą postać liczby zespolonej nazywa się postacią trygonometryczną (z powodu użycia funkcji trygonometrycznych), biegunową (jest przedstawieniem liczby zespolonej we współrzędnych biegunowych) lub geometryczną (prowadzi do geometrycznej interpretacji liczb zespolonych na płaszczyźnie). Warto zauważyć, że postać algebraiczna odpowiada współrzędnym prostokątnym.

Porządek zupełny – własność porządków częściowych postulująca istnienie kresów. W literaturze matematycznej istnieje kilka definicji tego pojęcia różniących się szczegółami technicznymi zależnymi od kontekstu matematycznego.
Sprzężenie zespolone – jednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej.

Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej są równe, gdy ich moduły i argumenty są równe, tj. $z = a + bi\;$ oraz $u = c + di\;$ są równe, gdy $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{c^2 + d^2} = |u|$

oraz (istotne tylko dla $|z|\ne 0\;$ ) $\operatorname{Arg}\;z = \operatorname{Arg}\;u$ .

Wzory pozwalające na przejście od postaci trygonometrycznej do algebraicznej są oczywiste: $\begin{cases}a = |z|\cos \varphi \\ b = |z|\sin \varphi \end{cases}$ .

Przejście odwrotne jest nieco bardziej skomplikowane: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ , $\varphi = \begin{cases} \operatorname{arctg}\;\tfrac{b}{a}, & \mbox{dla } a > 0 \\ \operatorname{arctg}\;\tfrac{b}{a} + \pi, & \mbox{dla } a < 0 \mbox{ oraz } b \geqslant 0 \\ \operatorname{arctg}\;\tfrac{b}{a} - \pi, & \mbox{dla } a < 0 \mbox{ oraz } b < 0 \\ +\tfrac{\pi}{2}, & \mbox{dla } a = 0 \mbox{ oraz } b > 0 \\ -\tfrac{\pi}{2}, & \mbox{dla } a = 0 \mbox{ oraz } b < 0 \\ \mathrm{niezdefiniowane}, & \mbox{dla } a = 0 \mbox{ oraz } b = 0 \end{cases}$ .

Powyższy wzór posiada dużo przypadków, jednakże w wielu językach programowania istnieje wariant funkcji arcus tangens, często nazywany arctan2 lub atan2, który przetwarza je wewnętrznie. Wzór korzystający z funkcji arcus cosinus wymaga mniejszej liczby przypadków:

Zastosowanie liczb zespolonych - umożliwia uproszczoną analizę obwodów elektrycznych prądu przemiennego. Możliwe jest to dzięki algebralizacji równań różniczkowo-całkowych poprzez odwzorowanie przebiegów prądu i napięcia w postaci funkcji symbolicznej. Stwarza to możliwość analizy obwodu prądu przemiennego z wykorzystaniem metod używanych podczas analizy obwodów prądu stałego, a więc metody potencjałów węzłowych, metody prądów oczkowych, twierdzenia Thevenina-Nortona itd.
Baza przestrzeni topologicznej - dla danej przestrzeni topologicznej X, rodzina otwartych podzbiorów przestrzeni X o tej własności, że każdy zbiór otwarty w X można przedstawić w postaci sumy pewnej podrodziny zawartej w bazie. Każda przestrzeń topologiczna ma bazę - jeżeli τ jest topologią w zbiorze X, to jest ona również (trywialnie) jej bazą. Obrazowo, baza przestrzeni topologicznej to taka rodzina zbiorów otwartych, że każdy niepusty i otwarty podzbiór tej przestrzeni można wysumować przy pomocy pewnych (być może nieskończenie wielu) elementów bazy. W praktyce matematycznej związanej z badaniem własności konkretnych przestrzeni topologicznych, istotnym zagadnieniem jest pytanie o minimalną moc bazy przestrzeni (zob. ciężar przestrzeni poniżej). Tak zdefiniowane pojęcie nosi też czasem nazwę bazy otwartej (zob. też baza domknięta poniżej). Pojęcia pokrewne pojęciu bazy przestrzeni topologicznej to, na przykład, π-baza, podbaza czy pseudobaza.

$\varphi = \begin{cases} +\arccos \tfrac{a}{|z|}, & \mbox{dla } b \geqslant 0 \mbox{ oraz } |z| \ne 0 \\ -\arccos \tfrac{a}{|z|}, & \mbox{dla } b < 0 \\ \mathrm{niezdefiniowane}, & \mbox{dla } |z| = 0 \end{cases}$ .

Mnożenie

Warto zwrócić uwagę na mnożenie liczb w postaci trygonometrycznej, niech $x = |x|(\cos \alpha + i\sin \alpha)\;$ $y = |y|(\cos \beta + i\sin \beta)\;$

Wówczas iloczyn $x \cdot y = (|x| \cos \alpha \cdot |y|\cos \beta - |x|\sin \alpha \cdot |y| \sin \beta) + (i|x|\sin \alpha \cdot |y|\cos \beta + i|x|\cos \alpha |y|\sin \beta)$ .

Stosując odpowiednie tożsamości trygonometryczne otrzymujemy ostatecznie $x \cdot y = |x| \cdot |y|\left(\cos (\alpha + \beta) + i\sin (\alpha + \beta)\right)$ ,

co oznacza, że iloczyn dwóch liczb zespolonych posiada moduł będący iloczynem modułów mnożników oraz argument równy sumie argumentów mnożonych liczb.

Mnożenie przez $i\;$ można zinterpretować jako obrót płaszczyzny o kąt $\tfrac{\pi}{2}$ .

Odejmowanie - jedno z czterech podstawowych działań arytmetycznych, działanie odwrotne do dodawania. Odejmowane obiekty to odpowiednio odjemna i odjemnik, wynik zaś nazywany jest różnicą.
Inwolucja – w matematyce funkcja, która ma funkcję odwrotną równą jej samej. Równoważnie jest to taka funkcja, która złożona sama ze sobą jest tożsamością.

Wzór de Moivre'a

Osobny artykuł: wzór de Moivre'a.

Potęgowanie za pomocą mnożenia liczb zespolonych w postaci algebraicznej prowadzi do obliczenia wartości wyrażenia $(a + bi)^n\;$ dla danego wykładnika $n\;$ przy warunku $i^2 = -1\;$ . Mimo że można korzystać z własności trójkąta Pascala, to porządkowanie tego wyrażenia może okazać się czasochłonne. Zwykle działanie to łatwiej przeprowadzić w postaci trygonometrycznej.

W matematyce, termin indukcja matematyczna używany jest na określenie szczególnej metody dowodzenia twierdzeń (w najbardziej typowych przypadkach o liczbach naturalnych) ale także jest on używany na oznaczenie konstrukcji pewnych obiektów.
Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie.

Rozpatrzmy $z = |z|(\cos \varphi + i\sin \varphi)\;$ . Na podstawie reguły indukcji matematycznej zachodzi wzór $z^n = |z|^n(\cos \varphi + i\sin \varphi)^n = |z|^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)\;$ .

Powyższy wzór jest również pomocny przy obliczaniu $n$ -tej potęgi funkcji $\sin\;$ i $\cos\;$ – należy wówczas obliczyć $z^n\;$ przy $|z| = 1\;$ .

Pierwiastkowanie

Osobny artykuł: pierwiastkowanie.

Istnieje wersja wzoru de Moivre'a dla wykładników wymiernych. Każda niezerowa liczba zespolona $z$ ma dokładnie $n$ różnych pierwiastków $n$ -tego stopnia, które wyrażają się wzorem $z_k = \sqrt[n]{|z|}\left(\cos \tfrac{\varphi + 2k\pi}{n} + i\sin \tfrac{\varphi + 2k\pi}{n}\right),$

gdzie $k = 0,1, \dots, n - 1$ oraz $\varphi=\arg(z).$

Wektor – obiekt geometryczny w lub – zdaniem niektórych niepoprawnie – wartością), kierunek i zwrot określający orientację wzdłuż danego kierunku. Często przedstawia się go graficznie jako odcinek o określonym kierunku, lub jako strzałkę, łączącą początek bądź punkt zaczepienia oraz koniec wektora. Dla danych punktów początkowego A i końcowego B wektor oznacza się symbolem
Kąt skierowany – para uporządkowanych półprostych o wspólnym początku, z których pierwszą nazywamy ramieniem początkowym, a drugą ramieniem końcowym kąta skierowanego.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)