Macierz - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zapoznaj się również z: inne znaczenia tego słowa.

Macierz – w matematyce układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Choć słowo „macierz” oznacza najczęściej macierz dwuwskaźnikową, to możliwe jest rozpatrywanie macierzy wielowskaźnikowych (zob. notacja wielowskaźnikowa). Macierze jednowskaźnikowe nazywa się często wektorami wierszowymi lub kolumnowymi, co wynika z zastosowań macierzy w algebrze liniowej. W informatyce macierze modeluje się zwykle za pomocą (najczęściej dwuwymiarowych) tablic.

Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową.
Algorytm iteracyjny - algorytm, który uzyskuje wynik przez powtarzanie danej operacji określoną ilość razy. Niektóre problemy można rozwiązać zarówno za pomocą algorytmu iteracyjnego, jak i rekurencyjnego, jak np. problem wież Hanoi.

Podstawowym przeznaczeniem macierzy jest sformułowanie spójnego, a zarazem zwartego sposobu zapisu pojęć i twierdzeń algebry liniowej, a więc przede wszystkim opis przekształceń liniowych między dwoma przestrzeniami liniowymi nad wspólnym ciałem (skończenie wymiarowych, z ustalonymi bazami), czy form dwuliniowych na przestrzeni liniowej (skończonego wymiaru z wybraną bazą). Nieomalże wszystkie inne zastosowania wynikają z tych interpretacji − macierz Jacobiego, macierz Hessego , czy gradient obecne w analizie wielowymiarowej to macierze pochodnych (przedstawiane w ustalonych bazach, zwykle standardowych); podobnie ma się rzecz z wieloma możliwościami rozkładu macierzy na iloczyn macierzy o ustalonych własnościach − odpowiadają one złożeniom odpowiednich przekształceń. Możliwe jest jednak ich rozpatrywanie, bez uciekania się do interpretacji geometrycznych, jako samodzielnego działu matematyki nazywanego teorią macierzy. W ten sposób macierze obecne są również w grafice komputerowej do reprezentowania przekształceń świata przedstawionego w trzech wymiarach i odwzorowywania go na dwuwymiarowym ekranie. Źródłem powyższych zastosowań jest możliwość zwartego przedstawienia układów równań liniowych i łatwość odczytu ich własności, rozwiązań itp.

Spektroskopia – nauka o powstawaniu i interpretacji widm powstających w wyniku oddziaływań wszelkich rodzajów promieniowania na materię rozumianą jako zbiorowisko atomów i cząsteczek. Spektroskopia jest też często rozumiana jako ogólna nazwa wszelkich technik analitycznych polegających na generowaniu widm.
W teorii grafów macierz sąsiedztwa (multi)grafu G jest kwadratową macierzą w której aij oznacza liczbę krawędzi pomiędzy wierzchołkami i i j. W przypadku grafów prostych macierz sąsiedztwa jest macierzą zerojedynkową z zerami na głównej przekątnej. Dla grafów nieskierowanych macierz sąsiedztwa jest z definicji symetryczna.

Ponieważ macierze można traktować jak („długie”) wektory (najczęściej nad pewnym ciałem, takim jak np. liczby rzeczywiste, czy liczby zespolone), to w wielu wypadkach możliwe jest wprowadzenie przeróżnych struktur algebraicznych, czy topologicznych na różnego rodzaju przestrzeniach macierzy, co wynika stąd, iż zbiór macierzy ustalonego typu tworzy skończeniewymiarową przestrzeń liniową z działaniami na macierzach (traktowanych jak wektory, tzn. wprowadzonymi „po składowych”) − każda z tych przestrzeni ma identyczną strukturę z przestrzenią współrzędnych nad tym ciałem. Dla macierzy nad ciałami liczb rzeczywistych, czy zespolonych można przykładowo wprowadzić strukturę przestrzeni euklidesowej z jej naturalnymi strukturami, a nawet pójść krok dalej: wprowadzić strukturę algebry Liego, co w dalszym stopniu zwiększa liczbę zastosowań teorii macierzy.

Teoria grafów dział w matematyce i informatyce zajmujący się badaniem własności grafów. Informatyka rozwija także algorytmy wyznaczające pewne właściwości grafów. Algorytmy te stosuje się do rozwiązywania wielu zadań praktycznych, często w dziedzinach na pozór nie związanych z grafami.
Metoda najmniejszych kwadratów (bardziej odpowiednia, ale nieużywana nazwa: metoda minimum sumy kwadratów błędów) – metoda statystycznych estymacji i wyznaczania linii trendu na podstawie zbioru danych w postaci par liczb. Najczęściej jest stosowana przy regresji liniowej, ale może też być stosowana do statystycznego wyznaczania parametrów nieliniowych linii trendu.

W ogólności struktura algebraiczna w zbiorze współczynników umożliwiająca wprowadzenie działań algebraicznych na macierzach może być pierścieniem przemiennym, a nawet półpierścieniem; w teorii reprezentacji wykorzystuje się możliwość zanurzenia grup w przestrzeniach liniowych, a więc użycia teorii macierzy w teorii grup. Dzięki temu macierze znalazły zastosowanie również w kryptografii, rachunku prawdopodobieństwa, czy elektronice − część z nich omówiono w Uogólnieniach.

Rozkład prawdopodobieństwa – w najczęstszej interpretacji (rozkład zmiennej losowej) miara probabilistyczna określona na sigma-ciele podzbiorów zbioru wartości zmiennej losowej (wektora losowego), pozwalająca przypisywać prawdopodobieństwa zbiorom wartości tej zmiennej, odpowiadającym zdarzeniom losowym. Formalnie rozkład prawdopodobieństwa może być jednak rozpatrywany także bez stosowania zmiennych losowych.
Przekształcenie lub odwzorowanie liniowe – w algebrze liniowej odwzorowanie między przestrzeniami liniowymi zachowujące ich strukturę (tzw. homomorfizm), a więc działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar. Dokładniej, jest to każda funkcja addytywna i jednorodna.

W artykule zakłada się, że wszystkie macierze mają współczynniki z ustalonego ciała $\scriptstyle K,$ o ile nie zaznaczono inaczej.

Wprowadzenie i oznaczenia

Kolumny macierzy

Wiersze macierzy

Poziomy układ elementów znajdujących się w jednej linii nazywa się wierszem, a pionowy – kolumną macierzy. Dane wpisane w macierz nazywa się jej elementami, współczynnikami lub wyrazami; każdy element można jednoznacznie zidentyfikować podając jego wskaźniki lub indeksy − zwykle w tej kolejności: numer wiersza i kolumny macierzy, w której stoi. Para złożona z liczby wierszy i kolumn nazywana jest typem macierzy − często liczby te oddziela się znakiem $\scriptstyle \times.$ Wyrazy macierzy otacza się przeważnie nawiasami okrągłymi lub kwadratowymi (rzadko spotyka się jeszcze podwójne kreski, co może prowadzić do pomyłki np. z wartością bezwzględną wyznacznika bądź normą macierzy; zob. Ujęcie algebraiczne i uogólnienia); stąd napisy

Wartość bezwzględna a. moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Przykładowo 3 jest wartością bezwzględną tak liczby 3 jak i − 3.
Krakowian to tablica zastępująca macierz w obliczeniach ręcznych zaproponowana przez Tadeusza Banachiewicza. Ma inaczej zdefiniowane mnożenie, w krakowianach mnoży się przez siebie kolumny, dzięki temu do wykrywania błędów obliczeń można stosować sumy kontrolne. Zastosowanie krakowianów upraszcza wiele wzorów i obliczeń numerycznych.

$\begin{bmatrix} 9 & 8 & 7 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ 6 & 0 & 5 \end{bmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 9 & 8 & 7 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ 6 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

oznaczają te same macierze − w dalszej części artykułu stosowane będą nawiasy kwadratowe. W ten sposób powyższa macierz złożona jest z 4 wierszy i 3 kolumn, tzn. jest typu $\scriptstyle 4 \times 3.$ Liczba $\scriptstyle 9$ występuje w tej macierzy dwukrotnie: na przecięciu pierwszego wiersza i pierwszej kolumny oraz na przecięciu trzeciego wiersza i drugiej kolumny − innymi słowy element macierzy o wskaźnikach $\scriptstyle 1,1$ lub $\scriptstyle 3,2$ to $\scriptstyle 9.$ Ostatnia (trzecia) kolumna składa się z elementów $\scriptstyle 7, 7, 2, 5$ w tej właśnie kolejności.

Teoria złożoności obliczeniowej to dział teorii obliczeń. Głównym jej celem jest określanie ilości zasobów potrzebnych do rozwiązania problemów obliczeniowych. Rozważanymi zasobami są takie wielkości jak czas, pamięć lub liczba procesorów. Za twórców tej teorii uważani są Juris Hartmanis i Richard Stearns. Jako przykłady problemów t.z.o. można podać: problem spełnialności, problem najkrótszej ścieżki, problem faktoryzacji oraz wiele innych o których wiadomo że są obliczalne. Kwestią obliczalności zajmuje się teoria obliczalności, będąca drugą ważną gałęzią teorii obliczeń.
Teorie pól kwantowych (ang. QFT - Quantum Field Theory) to współczesne teorie fizyczne tłumaczące oddziaływania podstawowe. Są one rozwinięciem mechaniki kwantowej zapewniającym jej zgodność ze szczególną teorią względności.

Nie ma ogólnie przyjętej metody oznaczania macierzy, przy czym trendy podlegały zmianom w czasie. Sposób oznaczania typu nie jest ustalony − zwykle bywa zapisywany oddzielnie (jak w tym artykule). W artykule przyjęto konwencję stosowania tych samych liter alfabetu łacińskiego na oznaczenie macierzy i jej elementów − dużych (pogrubionych, prostych) do oznaczenia macierzy i małych (pochylonych), o ile są skalarami, ze wskaźnikami w indeksie dolnym (zwykle, choć spotyka się oznaczenia ze wskaźnikami w indeksie górnym albo po jednym w każdym z indeksów; wśród innych sposobów zapisu można wymienić również notację funkcyjną, zob. definicję) na oznaczenie jej elementów. Tak więc elementy macierzy oznaczonej literą $\scriptstyle \mathbf A$ będą zapisywane symbolicznie jako $\scriptstyle a_{i,j},$ gdzie $\scriptstyle i,j$ jest wskaźnikiem elementu leżącego na przecięciu $\scriptstyle i$ -tego wiersza i $\scriptstyle j$ -tej kolumny, lub jeśli nie wprowadza to niejasności, $\scriptstyle a_{i\,j}$ lub po prostu $\scriptstyle a_{ij}$ – taki element (współczynnik, wyraz) nazywa ogólnym. Macierz złożoną z elementów $\scriptstyle a_{ij}$ oznacza się otaczając wyraz ogólny nawiasami okrągłymi, $\scriptstyle (a_{ij}),$ lub (jak w tym artykule) kwadratowymi, $\scriptstyle [a_{ij}].$ W ten sposób macierz $\scriptstyle [a_{ij}]$ będzie oznaczana $\scriptstyle \mathbf A,$ tzn.

Kwadrat magiczny – tablica składająca się z n wierszy i n kolumn (n>2), w którą wpisano n2 różnych dodatnich liczb naturalnych w ten sposób, że suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama (tzw. suma magiczna). Kwadrat, w którym suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie jest taka sama, ale sumy liczb w przekątnych są różne, nazywa się półmagicznym.
Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii, będącej działem matematyki, zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).

$\mathbf A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2m} \\ a_{31} & a_{32} & \dots & a_{3m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nm} \end{bmatrix}.$

Macierz o tej samej liczbie kolumn, co liczba wierszy nazywa się kwadratową − wspomnianą wspólną liczbę kolumn i wierszy nazywa się wtedy stopniem tej macierzy; macierze nie będące kwadratowymi nazywa dla wyróżnienia prostokątnymi. Jeśli macierz jest kwadratowa, to ciąg elementów o równych wskaźnikach wiersza i kolumny począwszy od jeden do jej stopnia nazywa się główną przekątną (główną diagonalą lub często po prostu przekątną bądź diagonalą) macierzy kwadratowej; przekątne leżące nad lub pod główną przekątną nazywa się odpowiednio nadprzekątną lub podprzekątną macierzy; przekątną, której wiersz rośnie od pierwszego do ostatniego, a kolumna maleje od ostatniej do pierwszej nazywa czasem przeciwprzekątną lub antyprzekątną. Pojęcia te uogólnia się niekiedy na dowolne macierze prostokątne.

Andrzej Stanisław Mostowski (ur. 1 listopada 1913 we Lwowie, zm. 22 sierpnia 1975 w Vancouver, Kanada) – polski matematyk zajmujący się głównie podstawami matematyki, przedstawiciel warszawskiej szkoły matematycznej.
Twierdzenie Cayleya–Hamiltona (nazwa od matemtyków Artura Cayleya i Williama Hamiltona) mówi, że każda macierz kwadratowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych jest pierwiastkiem swojego wielomianu charakterystycznego.

Dla macierzy $\mathbf M = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 6 & 4 \\ 5 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

stopnia $\scriptstyle 3$ jej główną przekątną jest ciąg elementów $\scriptstyle m_{11}, m_{22}, m_{33}$ równych odpowiednio $\scriptstyle 0, 6, 3,$ a antyprzekątną − ciąg złożony z elementów $\scriptstyle m_{13}, m_{22}, m_{31}$ równych kolejno $\scriptstyle 1, 6, 5.$ Jej nadprzekątną i podprzekątną tworzą odpowiednio pary elementów $\scriptstyle m_{12}, m_{23}$ i $\scriptstyle m_{21}, m_{32}$ równych kolejno $\scriptstyle 2, 4$ oraz $\scriptstyle 1, 0.$

Podmacierz danej macierzy to dowolny układ jej elementów powstały przez „skreślenie” pewnej liczby wierszy i kolumn sam tworzący macierz; w szczególności podmacierze (kwadratowe) zawierające kolejne wiersze i kolumny o tych samych wskaźnikach, poczynając od pierwszego, nazywa się podmacierzami głównymi; innymi słowy są to podmacierze kwadratowe zawierające pewną liczbę początkowych wyrazów głównej przekątnej. Macierz klatkowa to macierz, w której wprowadzono podział elementów na grupy kolejnych wierszy i kolumn − obrazowo czyni się to prowadząc poziome i pionowe linie między wierszami i kolumnami macierzy dzieląc ją na podmacierze nazywane klatkami. Podział ten umożliwia traktowanie macierzy klatkowej jako macierzy, której elementami są inne macierze (klatki); podobnie macierze klatkowe można zestawiać z „pasujących” macierzy.

Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.
Macierz dołączona – w algebrze liniowej macierz pełniąca rolę podobną do macierzy odwrotnej do danej macierzy zdefiniowana jednak dla dowolnej macierzy kwadratowej (nie tylko odwracalnej).

Jeżeli dane są macierze: $\scriptstyle \mathbf A, \mathbf B, \mathbf C, \mathbf D$ odpowiednio typów $\scriptstyle (n, m),\ (n, k),\ (l, m),\ (l, k),$ to można z nich zestawić macierz klatkową $\begin{bmatrix} \frac{\mathbf A\, |\, \mathbf B}{\mathbf C\, |\, \mathbf D} \end{bmatrix}.$

Podstawowe działania

Osobne artykuły: dodawanie, mnożenie przez skalar, mnożenie, transpozycja i operacje elementarne.

Macierze $\scriptstyle \mathbf A = [a_{ij}]$ i $\scriptstyle \mathbf B = [b_{ij}]$ uważa się za równe, jeśli mają ten sam typ i równe odpowiadające sobie elementy, tzn. dla każdej możliwej pary $\scriptstyle i, j$ zachodzi $\scriptstyle a_{ij} = b_{ij}.$

Schematyczne przedstawienie iloczynu $\scriptstyle \mathbf{AB}$ macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ oraz $\scriptstyle \mathbf B.$ .

Sumę macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ i $\scriptstyle \mathbf B$ definiuje się „po współczynnikach”, tzn. za pomocą wzoru

Równanie różniczkowe cząstkowe to równanie, w którym występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych.
Forma kwadratowa albo funkcjonał kwadratowy – w algebrze liniowej szczególna forma (funkcjonał) określona na danej przestrzeni liniowej (tzn. funkcja w ciało jej skalarów), mianowicie jednorodna stopnia 2 funkcja wielomianowa drugiego stopnia.

$\mathbf{A + B} = [a_{ij} + b_{ij}]$ dla wszystkich $i, j.$

Mnożenie przez skalar macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ oraz liczby $\scriptstyle c$ również definiuje się „po współczynnikach”, czyli $c\mathbf A = [ca_{ij}]$ dla dowolnych $i, j.$

Działanie mnożenia macierzy można określić na wiele sposobów, najczęściej jednak „mnożenie macierzy” oznacza tzw. iloczyn Cauchy'ego macierzy (zob. przekształcenia liniowe): dla macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ typu $\scriptstyle m \times n$ oraz $\scriptstyle \mathbf B$ typu $\scriptstyle n \times p$ dany jest on jako taka macierz $\scriptstyle \mathbf C$ typu $\scriptstyle m \times p,$ oznaczana $\scriptstyle \mathbf{AB},$ dla której $c_{ij} = a_{i1} b_{1j} + a_{i2} b_{2j} + \dots + a_{im}b_{mj}$ dla dowolnych $i, j.$

Mnożenie to jest łączne, ale nie jest przemienne; ponadto jest ono obustronnie rozdzielne względem dodawania, a do tego zgodne z mnożeniem przez skalar.

Macierz trójkątna to macierz kwadratowa, której wszystkie współczynniki pod główną przekątną lub wszystkie współczynniki nad tą przekątną są równe zero. Należy zauważyć, że kwadratowa macierz schodkowa jest zawsze macierzą trójkątną.
Orbital molekularny (inaczej: cząsteczkowy, skrót: MO) jest funkcją, opisującą stan elektronu w cząsteczce, w ramach teorii orbitali molekularnych. Zwykle przedstawia się go jako kombinację orbitali atomowych - "zwykłych" bądź zhybrydyzowanych.

Przestawienie bądź transpozycja danej macierzy $\scriptstyle \mathbf A,$ tzn. zamiana jej kolumn i wierszy miejscami (z zachowaniem kolejności) pozwala na zwięzłe przedstawienie wielu jej własności; macierz transponowaną lub przestawioną względem macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ definiuje się jako macierz $\mathbf A^\mathrm T = [a_{ji}]$ dla wszystkich $i, j,$

przy czym $\scriptstyle (\mathbf{AB})^\mathrm T = \mathbf B^\mathrm T \mathbf A^\mathrm T$ oraz $\scriptstyle \left(\mathbf A^\mathrm T\right)^\mathrm T = \mathbf A.$

Operacjami elementarnymi na macierzy nazywa się operacje: zamiany miejscami dwóch wierszy macierzy, pomnożenia jednego z wierszy przez liczbę różną od zera oraz dodania wiersza macierzy do innego jej wiersza. Macierz elementarna to macierz powstała z macierzy jednostkowej w wyniku jednej operacji elementarnej na jej wierszach. Podobnie definiuje się operacje elementarne na kolumnach danej macierzy.

Teoria grup – jeden z działów matematyki, uznawany za część algebry, badający własności obiektów zwanych grupami. Wraz z zastosowaniami stanowi on obecnie ogromną, autonomiczną dziedzinę wiedzy.
Metoda Elementów Skończonych albo Metoda Elementu Skończonego (MES, ang. FEM, finite-element method) – zaawansowana metoda rozwiązywania układów równań różniczkowych, opierająca się na podziale dziedziny (tzw. dyskretyzacja) na skończone elementy, dla których rozwiązanie jest przybliżane przez konkretne funkcje, i przeprowadzaniu faktycznych obliczeń tylko dla węzłów tego podziału.

Macierze prostokątne

Układy równań liniowych

Osobne artykuły: układ równań liniowych i operacje elementarne.

Układ $\scriptstyle n$ równań liniowych o $\scriptstyle m$ zmiennych postaci $\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1m}x_m = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2m}x_m = b_2 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2} x_2 + \cdots + a_{nm}x_m = b_n \end{cases}$

można zapisać w postaci równania macierzowego $\mathbf{AX} = \mathbf B,$

dla danych macierzy $\scriptstyle \mathbf A = [a_{ij}],$ nazywanej macierzą główną układu, $\scriptstyle \mathbf X = [x_j]$ oraz $\scriptstyle \mathbf B = [b_i].$ Macierz klatkową postaci $\scriptstyle [\mathbf A|\mathbf B]$ nazywa się macierzą uzupełnioną lub rozszerzoną układu.

W celu uzyskania rozwiązania układy równań liniowych przekształca się za pomocą operacji elementarnych, które zachowują zbiór rozwiązań układu; odpowiadają im operacje elementarne na wierszach macierzy, których przykładanie można postrzegać jako mnożenie lewostronne macierzy uzupełnionych układu przez macierze elementarne (mnożenie prawostronne odpowiada operacjom elementarnym na kolumnach macierzy).

Grupa – jedna z prostszych struktur algebraicznych: niepusty zbiór, na którym określono pewne łączne i odwracalne działanie dwuargumentowe. Skrótowo możemy powiedzieć, że grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.
Graf to – w uproszczeniu – zbiór wierzchołków, które mogą być połączone krawędziami, w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków (ilustracja po prawej stronie). Grafy to podstawowy obiekt rozważań teorii grafów. Za pierwszego teoretyka i badacza grafów uważa się Leonarda Eulera, który rozstrzygnął zagadnienie mostów królewieckich.

Przekształcenia liniowe

Osobne artykuły: przekształcenie liniowe, macierz przekształcenia liniowego i rząd macierzy.

Wektory zapisane jako kolumny macierzy typu $\scriptstyle 2 \times 2$ odpowiadają bokom równoległoboku o wspólnym wierzchołku w zerze otrzymanego z kwadratu jednostkowego.

Każda macierz $\scriptstyle \mathbf A$ typu $\scriptstyle m \times n$ opisuje przekształcenie liniowe $\scriptstyle \mathrm A$ przestrzeni współrzędnych $\scriptstyle K^n$ w $\scriptstyle K^m$ odwzorowujące wektor $\scriptstyle \mathbf x$ w wektor $\scriptstyle \mathrm A(\mathbf x).$ Przekształceniu temu odpowiada mnożenie macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ typu $\scriptstyle m \times n$ przez macierz $\scriptstyle \mathbf X$ typu $\scriptstyle n \times 1$ o tych samych współczynnikach, co wektor $\scriptstyle \mathbf x$ dając w wyniku macierz $\scriptstyle \mathbf{AX}$ typu $\scriptstyle m \times 1$ o współczynnikach identycznych z tymi w wektorze $\scriptstyle \mathrm A(\mathbf x).$ Odwrotnie: każde przekształcenie liniowe $\scriptstyle \mathrm A\colon K^n \to K^m$ zadaje macierz $\scriptstyle \mathbf A = [a_{ij}]$ typu $\scriptstyle m \times n$ przy czym $\scriptstyle a_{ij}$ to $\scriptstyle i$ -ta współrzędna wektora $\scriptstyle \mathrm A(\mathbf e_j),$ gdzie $\scriptstyle \mathbf e_j = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0)$ jest wektorem o współrzędnych równych zeru poza $\scriptstyle j$ -tą współrzędną równą jedynce. Przekształcenie $\scriptstyle \mathrm A$ jest więc reprezentowane przez macierz $\scriptstyle \mathbf A,$ zaś $\scriptstyle \mathbf A$ jest macierzą przekształcenia liniowego $\scriptstyle \mathrm A.$

Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.
Macierz przekształcenia liniowego – macierz będąca wygodnym zapisem przekształcenia liniowego dwóch skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem. Zachodzący izomorfizm sprawia, że mnożeniu macierzy oraz domnażaniu wektorów odpowiada składanie przekształceń i obliczanie wartości przekształcenia na wspomnianym wektorze.

W ten sposób układ równań liniowych $\scriptstyle \mathbf{AX} = \mathbf B$ można traktować jako problem opisu przekształcenia liniowego $\scriptstyle \mathrm A(\mathbf x) = \mathbf b,$ gdzie

istnienie rozwiązań jest tożsame z istnieniem wektora $\scriptstyle \mathbf x$ spełniającego $\scriptstyle \mathrm A(\mathbf x) = \mathbf b$ (czyli należeniem $\scriptstyle \mathbf b$ do obrazu $\scriptstyle \mathrm A$ ),

jednoznaczność rozwiązań jest równoważna różnowartościowości przekształcenia $\scriptstyle \mathrm A$ (czyli trywialności jego jądra).

Podejście to tłumaczy często stosowane nazwy wektor zmiennych i wektor wyrazów wolnych odpowiednio macierzy $\scriptstyle \mathbf X$ i macierzy $\scriptstyle \mathbf B,$ którym odpowiadają wektory $\scriptstyle \mathbf x$ oraz $\scriptstyle \mathbf b.$ W ogólności macierze odpowiednio typu $\scriptstyle m \times 1$ oraz $\scriptstyle 1 \times n$ (jednokolumnowe i jednowierszowe) nazywa się zwykle wektorami kolumnowymi i wektorami wierszowymi.

Statystyka – nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody pozyskiwania i prezentacji, a przede wszystkim analizy danych opisujących zjawiska, w tym masowe.
Wiązanie chemiczne według klasycznej definicji to każde trwałe połączenie dwóch atomów. Wiązania chemiczne powstają na skutek uwspólnienia dwóch lub więcej elektronów pochodzących bądź z jednego, bądź z obu łączących się atomów lub przeskoku jednego lub więcej elektronów z jednego atomu na atom i utworzenia w wyniku tego tzw. pary jonowej.

Przykładowo macierz rzeczywistą $\scriptstyle \mathbf A = \left[\begin{smallmatrix} a & c \\ b & d \end{smallmatrix}\right]$ można postrzegać jako przekształcenie kwadratu jednostkowego w równoległobok o wierzchołkach $\scriptstyle (0, 0);\ (a, b);\ (a + c, b + d);\ (c, d).$ Równoległobok na rys. obok otrzymano poprzez przemnożenie macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ kolejno przez macierze $\scriptstyle \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right],$ co odpowiada przykładaniu przekształcenia $\scriptstyle \mathrm A$ do wektorów wskazujących wierzchołki kwadratu jednostkowego.

Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z Elei
Text mining – ogólna nazwa metod eksploracji danych służących do wydobywania danych statystycznych z tekstu i ich późniejszej obróbki. Metody text mining stosowane są np. do statystycznego przetwarzania:

Definicja standardowego mnożenia macierzy jest dobrana tak, by we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości przekształceń liniowych i macierzy składaniu pierwszych odpowiadało mnożenie drugich: jeśli przekształceniu $\scriptstyle \mathrm B\colon K^m \to K^p$ odpowiada macierz $\scriptstyle \mathbf B$ typu $\scriptstyle p \times m,$ to złożeniu $\scriptstyle \mathrm B \circ \mathrm A\colon K^n \to K^p$ odpowiada wtedy macierz $\scriptstyle \mathbf{BA}$ typu $\scriptstyle p \times n,$ gdyż działaniu $\scriptstyle (\mathrm B \circ \mathrm A)(\mathbf x) = \mathrm B\displaystyle(\scriptstyle\mathrm A(\mathbf x)\displaystyle)$ odpowiada mnożenie macierzy $\scriptstyle (\mathbf{BA})\mathbf X = \mathbf B(\mathbf{AX}).$

Pochodna cząstkowa – w matematyce dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.
Przestrzeń Hilberta – rzeczywista lub zespolona wyznaczona przez iloczyn skalarny jest zupełna. Każda przestrzeń Hilberta jest więc, w szczególności, przestrzenią Banacha. Geometria przestrzeni Hilberta zdecydowanie jednak odróżnia się od geometrii pozostałych przestrzeni Banacha - dla przykładu twierdzenie o zbiorze wypukłym zachodzi wyłącznie w przestrzeniach Hilberta.

Z tego powodu macierz $\scriptstyle \mathbf A$ traktuje się zwykle jak odpowiadające mu przekształcenie liniowe $\scriptstyle \mathrm A,$ a wektory $\scriptstyle \mathbf x$ utożsamia się z ich macierzami $\scriptstyle \mathbf X;$ w związku z tym spotyka się często zapis $\scriptstyle \mathbf{Ax}$ oznaczający działanie przekształcenia liniowego na wektorze $\scriptstyle \mathbf x;$ zapis $\scriptstyle \mathrm A \mathbf x$ jest nieco bardziej formalny zważywszy na własność liniowość przekształcenia.

Carl Gustav Jakob Jacobi (ur. 10 grudnia 1804 w Poczdamie - zm. 18 lutego 1851 w Berlinie) – matematyk niemiecki. Profesor uniwersytetu w Królewcu. Członek między innymi Berlińskiej Akademii Nauk.
Liniowa niezależność – w algebrze liniowej własność algebraiczna rodziny wektorów danej przestrzeni liniowej mówiąca, że żaden z nich nie może być zapisany jako kombinacja liniowa skończenie wielu innych wektorów ze zbioru. Rodzinę wektorów, która nie jest liniowo niezależna, nazywa się liniowo zależną.

Rzędem macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ nazywa się rząd odpowiadającego jej przekształcenia liniowego $\scriptstyle \mathrm A,$ czyli wymiar jego obrazu, tzn. największą liczbę liniowo niezależnych wierszy bądź kolumn macierzy (liczba niezależnych równań w układzie równań liniowych). Twierdzenie o rzędzie mówi, że suma wymiaru jądra i rzędu macierzy jest równa liczbie jej kolumn.

Teoria sterowania - jedna z gałęzi cybernetyki, zajmuje się analizą i modelowaniem matematycznym obiektów i procesów różnej natury (np. chemicznych, cieplnych, mechanicznych, hydraulicznych, pneumatycznych, elektrycznych).
Akcelerator – urządzenie służące do przyspieszania cząstek elementarnych lub jonów do prędkości bliskich prędkości światła. Cząstki obdarzone ładunkiem elektrycznym są przyspieszane w polu elektrycznym. Do skupienia cząstek w wiązkę oraz do nadania im odpowiedniego kierunku używa się odpowiednio ukształtowanego, w niektórych konstrukcjach także zmieniającego się w czasie, pola magnetycznego lub elektrycznego.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)