Całkowanie metodą Monte-Carlo działa na zasadzie porównywania losowych próbek z wartością funkcji

Błędy całkowania maleją odwrotnie proporcjonalnie do pierwiastka z liczby próbek czyli

Metoda Monte Carlo (MC) jest stosowana do modelowania matematycznego procesów zbyt złożonych (obliczania całek, łańcuchów procesów statystycznych), aby można było przewidzieć ich wyniki za pomocą podejścia analitycznego. Istotną rolę w metodzie MC odgrywa losowanie (wybór przypadkowy) wielkości charakteryzujących proces, przy czym losowanie dokonywane jest zgodnie z rozkładem, który musi być znany.

Typowym przykładem może być modelowanie wyniku zderzenia cząstki o wysokiej energii z jądrem złożonym, gdzie każdy akt zderzenia elementarnego (z pojedynczym nukleonem jądra) modelowany jest oddzielnie poprzez losowanie liczby, rodzaju, kąta emisji, energii itp. cząstek wtórnych emitowanych w wyniku takiego zderzenia. Następnym etapem jest modelowanie losu każdej z cząstek wtórnych (w wyniku kolejnego losowania prawdopodobieństwa oddziaływania lub wyjścia z jądra). Kontynuując taką procedurę można otrzymać pełny opis "sztucznie generowanego" procesu złożonego. Po zebraniu dostatecznie dużej liczby takich informacji można zestawić ich charakterystyki z obserwowanymi wynikami doświadczalnymi, potwierdzając lub negując słuszność poczynionych w całej procedurze założeń.

Metoda została opracowana i pierwszy raz zastosowana przez Stanisława Ulama.

Przykład całkowania metodą Monte Carlo

Metodą Monte Carlo można obliczyć pole figury zdefiniowanej nierównością:

czyli koła o promieniu R i środku w punkcie (0,0).

1. Losuje się n punktów z opisanego na tym kole kwadratu - dla koła o R = 1 współrzędne wierzchołków (-1,-1), (-1,1), (1,1), (1,-1).
2. Po wylosowaniu każdego z tych punktów trzeba sprawdzić, czy jego współrzędne spełniają powyższą nierówność (tj. czy punkt należy do koła).

Wynikiem losowania jest informacja, że z n wszystkich prób k było trafionych, zatem pole koła wynosi

gdzie P jest polem kwadratu opisanego na kole (Dla R = 1 : P = 4).

Dokładność i poprawność metody Monte Carlo

Dokładność wyniku uzyskanego tą metodą jest zależna od liczby sprawdzeń i jakości użytego generatora liczb pseudolosowych. Zwiększanie liczby prób nie zawsze zwiększa dokładność wyniku, ponieważ generator liczb pseudolosowych ma skończenie wiele liczb losowych w cyklu.

Ta metoda całkowania jest używana w przypadkach, kiedy szybkość otrzymania wyniku jest ważniejsza od jego dokładności (np. obliczenia inżynierskie).

Poprawność metody Monte Carlo w przypadku liczenia pól lub całek można udowodnić stosując twierdzenie Picka (lub jego wielowymiarowe uogólnienia) do najlepszego wielokąta wpisanego w figurę, której pole chcemy obliczyć w przybliżeniu tzw. kryształu wirtualnego, tzn. regularnej siatki punktów o stałej sieci równej średniej odległości między wylosowanymi punktami. W nieskończonej granicy tych wielokątów i siatek metoda jest dokładna dla dowolnego kształtu.

Przykład obliczania liczby pi metodą Monte Carlo w języku C++

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
 
using namespace std;
 
int main()
{
     srand(time(NULL)); //zainicjalizowanie maszyny generujacej liczby losowe
     int n;
     int nk = 0;
     double x,y;
     float s;
 
     cout << "Podaj liczbe losowanych pkt:" << endl;
     cin >> n;
 
     for(int i = 1; i <= n; i++)
     {           
         x = ((double)rand() / (RAND_MAX))*2 - 1;
         y = ((double)rand() / (RAND_MAX))*2 - 1;
         if(x*x + y*y <= 1)
         {
             nk++;
         }
     }
 
     cout << "Liczba pkt. w kole wynosi: " << nk << endl;
     cout << "Liczba pkt. w kwadracie wynosi: " << n << endl;
     s = 4 * (double)nk / n;
     cout << "Liczba pi wynosi: " << s;
}