Macierz Jacobiego - Polski Serwis Naukowy

Macierz Jacobiego – macierz zbudowana z pochodnych cząstkowych (pierwszego rzędu) funkcji, której składowymi są funkcje rzeczywiste. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka Carla Gustawa Jacobiego, który je wprowadził (niezależnie pojęcie to badał Michaił Ostrogradski).

Macierz Jacobiego i jej wyznacznik, nazywany jakobianem, znajdują zastosowanie w teorii funkcji uwikłanych, a także zagadnieniach związanych z zamianą zmiennych w całkach wielokrotnych, gdyż opisują one pochodną Frécheta funkcji wielu zmiennych (przestrzeni euklidesowych) w danym punkcie, o ile istnieje.

Funkcja wielu zmiennych – funkcja, której dziedzina została zdefiniowana jako iloczyn kartezjański co najmniej dwu zbiorów. Wówczas elementy dziedziny są krotkami. Wiele podstawowych funkcji rozpatrywanych w matematyce jest funkcjami wielu zmiennych (np. działania).
Macierz przekształcenia liniowego – macierz będąca wygodnym zapisem przekształcenia liniowego dwóch skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem. Zachodzący izomorfizm sprawia, że mnożeniu macierzy oraz domnażaniu wektorów odpowiada składanie przekształceń i obliczanie wartości przekształcenia na wspomnianym wektorze.

Definicja

Niech $U\;$ oznacza otwarty podzbiór przestrzeni euklidesowej $\mathbb R^n.$ Niech ponadto dana będzie funkcja $\mathrm f = (f_1, \dots, f_m)$ zbioru $U\;$ w przestrzeń $\mathbb R^m,$ której $m\;$ składowych stanowią funkcje $f_i\;$ zbioru $U\;$ o wartościach rzeczywistych. Jeżeli funkcja $\mathrm f\;$ ma wszystkie pochodne cząstkowe w punkcie $\mathrm x \in U,$ to macierzą Jacobiego $\mathbf J_\mathrm f(\mathrm x)$ funkcji $\mathrm f$ w punkcie $\mathrm x$ nazywa się macierz daną wzorem

Pochodna cząstkowa – w matematyce dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.
Carl Gustav Jakob Jacobi (ur. 10 grudnia 1804 w Poczdamie - zm. 18 lutego 1851 w Berlinie) – matematyk niemiecki. Profesor uniwersytetu w Królewcu. Członek między innymi Berlińskiej Akademii Nauk.

$\left[\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\mathrm x)\right]_{i, j}$

Obok zależnej od punktu macierzy $\mathbf J_\mathrm f(\mathrm x)$ można rozpatrywać macierz $\mathbf J_\mathrm f$ postaci $\begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}$

Jeśli $m = n,\;$ to macierz jest kwadratowa. Wówczas można rozpatrywać wyznacznik macierzy Jacobiego, który nazywa się wtedy jakobianem i oznacza $\det \mathbf J_\mathrm f$ lub $|\mathbf J_\mathrm f|$ bądź mniej standardowo: $\frac{\partial(f_1, \dots, f_n)}{\partial(x_1, \dots, x_n)} \overset\underset\mathrm{ozn}\ = \frac{\partial \mathrm f}{\partial \mathrm x}.$

Macierz Jacobiego można postrzegać jako wektor gradientów funkcji składowych $f_i$ funkcji $\mathrm f,$ tzn. $\begin{bmatrix} \nabla f_1 \\ \vdots \\ \nabla f_m \end{bmatrix}$

Macierz Jacobiego można również przedstawić jako transpozycje iloczynu tensorowego operatora nabla i funkcji f : $\nabla f=\nabla\otimes f = (\mathbf J_\mathrm f)^T$

Wyznacznik – w algebrze liniowej, funkcja przyporządkowująca każdej macierzy kwadratowej M, o współczynnikach z pierścienia przemiennego R (w szczególności, ciała liczb rzeczywistych czy zespolonych), pewien element tego pierścienia (oznaczany symbolem detM), która spełnia następujące warunki:
Gradient – w analizie matematycznej, a dokładniej rachunku wektorowym, pole wektorowe wskazujące w danym punkcie kierunek najszybszego wzrostu danego pola skalarnego, a jego moduł (długość) jest równy szybkości wzrostu. Wektor przeciwny do gradientu nazywa się często antygradientem.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)