Linia geodezyjna - Polski Serwis Naukowy

Linia geodezyjna, czasem nazywana krótko: geodezyjna – krzywa w przestrzeni metrycznej (ściślej: w G-przestrzeni), zawierająca najkrótszą drogę pomiędzy dowolnymi dostatecznie bliskimi swoimi punktami, nie dająca się już wydłużyć z żadnej strony. Formalnie definiuje się je jako krzywe o zerowej krzywiznie geodezyjnej. Dla przestrzeni euklidesowej geodezyjne są zwykłymi prostymi.

Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.

Karl Schwarzschild (ur. 9 października 1873 we Frankfurcie nad Menem, zm. 11 maja 1916 w Poczdamie), niemiecki fizyk i astronom, uważany za pioniera współczesnej astrofizyki.

Geodezyjne na rozmaitościach topologicznych

Krzywizna

Należy odróżnić trzy różne pojęcia krzywizny, używane w tej sekcji:

krzywizna rozmaitości topologicznej, na której rozpatrujemy geodezyjne – np. krzywizna sfery zanurzonej w przestrzeni euklidesowej
krzywizna geodezyjna – krzywizna linii na rozmaitości, rozpatrywana z punktu widzenia geometrii (zwykle nieeuklidesowej) obowiązującej na tej rozmaitości. Np. brzegi kół wielkich sfery mają zerową krzywiznę geodezyjną.
krzywizna linii rozpatrywana z punktu widzenia przestrzeni w której rozmaitość jest zanurzona. Np. brzegi kół wielkich mają niezerową krzywiznę w przestrzeni euklidesowej, w której zanurzona jest ich sfera.

Własności linii geodezyjnych

W szczególnym przypadku przestrzeni metrycznej będącej rozmaitością topologiczną geodezyjna jest krzywą, dla której krzywizna geodezyjna w każdym jej punkcie jest równa zeru.

Prosta styczna s do krzywej K w punkcie P jest to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych sk przechodzących przez punkty P i Pk gdy punkt Pk dąży (zbliża się) do punktu P po krzywej K (zob. rysunek).

G-przestrzeń – najogólniejsza przestrzeń w której można rozważać istnienie linii geodezyjnych (czyli prostych). Wprowadzona do matematyki przez Herberta Busemanna.

Ze wszystkich krzywych leżących na rozmaitości topologicznej zanurzonej w przestrzeni euklidesowej i mających wspólną styczną w danym punkcie rozmaitości, krzywa geodezyjna ma najmniejszą krzywiznę (w sensie 3) w każdym swoim punkcie.

W przypadku rozmaitości o niezerowej krzywiźnie (w sensie 1), geodezyjne są z punktu widzenia geometrii euklidesowej krzywymi niebędącymi prostymi (mają niezerową krzywiznę w sensie 3), np. na sferze są to okręgi kół wielkich. Na powierzchni bocznej walca geodezyjnymi są linie śrubowe oraz (szczególne przypadki) proste i okręgi.

Czasoprzestrzeń Minkowskiego – przestrzeń liniowa w fizyce i matematyce, która łącząc czas z trójwymiarową przestrzenią fizyczną umożliwia elegancki opis szczególnej teorii względności Einsteina. Nazwę swą zawdzięcza niemieckiemu matematykowi Hermannowi Minkowskiemu, który wprowadził ją w 1907.

Rozmaitość topologiczna – w matematyce przestrzeń topologiczna Hausdorffa wyglądająca lokalnie jak przestrzeń euklidesowa w sensie zdefiniowanym niżej. Rozmaitości topologiczne stanowią ważną klasę przestrzeni topologicznych o wielorakich zastosowaniach w matematyce.

Z punktu widzenia obowiązującej w danej rozmaitości geometrii absolutnej (na ogół geometrii nieeuklidesowej) krzywe geodezyjne są odpowiednikami prostych, zwykle spełniającymi te same aksjomaty, co proste w geometrii euklidesowej z wyjątkiem postulatu równoległości (piątego aksjomatu Euklidesa).

Ogólna teoria względności (OTW) – popularna nazwa teorii grawitacji formułowanej przez Alberta Einsteina w latach 1907 – 1915, a opublikowanej w roku 1916.

Linia śrubowa (helisa) to krzywa trójwymiarowa zakreślona przez punkt poruszający się ze stałą prędkością po tworzącej walca lub stożka, który obraca się jednocześnie ze stałą prędkością kątową wokół swej osi.

Czasoprzestrzeń

Czasoprzestrzeń w OTW jest szczególnym przypadkiem rozmaitości topologicznej. Linie najkrótsze $x^{\lambda}(s)$ łączące dwa punkty w zakrzywionej czasoprzestrzeni spełniają równanie: $\frac{d^2 x^{\lambda}}{ds^2}+\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=0 ,$

gdzie $\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}$ jest symbolem Christoffela: $\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}=\frac{1}{2}g^{\lambda \rho}(\partial_{\mu}g_{\rho \nu}+\partial_{\nu}g_{\rho \mu}-\partial_{\rho}g_{\mu \nu}) .$

Równanie to wynika z ekstremum funkcjonału $S[x(s)]=mc\int ds =mc \int ds \sqrt{g_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}} ,$

który jest proporcjonalny do długości łuku wzdłuż linii geodezyjnej. Gdy przestrzeń jest płaska, np. jest to przestrzeń Minkowskiego z

Czarna dziura – obiekt astronomiczny, który tak silnie oddziałuje grawitacyjnie na swoje otoczenie, że nawet światło nie może uciec z jego powierzchni (prędkość ucieczki jest większa od prędkości światła).

Geometria nieeuklidesowa – geometria, która nie spełnia co najmniej jednego z aksjomatów geometrii euklidesowej. Może ona spełniać tylko część z nich, przy czym mogą również obowiązywać w niej inne, sprzeczne z aksjomatami i twierdzeniami geometrii Euklidesa.

$g_{\mu\nu}=\mbox{diag}(1,-1,-1,-1)\ ,$

równanie linii geodezyjnej $\frac{d^2 x^{\lambda}}{ds^2}=0.$

Wynika stąd ruch po prostej. Dla przykładu na sferze $S^2$ (2–wymiarowej $(y^{1})^2+(y^{2})^2+(y^{3})^2=r^2$ ) wygodnie jest wprowadzić współrzędne sferyczne $y^1=r \sin(\theta) \sin(\phi),y^2=r \sin(\theta) \cos(\phi), y^3=r \cos(\theta),\;$

wtedy $x^{i}=\{ \theta, \phi \}\quad (i=1,\ 2).$

Element długości $ds^2=dl^2=(dy^{1})^2+(dy^{2})^2+(dy^{3})^2+=g_{i,j}dx^i dx^j =r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2(\theta) d\phi^2\;$ .

Tensor metryczny wyraża się wówczas wzorem: $g_{i,j}=\begin{pmatrix}r^2&0\\0&r^2 \sin^2(\theta)\end{pmatrix}.$

Łatwo policzyć wszystkie składowe symboli Christoffela i rozwiązać równanie linii geodezyjnej. Równanie linii geodezyjnej daje fragmenty okręgów kół wielkich.

W czasoprzestrzeni zakrzywionej przez ciało sferycznie symetryczne tensor metryczny ma postać

Walec jest bryłą geometryczną ograniczoną powierzchnią walcową i dwiema płaszczyznami nierównoległymi do jej tworzącej. Jeżeli płaszczyzny są prostopadłe do tworzącej, wówczas jest to walec prosty.

Czasoprzestrzeń – zbiór zdarzeń zlokalizowanych w przestrzeni i czasie, wyposażony w strukturę afiniczną i metryczną o określonej postaci, w zależności od analizowanego modelu fizycznej czasoprzestrzeni.

$g_{\mu \nu}=\begin{pmatrix}e^{\nu(r)}&0&0&0\\0&-e^{\lambda(r)}&0&0\\0&0&-r^2 &0\\0&0&0&-r^2 \sin^2 (\theta)\end{pmatrix}.$

Metryka ta daje np. $\Gamma^{1}_{0 0}=\frac{1}{2}\frac{d\nu}{dr}e^{\nu -\lambda}$

W polu tym potencjał grawitacyjny jest równy $g_{00}=e^{\nu(r)}=1+\frac{2 \varphi(r)}{c^2}$

gdzie dla rozwiązania Karla Schwarzschilda (czarna dziura) $\varphi(r)=-\frac{r_g c^2}{2}\frac{1}{r}=-G\frac{M}{r}$

Interwał czasoprzestrzenny ds definiuje czas własny $ds= c d\tau.$ W przybliżeniu nierelatywistycznym, gdy prędkości ciała są niewielkie, $d\tau = dt$ i równanie linii geodezyjnej daje równanie Newtona, gdy pomnożymy równanie linii geodezyjnej przez (dowolną) masę ciała. Otrzymujemy równanie Newtona

Koło wielkie – największe koło, jakie można wpisać w kulę. Jego średnica jest równa średnicy kuli, a samo koło dzieli ją na dwie symetryczne połowy zwane półkulami.

Geometria euklidesowa – klasyczna odmiana geometrii opisana po raz pierwszy przez Euklidesa w dziele Elementy (z III w. p.n.e.). Zebrał on całą ówczesną wiedzę matematyczną znaną Grekom, dziś jego dzieło przedstawia się jako pierwszą znaną aksjomatyzację w historii matematyki. Pierwotnie uprawiano ją jedynie na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej wiążąc ją jednocześnie ze światem fizycznym, który miała opisywać, nie dopuszczając tym samym możliwości badania innych odmian geometrii.

$m \frac{d^2 x^i}{dt^2}=-m \partial_i \varphi(r)$

cząstki w polu grawitacyjnym.

Ruch cząstki nie zależy od jej masy, a tylko od geometrii czasoprzestrzeni.

Zobacz też

G-przestrzeń

Przypisy

Nie musi zawierać najkrótszej drogi pomiędzy dowolnymi dwoma swoimi punktami. Na przykład helisa na powierzchni bocznej walca jest linią geodezyjną, ale nie zawiera najkrótszej drogi pomiędzy swoimi punktami leżącymi na jednej euklidesowej prostej równoległej do osi walca.