Mechanika klasyczna - Polski Serwis Naukowy

Mechanika klasyczna – dział mechaniki w fizyce opisujący ruch ciał (kinematyka), wpływ oddziaływań na ruch ciał (dynamika) oraz badaniem równowagi ciał materialnych (statyka). Mechanika klasyczna oparta jest na prawach ruchu (zasadach dynamiki) sformułowanych przez Isaaca Newtona, dlatego też jest ona nazywana "mechaniką Newtona" (Principia). Mechanika klasyczna wyjaśnia poprawnie zachowanie się większości ciał w naszym otoczeniu.

Planeta – według definicji Międzynarodowej Unii Astronomicznej, to obiekt astronomiczny okrążający gwiazdę lub pozostałości gwiezdne, nieprzeprowadzający reakcji termojądrowej w swoim wnętrzu, wystarczająco duży, aby uzyskać prawie okrągły kształt oraz osiągnąć dominację w przestrzeni wokół swojej orbity. W odróżnieniu od gwiazd, świecących światłem własnym, planety świecą światłem odbitym.

Szczególna teoria względności (tu STW) – teoria fizyczna, stworzona przez Alberta Einsteina w 1905 roku. Zmieniła ona podstawy pojmowania czasu i przestrzeni opisane wcześniej w newtonowskiej mechanice klasycznej, tak aby można było usunąć trudności interpretacyjne i sprzeczności pojawiające się na styku mechaniki (zwanej obecnie klasyczną) i elektromagnetyzmu po ogłoszeniu przez Jamesa Clerka Maxwella teorii elektromagnetyzmu.

Do końca XIX wieku była uznawana za teorię dokładną, na początku XX wieku okazała się niepoprawna w niektórych sytuacjach. W celu wyjaśnienia niezgodności powstały nowe działy mechaniki:

mechanika relatywistyczna wraz z jej teoriami – ogólną teorią względności i szczególną teorią względności, opisujące zachowanie się obiektów poruszających się z prędkością porównywalną z prędkością światła,

mechanika kwantowa opisującą zachowanie się mikroskopijnych obiektów (cząsteczki, atomy, cząstki elementarne).

Wymienione teorie w pewnym sensie obalają mechanikę klasyczną, choć są zbudowane na jej bazie pojęciowej i ją uzupełniają. Pomimo to, mechanika klasyczna jest nadal bardzo użyteczna, ponieważ:

Atom (z gr. ἄτομος atomos: "niepodzielny") – najmniejszy składnik materii, któremu można przypisać właściwości chemiczne. Atomistyczną teorię budowy materii sformułował w roku 1808 John Dalton.

Zasada zachowania energii - empiryczne prawo fizyki, stwierdzające, że w układzie izolowanym suma wszystkich rodzajów energii układu jest stała (nie zmienia się w czasie). W konsekwencji, energia w układzie izolowanym nie może być ani utworzona, ani zniszczona, może jedynie zmienić się forma energii. Tak np. podczas spalania wodoru w tlenie energia chemiczna zmienia się w energię cieplną.

jest prostsza w stosowaniu niż inne teorie,

z pewnymi przybliżeniami może być stosowana w szerokim zakresie,

stanowi podstawę pojęciową dla innych teorii.

Mechanika klasyczna może być używana do opisu ruchu zarówno obiektów rozmiaru człowieka (np. piłka, samochód), jak i wielu astronomicznych obiektów (np. planety, galaktyki), a także obiektów mikroskopijnej wielkości (np. cząsteczek organicznych, a nawet w przybliżeniu i w ograniczonym zakresie do cząstek elementarnych). Przykładowo: ruch elektronu wynikający z mechaniki klasycznej poprawnie opisuje działanie mikroskopu elektronowego, dopiero do wyjaśnienia ograniczeń rozdzielczości mikroskopu elektronowego potrzebujemy odwołania do mechaniki kwantowej, a wyjaśnienie działania mikroskopu elektronowego z użyciem pojęć mechaniki kwantowej byłoby trudne.

Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.

Statyka - drugi po kinetyce dział dynamiki (będącej działem mechaniki), zajmujący się równowagą układów sił działających na ciało pozostające w spoczynku lub poruszające się ruchem jednostajnym i prostoliniowym. W przeciwieństwie do kinetyki, statyka zajmuje się zrównoważonymi układami, w których nie powstają siły bezwładności.

W ostatnich latach wzrastającym zainteresowaniem cieszy się dział mechaniki klasycznej, a mianowicie dynamika nieliniowa. Kluczowym pojęciem jest tu chaos, a głównym narzędziem – nieliniowe równania różniczkowe i iteracyjne.

Podsumowanie

Chociaż mechanika klasyczna jest z grubsza zgodna z innymi "klasycznymi" teoriami, takimi jak klasyczna elektrodynamika i termodynamika, to pewne sprzeczności odkryte pod koniec XIX wieku są wyjaśniane przez współczesną fizykę. Przykładowo klasyczna elektrodynamika mówi, że prędkość światła jest stała dla wszystkich obserwatorów – jest to sprzeczne z mechaniką klasyczną, w wyniku czego powstała ogólna teoria względności.

Szczególna teoria względności (tu STW) – teoria fizyczna, stworzona przez Alberta Einsteina w 1905 roku. Zmieniła ona podstawy pojmowania czasu i przestrzeni opisane wcześniej w newtonowskiej mechanice klasycznej, tak aby można było usunąć trudności interpretacyjne i sprzeczności pojawiające się na styku mechaniki (zwanej obecnie klasyczną) i elektromagnetyzmu po ogłoszeniu przez Jamesa Clerka Maxwella teorii elektromagnetyzmu.

Gradient – w analizie matematycznej, a dokładniej rachunku wektorowym, pole wektorowe wskazujące w danym punkcie kierunek najszybszego wzrostu danego pola skalarnego, a jego moduł (długość) jest równy szybkości wzrostu. Wektor przeciwny do gradientu nazywa się często antygradientem.

W mechanice klasycznej można wydzielić poddziedziny:

kinematyka – opisująca ruch jako zagadnienie geometryczne,

statyka – zajmująca się ciałami nie poruszającymi się i warunkami pozostania ciał w spoczynku (równowadze),

dynamika – opisująca ruch ciał oraz zmiany ruchu ciał pod wpływem oddziaływań.

Opis ruchu

Podstawowym pojęciem wprowadzanym w mechanice klasycznej jest punkt materialny, który jest obiektem o zaniedbywalnie małych rozmiarach oraz posiadający masę. Ruch punktu materialnego jest scharakteryzowany przez kilka parametrów liczbowych (lub wektorów): jego położenie, masę i siłę działającą na niego. Każdy z tych parametrów zostanie opisany poniżej.

Układ odniesienia (fizyka) – punkt lub układ punktów w przestrzeni, względem którego określa się położenie lub zmianę położenia (ruch) danego ciała. Wybrany punkt często wskazuje się poprzez wskazanie ciała, z którym związany jest układ współrzędnych.

Energia gr. ενεργεια (energeia) – skalarna wielkość fizyczna charakteryzująca pod względem ilościowym stan układu fizycznego (materii) (z punktu widzenia termodynamiki niektóre formy energii są funkcjami stanu i potencjałami termodynamicznymi), stan i wzajemne oddziaływania obiektów fizycznych (ciał, pól, cząstek, układów fizycznych), przemiany fizyczne i chemiczne oraz wszelkiego rodzaju procesy występujące w przyrodzie.

W rzeczywistości obiekty, które opisuje mechanika klasyczna zawsze mają niezerowy rozmiar. Prawdziwy punkt materialny, np. elektron prawidłowo jest opisywany przez mechanikę kwantową. Obiekt o niezerowym rozmiarze ma bardziej skomplikowane zachowanie niż hipotetyczny punkt materialny, ponieważ jego wewnętrzny układ może ulec zmianie – np. podczas lotu piłka może obracać się wokół własnej osi, zmieniając w wyniku tego swój ruch. Jakkolwiek, będziemy w stanie użyć naszych rezultatów dla punktu materialnego aby studiować takie obiekty traktując je jako zbiorowy obiekt, zbudowany z oddziałujących na siebie punktów materialnych. Można pokazać, że takie zbiorowe obiekty zachowują się jak punkt materialny. W omawianym przykładzie piłkę traktujemy jako punkt materialny.

Ogólna teoria względności (OTW) – popularna nazwa teorii grawitacji formułowanej przez Alberta Einsteina w latach 1907 – 1915, a opublikowanej w roku 1916.

Zasada nieoznaczoności (zasada nieokreśloności) mówi, że istnieją takie pary wielkości, których nie da się jednocześnie zmierzyć z dowolną dokładnością. O wielkościach takich mówi się, że nie komutują. Akt pomiaru jednej wielkości wpływa na układ tak, że część informacji o drugiej wielkości jest tracona. Zasada nieoznaczoności nie wynika z niedoskonałości metod ani instrumentów pomiaru, lecz z samej natury rzeczywistości.

Położenie i wielkości pochodne

Położenie punktu materialnego jest określane względem wybranego punktu odniesienia (O) znajdującego w przestrzeni. Wybrany punkt wraz z innymi ciałami z nim związanymi nazywamy układem odniesienia. Punktowi materialnemu w konkretnym układzie współrzędnych (opisanym przez wektory jednostkowe $\mathbf{e}_i$ i=1,2,3) przyporządkowujemy współrzędne $x$

Sir Isaac Newton (ur. 4 stycznia 1643 w Woolsthorpe-by-Colsterworth, zm. 31 marca 1727 w Kensington) – angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof, historyk, badacz Biblii i alchemik.

Pęd – w mechanice wielkość fizyczna opisująca ruch ciała. Pęd mają wszystkie formy materii, np. ciała obdarzone masą spoczynkową, pole elektromagnetyczne, pole grawitacyjne.

$\mathbf{x}(t) = \sum_{i=1}^{3} x^i(t) \mathbf{e}_i=x^i(t) \mathbf{e}_i$

Wprowadza się pojęcie "ciało fizyczne" lub krótko "ciało" oznaczające dowolny obiekt będący punktem materialnym lub złożony z punktów materialnych.

Położenie ciała definiowane jest jako wektor $\mathbf{x}(t)$ , ciało nie musi być nieruchome, więc położenie zmienia się w czasie (jest funkcją czasu (t)).

Prędkość opisuje szybkość zmiany położenia w czasie, jest definiowana jako pochodna położenia po czasie (oznaczana również przez kropkę)

Stan kwantowy — informacja o układzie kwantowym pozwalająca przewidzieć prawdopodobieństwa wyników wszystkich pomiarów jakie można na tym układzie wykonać. Stan kwantowy jest jednym z podstawowych pojęć mechaniki kwantowej.

Dynamiczne równanie ruchu (różniczkowe równanie ruchu) – równanie różniczkowe, określające szybkość zmian pewnych wielkości fizycznych (np. prędkości, położenia) jako funkcję aktualnego stanu układu. Przez równanie ruchu najczęściej rozumiemy drugą zasadę dynamiki Newtona, zapisaną w postaci równania różniczkowego. W ogólności równanie ruchu dla pojedynczej cząstki można zapisać jako:

$\mathbf{v} = {d\mathbf{x} \over dt}=v^i \mathbf{e}_i=\frac{dx^i}{dt} \mathbf{e}_i=\dot{x}^i \mathbf{e}_i$ .

Prędkość też zazwyczaj nie jest stała dlatego do opisu jej zmian wprowadza się przyspieszenie czyli szybkość zmiany prędkości, jest zdefiniowana $\mathbf{a} = {d\mathbf{v} \over dt}=\frac{d^2 x^i}{dt^2}\mathbf{e}_i$ .

Zmiana wektora przyspieszenia może dotyczyć zmiany jego wartości lub kierunku bądź obydwu.

Pojęcie siły i druga zasada dynamiki Newtona

Druga zasada dynamiki Newtona wiąże zmianę masy i prędkości punktu materialnego z siłą. Jeżeli m jest masą v prędkością punktu materialnego, a F jest sumą wektorową sił przyłożonych do niego, to druga zasada dynamiki Newtona głosi, że szybkość zmiany pędu ciała jest równa sile działającej na to ciało, co można wyrazić wzorem:

Funkcjonał – odwzorowanie określone na pewnej przestrzeni (przestrzeni funkcji, przestrzeni liniowej, σ-ciele) o wartościach w ciele liczbowym. Pojęcie funkcjonału pierwotnie pojawiło się w rachunku wariacyjnym. W kontekście przestrzeni liniowych i modułów używa się także określenia forma.

Siła jest zachowawcza jeśli praca przez nią wykonana na drodze o początku A i końcu B zależy tylko od położenia punktów A i B, nie zależy zaś od przebiegu drogi, czyli od toru ruchu. Praca ta nie zależy wówczas również od prędkości przemieszczania ciała.

$\mathbf{F} =\frac{d\mathbf{p}}{dt}= {d(m \mathbf{v}) \over dt}$ .

Wartość $\mathbf{p}=m \mathbf{v}$ jest nazywana pędem i jest ważnym pojęciem mechaniki klasycznej.

Kiedy masa m jest stała w czasie, druga zasada dynamiki Newtona może zostać zapisane w prostszej formie: $\mathbf{F} = m \mathbf{a}$

gdzie: a – przyspieszenie, zdefiniowane powyżej.

Nie zawsze masa jest niezależna od czasu, np. masa rakiety na paliwo chemiczne zmniejsza się w miarę zużywania się paliwa. W takiej sytuacji powyższe równanie jest niepoprawne, zatem do opisu powinna być zastosowana pełna forma drugiego prawa Newtona.

Druga zasada dynamiki Newtona wymaga podania siły F, która jest miarą oddziaływań naszego ciała z innymi ciałami. Np. typowa siła oporu ruchu piłki w powietrzu jest funkcją prędkości i wielkości piłki.

Tarcie – wyraz wieloznaczny, odnoszący się zarówno do zjawiska fizycznego, procesu technologicznego z zakresu obróbki drewna, jak i do powszechnie wykonywanej czynności.

Mikroskop elektronowy — mikroskop wykorzystujący do obrazowania wiązkę elektronów. Mikroskop elektronowy pozwala badać strukturę materii na poziomie atomowym. Im większa energia elektronów tym krótsza ich fala i większa rozdzielczość mikroskopu.

$\mathbf{F}_{\rm R} = - \lambda \mathbf{v}$

Gdzie: λ – dodatnia stała zależna od wielkości i kształtu ciała. – minus oznacza, że siła ma przeciwny zwrot do zwrotu prędkości (jest zawsze siłą hamującą).

Gdy tylko znane są siły działające na punkt materialny w postaci fuknkcji czasu, położenia i prędkości, możemy podstawić je do drugiego prawa Newtona otrzymując równanie różniczkowe, które jest nazwane dynamicznym równaniem ruchu $m \frac{d^2 x^i}{dt^2}=F^{i}(\mathbf{x}(t), t)$

Dla przykładu, załóżmy że tarcie jest jedyną siłą działającą na punkt materialny. Wtedy równanie ruchu przybiera postać:

Termodynamika - nauka o energii, dział fizyki zajmujący się badaniem energetycznych efektów wszelkich przemian fizycznych i chemicznych, które wpływają na zmiany energii wewnętrznej analizowanych układów. Wbrew rozpowszechnionym sądom termodynamika nie zajmuje się wyłącznie przemianami cieplnymi, lecz także efektami energetycznymi reakcji chemicznych, przemian z udziałem jonów, przemianami fazowymi, a nawet przemianami jądrowymi i energią elektryczną.

Praca - skalarna wielkość fizyczna, miara ilości energii przekazywanej między układami fizycznymi w procesach mechanicznych, elektrycznych, termodynamicznych i innych.

$m\frac{d^2 x^i}{dt^2}=- \lambda \frac{dx^i}{dt}$ .

Równanie to można scałkować otrzymując $\mathbf{v} = \mathbf{v}_0 e^{- \lambda t / m}$

gdzie v0 jest prędkością początkową, czyli prędkością ciała w momencie początkowym (t =0). Z równania tego wynika, że prędkość tego punktu materialnego zmniejsza się eksponencjalnie do zera w miarę upływu czasu. To wyrażenie może być następnie wycałkowane w celu otrzymania kinematycznego równania ruchu.

Kinematyka (gr. kínēma "ruch") - dział mechaniki zajmujący się badaniem geometrycznych właściwości ruchu ciał bez uwzględniania ich cech fizycznych (np. masy) i działających na nie sił. W zależności od właściwości badanych obiektów dzieli się na: kinematykę punktu materialnego i bryły sztywnej oraz kinematykę ośrodków ciągłych (odkształcalnego ciała stałego, cieczy i gazów).

W klasycznej mechanice teoretycznej hamiltonian (funkcja Hamiltona) jest funkcją współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych, opisującą układ fizyczny.

Cząstka swobodna

Przy braku działania sił zewnętrznych cząstka porusza się swobodnie. Jej ruch opisany jest prostym równaniem różniczkowym $m \frac{d^2 x^i}{dt^2}=0$

Równanie to jest niezmiennicze przy transformacji układu współrzędnych $x^i \rightarrow {x'}^i = R^i_j x^j +v^i t +x^i_0$ $t \rightarrow t'=t+t_0$

Właściwe transformacje Galileusza to: $x^i \rightarrow {x'}^i = x^i +v^i t +x^i_0$ $t \rightarrow t'=t+t_0$

tworzących grupę Galileusza. Są one symetrią równania Newtona dla cząstki swobodnej.

Fizyka (z gr. φύσις physis - "natura") – nauka o przyrodzie w najszerszym znaczeniu tego słowa. Fizycy badają właściwości i przemiany materii i energii oraz oddziaływanie między nimi. Do opisu zjawisk fizycznych używają wielkości fizycznych, wyrażonych za pomocą pojęć matematycznych, takich jak liczba, wektor, tensor. Tworząc hipotezy i teorie fizyki, budują relacje pomiędzy wielkościami fizycznymi.

Cząstka elementarna – w fizyce, cząstka, będąca podstawowym budulcem, czyli najmniejszym i nieposiadającym wewnętrznej struktury. Niemniej pojęcie to ze względów historycznych ma trochę inne znaczenie.

Grupa transformacji Galileusza parametryzowana jest przez 10 ciągłych parametrów. Zgodnie z twierdzeniem Noether gdy grupa ta jest symetrią równań ruchu układu fizycznego odpowiada jej istnienie 10 odpowiednich praw zachowania (np. energii z translacji w czasie, pędu z translacji w przestrzeni, momentu pędu z symetrii obrotowej i pędu środka masy z transformacji właściwej generowanej przez v.

Dynamika – dział mechaniki zajmujący się ruchem ciał materialnych pod działaniem sił. Głównym zadaniem dynamiki jest opis ruchu ciał pod działaniem samych sił. Do tego służą trzy rodzaje dynamicznych równań ruchu. W zależności od tego, jakim modelem mechanicznym dynamika się zajmuje, wyróżniamy dynamikę punktu materialnego, bryły sztywnej, dynamikę płynów itp.

Zasady dynamiki Newtona – trzy zasady leżące u podstaw mechaniki klasycznej sformułowane przez Isaaca Newtona i opublikowane w Philosophiae Naturalis Principia Mathematica w 1687 roku. Zasady dynamiki określają związki między ruchem ciała a siłami działającymi na nie, dlatego zwane są też prawami ruchu.

Z transformacji Galileusza wynika prawo składania prędkości. Oznaczmy $\vec{u}=\frac{d\vec{x}}{dt}$ , $\vec{u'}=\frac{d\vec{x'}}{dt}$ , z właściwej transformacji Galileusza różniczkując otrzymujemy $\vec{u'}=\vec{u}+\vec{v}$

Formalizm Lagrange'a

Równania ruchu Newtona można wyprowadzić w formalizmie Lagrange'a z zasady ekstremum funkcjonału nazywanego całką działania $S[\mathbf{x}(t)]$ . Funkcjonał ten zdefiniowany jest poprzez funkcje Lagrange'a $L(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}}, t)$ $S[\mathbf{x}(t)]= \int\limits_{t_0}^{t_1} dt L(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}}, t)$

Warunek na ekstremum tego funkcjonału (δS=0) generuje równania Eulera – Lagrange'a $\frac{ d}{dt}\frac{\partial L}{\partial{\dot{x}}^i}=\frac{\partial L }{\partial x^i}$

Na równania te można spojrzeć jak na równania Newtona, kojarząc pęd jako $p^i=\frac{\partial L}{\partial{\dot{x}}^i}$

a siłę jako $F^i(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}}, t) = \frac{\partial L }{\partial x^i}$

Otrzymamy dokładną postać równania Newtona gdy zdefiniujemy funkcje Lagrange'a jako $L(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}}, t)=\frac{1}{2}m \mathbf{\dot{x}}^2-U(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}}, t)$

Szczególną grupą są siły zachowawcze – mogą być one wyrażane jako gradient funkcji skalarnej, zwanej energią potencjalną i oznaczaną U: $\mathbf{F} = - \nabla U$

lub $\mathbf{F}^i = - \frac{\partial{U}}{\partial x^i}=-\partial_i U.$

Energia układu fizycznego

Siła F przyłożona do punktu materialnego, którego przesunięcie wynosi δr wykonuje pracę, praca wykonana przez siłę jest wielkością skalarną opisaną wzorem: $\delta W = \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r}$ .

Zakładając, że masa punktu materialnego jest stała i δWtotal jest całkowitą pracą wykonaną na punkcie materialnym, którą otrzymujemy poprzez sumowanie prac wykonanych przez każdą siłę przyłożoną do punktu. Na podstawie drugiego prawa Newtona możemy pokazać, że $δWtotal = δT$ ,

gdzie T jest energią kinetyczną. Dla punktu materialnego jest zdefiniowana: $T = {m \mathbf{v}^2 \over 2}=\frac{1}{2}m \mathbf{\dot{x}}^2$ .

Dla obiektów złożonych z wielu punktów mat., energia kinetyczna jest sumą energii kinetycznych poszczególnych punktów mat. Zatem $\mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r} = - \nabla U \cdot \delta \mathbf{r} = - \delta U$ $\Rightarrow - \delta U = \delta T$ $\Rightarrow \delta (T + U) = 0$ .

Ten rezultat znany jako zachowanie energii mechanicznej, a stan w którym całkowita energia $E=T+U= \frac{1}{2}m \mathbf{\dot{x}}^2 + U$

jest stała w czasie nazywamy układem zachowawczym. Prawo to jest często używane, ponieważ wiele spotykanych sił to siły zachowawcze (ważnym wyjątkiem jest siła tarcia i oporu). Idea zachowania energii mechanicznej została rozszerzona na inne przypadki oddziaływań w wyniku czego utworzono pojęcie energia, a zasada zachowania energii jest najważniejszą zasadą zachowania w fizyce.

Formalizm Hamiltona

Energię układu fizycznego wyrazić można poprzez położenie i pęd { $x$ , $p$ }. Zbiór takich par definiuje przestrzeń fazową. Punkt w przestrzeni fazowej w pełni określa układ fizyczny, nazywamy go stanem układu w mechanice klasycznej (patrz stan kwantowy w mechanice kwantowej). Energię jako funkcję położenia i pędu nazywamy funkcją Hamiltona lub hamiltonianem. Definiujemy ją jako

Dla cząstek w polu potencjału U $H(p, x)=\frac{p^2}{2m}+U(x, t)$

Równania Lagrange'a można zastąpić układem dwóch równań (równania Hamiltona) pierwszego rzędu $\frac{dp^i}{dt}= - \frac{\partial H}{\partial x^i}= - \frac{\partial U}{\partial x^i}=F^i$ $\frac{dx^i}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p^i}$

Definiując nawiasy Poissona $[A,B]=\sum_{i}(\frac{\partial A}{\partial x^i}\frac{\partial B}{\partial p^i} - \frac{\partial B}{\partial x^i}\frac{\partial A}{\partial p^i})$

zmianę dowolnej wielkości fizycznej F(x, p) z czasem można przedstawić jako $\frac{dF}{dt}= - [H,F] + \frac{\partial F}{\partial t}$

Jeżeli wielkość fizyczna F jawnie nie zależy od czasu ( $\frac{\partial F}{\partial t}=0$ ) to będzie zachowana (stała ruchu) gdy $\frac{dF}{dt}=0 \rightarrow [H,F]=0$

będzie komutowała z hamiltonianem. Mówimy, że dwie wielkości A, B komutują, gdy [A, B]=0.

Przykładem wielkości niekomutujących jest pęd i położenie $[x,p] = δij$

W mechanice kwantowej oznaczać to będzie niemożność jednoczesnego pomiaru tych wielkości zasada nieoznaczoności.

Literatura

Rosu, Haret C., "Classical Mechanics". Physics Education. 1999. [arxiv.org: physics/9909035]