Logarytm - Polski Serwis Naukowy

Wykresy logarytmów. Czerwony przy podstawie e, zielony przy podstawie 10, purpurowy przy podstawie 1,7

Logarytm (łac. [now.] logarithmus, w sensie stosunek, z gr. λόγ- log-, od λόγος logos , „słowo”, w sensie proporcja, i ἀριθμός árithmós, „liczba”). Logarytm przy podstawie $a$ z liczby $b$ (symbolicznie $\log_a b$ ) oznacza liczbę $c$ , będącą potęgą, do której podstawa $a$ musi być podniesiona, aby dać liczbę $b$ , czyli

Microsoft Excel (pełna nazwa Microsoft Office Excel) - arkusz kalkulacyjny produkowany przez firmę Microsoft dla systemów Windows i MacOS. Pierwsza wersja programu przeznaczona dla Windows trafiła na rynek w roku 1987 i stała się przebojem. Postępujący sukces rynkowy programu sprawił, że w roku 1993 programy pakietu Microsoft Office zostały przeprojektowane tak, by przypominać wyglądem arkusz Excel. Od wersji 5 wydanej w 1995 program zawiera wbudowany język Visual Basic. Od wersji 4.0 dostępny w wersji polskiej.
Język grecki albo greka — język indoeuropejski z grupy helleńskiej, w starożytności ważny język basenu Morza Śródziemnego. W cywilizacji Zachodu zaadaptowany obok łaciny jako język terminologii naukowej, wywarł wpływ na wszystkie współczesne języki europejskie, a także część pozaeuropejskich i starożytnych. Od X wieku p.n.e. zapisywany jest alfabetem greckim. Obecnie, jako język nowogrecki, pełni funkcję języka urzędowego w Grecji i Cyprze. Jest też jednym z języków oficjalnych Unii Europejskiej. Po grecku mówi współcześnie około 15 milionów ludzi.

$\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b,$

przy czym $a, b > 0$ oraz $a \ne 1.$ Przykładowo $\log_2 8 = 3,$ gdyż $2^3 = 8.$

Kluczową własnością logarytmów jest fakt, iż służą one zamianie często czasochłonnego mnożenia na dużo prostsze dodawanie.

Logarytm naturalny

Osobne artykuły: logarytm naturalny i podstawa logarytmu naturalnego.

Dzieło Logarithmorum canonis descriptio Johna Napiera z 1620 roku, w którym podpisuje się on nazwiskiem „Neper”.

Logarytm naturalny, nazywany często logarytmem Nepera, to logarytm o podstawie oznaczanej literą $e$ równą w przybliżeniu $2{,}718281828.$ Zwyczajowo zamiast $\log_e x$ pisze się $\ln x.$ Wybór za podstawę tej szczególnej liczby podyktowany jest definicją funkcji wykładniczej $\exp,$ dla której $\exp(1) = e,$ postaci

Asymptotyczne tempo wzrostu jest miarą określającą zachowanie wartości funkcji wraz ze wzrostem jej argumentów. Stosowane jest szczególnie często w teorii obliczeń, w celu opisu złożoności obliczeniowej, czyli zależności ilości potrzebnych zasobów (np. czasu lub pamięci) od rozmiaru danych wejściowych algorytmu. Asymptotyczne tempo wzrostu opisuje jak szybko dana funkcja rośnie lub maleje, abstrahując od konkretnej postaci tych zmian.
Logarytm dyskretny elementu b (przy podstawie a) w danej grupie skończonej jest to taka liczba całkowita c, że w grupie zachodzi równość (stosując notację multiplikatywną dla działania grupowego):

$\exp(x) = \sum_{k = 0}^\infty \frac{x^k}{k!}$ ,

wtedy jej pochodna (również formalna) $(\exp x)' = \exp x,$ co oznacza, że $(\ln x)' = \tfrac{1}{x}$ zamiast $( \log_a x )' = \tfrac{1}{x \ln a},$ ponieważ $\ln e = 1.$ W pewnym sensie logarytm naturalny jest więc rzeczywiście bardziej „naturalny” spośród logarytmów. Podstawa logarytmu naturalnego $e$ jest liczbą przestępną i jedną z najważniejszych stałych matematycznych.

Logarytm dziesiętny

Osobny artykuł: logarytm dziesiętny.

Zapis bez indeksu $\log x$ albo $\operatorname{lg}\; x$ oznacza zwykle logarytm dziesiętny (Briggsa), czyli mający u swej podstawy liczbę 10:

Pochodna formalna – operacja na elementach pierścieni wielomianów lub pierścieni szeregów formalnych naśladująca własności pochodnej funkcji znanej z analizy matematycznej. Pochodna formalna ułatwia badanie pierwiastków wielomianu: są one wielokrotne, jeśli są zarazem pierwiastkami pochodnej wielomianu.
Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

$\log x=\operatorname{lg} x=\log_{10} x$

Konwencja ta jednak bywa myląca, gdyż niektórzy oznaczają tym symbolem logarytm naturalny. W szczególności $\log(x)$ oznacza logarytm naturalny w niektórych językach programowania, choć np. w polskiej wersji Microsoft Excela ten sam symbol oznacza logarytm dziesiętny. Dla dowolnej liczby $x\geqslant 1$ jej logarytm dziesiętny zaokrąglony w górę (sufit) jest równy minimalnej liczbie cyfr przed przecinkiem w zapisie dziesiętnym $x$ , np.

Suwak logarytmiczny (suwak rachunkowy) – prosty przyrząd ułatwiający obliczenia, powszechnie używany przez inżynierów do końca lat 80. XX wieku. Wynaleziony w 1632 roku przez Williama Oughtreda, zainspirowany linijką logarytmiczną Edmunda Guntera.
Neper (oznaczenie Np) - bezwymiarowa logarytmiczna jednostka miary wielkości ilorazowych, stosowana w elektrotechnice i akustyce, nazwana na cześć Johna Napiera (1550-1617), którego zlatynizowane nazwisko brzmiało "Neper".

$\log 5083495{,}424=6{,}7061624$

Po zaokrągleniu w górę uzyskujemy 7 i rzeczywiście zapis liczby 5083495,424 wymaga 7 miejsc dziesiętnych przed przecinkiem.

Analogicznie dla dowolnego systemu pozycyjnego o podstawie $b$ , należy użyć logarytmu o podstawie $b$ .

Własności

Wprost z definicji: $a^{\log_a b} = b$ , $\log_a 1 = 0$ , $\log_a a = 1$ .

Z własności potęgi wynika również: $\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c$ ,

stąd też

Mnożenie – działanie dwuargumentowe będące jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Mnożone elementy to czynniki (określane również jako mnożna i mnożnik), a jego wynik to iloczyn. Może być ono traktowane jako zapis wielokrotnego dodawania elementu do siebie.
Argument liczby zespolonej – miara kąta skierowanego między wektorem reprezentującym liczbę zespoloną z na płaszczyźnie zespolonej, a osią rzeczywistą. Oznaczenie: arg(z).

$\log_a \tfrac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$ ,

oraz $\log_a b^c = c\cdot \log_a b$ , $\log_a \sqrt[n]{b^c} = \tfrac{c}{n} \log_a b$ ,

i wreszcie $\log_{a^n} b= \tfrac{1}{n} \log_a b$ , $\log_a b = \tfrac{1}{\log_b a}$ ,

a więc $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ ,

w szczególności $\ln{10} \cdot \log e =1$ .

Wnioskiem z powyższych jest następująca równość: $\frac{\log_b x}{\log_b a} = \log_a x$

albo: $\log_b x=\log_b a \log_a x$

Ponieważ funkcje logarytmiczne o różnych podstawach ( $\log_b x$ i $\log_a x$ powyżej) są do siebie proporcjonalne, więc podstawa logarytmu (o ile tylko jest liczbą większą od 1) jest w niektórych porównaniach nieistotna. Tak jest na przykład w teorii złożoności obliczeniowej przy określaniu czasu działania algorytmów w sensie asymptotycznym.

Język programowania – zbiór zasad określających, kiedy ciąg symboli tworzy program (czyli ciąg symboli opisujący obliczenia) oraz jakie obliczenia opisuje.
Dodawanie jest jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Obiekty dodawane to składniki, wynik dodawania nazywa się sumą. Dodawanie oznaczane jest zwyczajowo znakiem plus: + .

Zachodzi również: $a^{log_c b}=b^{log_c a}$

Każda liczba dodatnia ma logarytm rzeczywisty, ujemna jednak wyłącznie zespolony ponieważ $e^{\pi i} = -1$ . Ponieważ potęga niezerowej liczby (nawet dla liczb zespolonych) nigdy nie wynosi zero, więc logarytm nie jest w zerze określony.

Jeżeli podstawa $a>1$ , to: $\lim_{x\to 0}\log_a x=-\infty$ $\lim_{x\to +\infty}\log_a x=+\infty$

dla $0<a<1$ zachodzi natomiast:

John Napier [Neper] Lord of Merchiston (ur. 1550 - zm. 4 kwietnia 1617) - szkocki właściciel ziemski, antypapista, matematyk, powszechnie uważany za wynalazcę logarytmów.
Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

$\lim_{x\to 0}\log_a x=+\infty$ $\lim_{x\to +\infty}\log_a x=-\infty$

Można również zastosować logarytm wraz z funkcją wykładniczą, do obliczania dowolnych potęg (x i y dodatnie): $x^y = a^{y\log_a x}$

jest to przydatne szczególnie na komputerach (tzw. funkcja pow), na suwakach logarytmicznych lub przy użyciu gotowych tablic. W zastosowaniach praktycznych najczęściej używaną wartością a jest 2, e oraz 10.

Liczby zespolone

Logarytm można uogólnić na liczby zespolone, co pozwala obliczać go także dla ujemnych liczb rzeczywistych. Niech $z$ będzie różną od zera liczbą zespoloną. Wtedy:

Chemia (. Współcześnie wiadomo, że przemiany substancji wynikają z praw, według których atomy łączą się poprzez wiązania chemiczne w mniej lub bardziej trwałe związki chemiczne, a także praw według których wiązania pękają i tworzą się ponownie prowadząc do przemian jednych związków w drugie co jest nazywane reakcjami chemicznymi. Chemia zajmuje się także rozmaitymi własnościami substancji wynikającymi bezpośrednio z ich budowy atomowej.
Skala pH – ilościowa skala kwasowości i zasadowości roztworów wodnych związków chemicznych. Skala ta jest oparta na aktywności jonów hydroniowych [H3O+] w roztworach wodnych.

gdzie:

$k$ jest dowolną liczbą całkowitą,

$\ln |z|$ jest zwykłym logarytmem naturalnym z modułu liczby $z$ (moduł liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą),

$\operatorname{arg}$ to argument liczby zespolonej $z$

$\phi$ to argument główny

W szczególności dla liczb zespolonych: $\ln 1=2k\pi i$ , $\ln (-1)=(2k+1)\pi i$ , $\ln i=\frac{4k+1}{2}\pi i$

Logarytm zespolony nie jest jednoznacznie określony, gdyż daje różne wartości dla różnych $k$ . Przyjmując $k=0$ otrzymujemy tzw. wartość główną logarytmu. Niektórzy autorzy oznaczają ją dla odróżnienia dużą literą: $\operatorname{Ln}$ . Inni przeciwnie, wielką literą oznaczają ogólną postać logarytmu, a małą wartość główną. Jeszcze inni obydwie wersje oznaczają tym samym symbolem pisanym małą literą.

Łacina (łac. lingua Latina, język łaciński) – język indoeuropejski z podgrupy latynofaliskiej języków italskich, wywodzący się z Lacjum (łac. Latium), krainy w starożytnej Italii, na północnym skraju której znajduje się Rzym. Łacina była językiem ojczystym Rzymian. Stała się z czasem językiem urzędowym całego Imperium Rzymskiego, wypierając inne wcześniej używane na tym obszarze języki (takie jak oskijski czy umbryjski).

Logarytm o podstawie zespolonej przekształcamy do logarytmu naturalnego analogicznie jak dla liczb rzeczywistych: $\log_w z=\frac{\ln z}{\ln w}$ dla $z\ne 0$

gdzie:

$w$ i $z$ są liczbami zespolonymi.

$\ln z$ i $\ln w$ są dane wzorem (1)

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)